Analiza 2

Z

2

1. Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną

a)

∫

L

dl

y

2

, gdzie L jest łukiem cykloidy: x = a(t – sint), y = a(1 – cost), t

∈

<0; 2

π

>,

b)

∫

+

L

y

x

2

2

dl, gdzie L jest krzywą x

2

+ y

2

= x.

2. Obliczyć wielkość masy krzywej

2

2

2

2

b

y

a

x

+

= 1, jeżeli jej gęstość

ρ

(x,y) = |y|.

3. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

a)

∫

−

+

+

C

dy

y

x

dx

y

x

)

(

)

(

2

2

2

2

, gdzie C jest krzywą y = 1 – |1 – x | dla x

∈

<0; 2>;

b)

∫

+

−

−

+

C

y

x

dy

y

x

dx

y

x

2

2

)

(

)

(

, gdzie C jest okręgiem x

2

+ y

2

= a

2

skierowanym dodatnio

względem wnętrza,

c)

∫

+

+

C

y

x

dy

dx

, gdzie C jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach A(1,0), B(0,1), D(-1,0),

E(0,-1), skierowanym dodatnio względem wnętrza.

4. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

∫

∪

+

+

AB

xdz

zdy

ydx

, gdzie

∪

AB jest odcinkiem

o początku A(4,0,0) i końcu B(0,4,4).

5. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

∫

∪

+

+

AB

zdz

ydy

xdx

, gdzie

∪

AB jest łukiem linii

śrubowej o przedstawieniu parametrycznym: x = r

⋅

cost, y = r

⋅

sint, z = c

⋅

t, dla t

∈

<0; 2

π

>,

gdzie r, c > 0, zgodnym z kierunkiem tego łuku.

Odp.

1. a)

3

15

256

a , b) 2. 2.

)

arcsin

(

2

2

2

2

2

2

2

2

a

b

a

a

b

a

b

b

a

b

−

+

−

−

.

3. a) ,

3

4

b) – 2

π

,

c) 0.

4. 8.

5. 2c

2

π

2

.