Z4
1. Narysować krzywą z = z(t), jeżeli a) z = -t + 2jt2, t∈ <0;+ ∞ ) , b) z = cht + jsht, t∈ <0;+ ∞ ), π π
c)
z = sin2t + jsint, t∈ <- ; >, d) z = 2 + t + j(1 + t), t∈ <1;2>.
2 2
2. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji zespolonej z + 1
a) f(z) =
−
z ,
b) f(z) = z-2,
c) f(z) = z2 + z 1 .
3. Wykazać, że funkcja f(z) = x(2 – x) + y 2 + j2y(1 – x) jest holomorficzna na płasz-czyźnie zespolonej Z oraz obliczyć f’(z) i f”(z).
4. Obliczyć f’(z) , jeżeli f(z) = z2Rez. Czy dana funkcja jest holomorficzna?
5. Znaleźć funkcję holomorficzną f(z) taką, że f(0) = 1, jeżeli a) jej część rzeczywista u(x,y) = x 3 – 3xy 2 – 2x + 1, b) jej część urojona v(x,y) = 4xy(x2 – y2 ).
6. Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego i narysować jego koło zbieżności n!
( − )
3 n
z
a)
n
(z
∑∞
+ )
2 ,
b)
n
n
8 z3
∑∞
,
c) ∑∞
.
n
n
n= 1 n
n= 0
n= 0
3
7. Wyprowadzić wzory : ea ⋅ eb =ea+b , sin(a + b) = sina⋅cosb + sinb⋅cosa, cos(a + b) =
= cosa⋅cosb – sina⋅sinb, a następnie znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji a) f(z) = e2jz,
b) f(z) = sin2z,
c) f(z) = cos2z.
Odp.
2. a) (x + 1)/(x2 + y2) 1
1
2 ,
y/(x2 + y2) 2 ,
b) (x2 – y2)/[(x2 – y2)2 + 4x2y2],
-2xy/[(x2-y2)2 + 4x2y2],
c) (x4 + x – y4)/(x2 + y2), (2x3 + 2xy2 – 1)y/(x2 + y2).
3. f’(z) = 2(1 – z), f”(z) = -2.
4. f’(0) = 0, nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.
1
5. a) z3 – 2z + 1,
b) z4 + 1.
6. a) e,
b) ,
c) 3.
2
7. a) e-2ycos2x, e-2ysin2x, b) sin2xch2y, cos2xsh2y, c) cos2xch2y, –sin2xsh2y.