Analiza 2

Z

9

1. Obliczyć

a)

L[sin(t-1)1(t-1)],

b) L[cos(t-1)1(t-1)], c) L[sh(t-2)1(t-2)],

d) L[ch(t-2)1(t-2)],

e) L[t-3)

5

1(t-3)],

f) L[e

t-4

1(t-4)],g) L[sin2(t-4)1(t-4)], h) L[e

-2t

t

5

] .

2.

Obliczyć L-transformatę funkcji

a)

f(t)







π

≤

<

π

<

π

≤

≤

=

2

lub

0

0

0

sin

2

t

t

dla

t

dla

t

; ponadto f(t) = f(t + 2

π

) dla t > 0.

b)

f(t)









≤

<

−

≤

≤

<

=

T

t

T

dla

t

T

T

t

dla

t

t

dla

2

2

0

0

0

; ponadto f(t) = f(t + 2T) dla t > 0 i T > 0.

3. Obliczyć splot oryginałów ( poza d)

a)

t

∗

t

2

, b) t

t

sin

∗

,

c) e

-t

∗

e

-2t

,

d)

t

t

1

1

∗

, e) sint

t

sin

∗

.

4.

Obliczyć splot oryginałów f

1

(t)

∗

f

2

(t) , jeżeli

a)

f

1

(t) = f

2

(t) = 1(t) – 1(t-2),

b) f

1

(t) = 2

⋅

1(t) – t

⋅

1(t-1), f

2

(t) = 1(t-2),

c) f

1

(t) = t

⋅

1(t-2), f

2

(t) = 2

⋅

1(t) – 1(t-1).

5.

Udowodnić przemienność splotu : f

1

(t)

∗

f

2

(t) = f

2

(t)

∗

f

1

(t).

6.

Korzystając z twierdzenia Borela obliczyć L

-1

– transformatę funkcji

a)

f (s)=

)

2

(

1

2

+

+

s

s

s

,

b) f (s)=

2

2

)

1

(

1

+

s

.

Odp.

1. a) e

-s

/(s

2

+ 1),

b) se

-s

/(s

2

+ 1),

c) e

-2s

/(s

2

– 1),

d) se

-2s

/(s

2

– 1),

e) 120e

-3s

/s

6

,

f) e

-4s

/(s – 1),

g) 2e

-4s

/(s

2

+ 4),

h) 120/(s + 2)

6

.

2. a) f (s) = 2/[(s

2

+ 1)(1 – e

-s

π

)],

b) f (s) = [th(sT/2)]/s

2

.

3. a) t

4

1(t)/12,

b) (t – sint)1(t),

c) (e

-t

– e

-2t

)1(t),

d)

π

, e) (sint –tcost)1(t)/2.

4. a) 0 dla

2

−

t

> 2, 2 –

2

−

t

dla

2

−

t

≤

2,

b) 2(t – 2)1(t-2) –[(t – 3) + (t –3)

2

/2]1(t-3),

c) [4(t – 2) + (t – 2)

2

]1(t-2) – [2(t – 3) + (t – 3)

2

/2]1(t-3).

6. a) (

)

4

1

2

4

1

2t

e

t

−

−

+

1(t),

b)

)

cos

(sin

2

1

t

t

t

−

1(t).