Analiza 2
Z
2
1. Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną
a)
∫
L
dl
y
2
, gdzie L jest łukiem cykloidy: x = a(t – sint), y = a(1 – cost), t
∈
<0; 2
π
>,
b)
∫
+
L
y
x
2
2
dl, gdzie L jest krzywą x
2
+ y
2
= x.
2. Obliczyć wielkość masy krzywej
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1, jeżeli jej gęstość
ρ
(x,y) = |y|.
3. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
a)
∫
−
+
+
C
dy
y
x
dx
y
x
)
(
)
(
2
2
2
2
, gdzie C jest krzywą y = 1 – |1 – x | dla x
∈
<0; 2>;
b)
∫
+
−
−
+
C
y
x
dy
y
x
dx
y
x
2
2
)
(
)
(
, gdzie C jest okręgiem x
2
+ y
2
= a
2
skierowanym dodatnio
względem wnętrza,
c)
∫
+
+
C
y
x
dy
dx
, gdzie C jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach A(1,0), B(0,1), D(-1,0),
E(0,-1), skierowanym dodatnio względem wnętrza.
4. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
∫
∪
+
+
AB
xdz
zdy
ydx
, gdzie
∪
AB jest odcinkiem
o początku A(4,0,0) i końcu B(0,4,4).
5. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
∫
∪
+
+
AB
zdz
ydy
xdx
, gdzie
∪
AB jest łukiem linii
śrubowej o przedstawieniu parametrycznym: x = r
⋅
cost, y = r
⋅
sint, z = c
⋅
t, dla t
∈
<0; 2
π
>,
gdzie r, c > 0, zgodnym z kierunkiem tego łuku.
Odp.
1. a)
3
15
256
a , b) 2. 2.
)
arcsin
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
a
b
a
b
b
a
b
−
+
−
−
.
3. a) ,
3
4
b) – 2
π
,
c) 0.
4. 8.
5. 2c
2
π
2
.