Z7
1. Obliczyć w punktach osobliwych residuum funkcji 2
z
z + 1
1
a) f(z) =
,
b) f(z) =
,
c) f(z) =
2
(z − )
1
2
z + 1
z2 cos z
z
ez
d) f(z) =
,
e) f(z) =
.
( 2
z − )
1 ( 2
z − )
4
2
z ( 2
z + )
1
2. Obliczyć res ∞ f(z), jeżeli 2
z
ez
a) f(z) =
,
b) f(z) =
,
c) f(z) = (z – 3)2e1/z.
z( 3
z + )
1
2
z ( 2
z + )
1
3. Obliczyć residua 1 − cos z
ez
z + 2
a) res
, n ∈ N
0
,
b) res
,
c) res
.
3
z
1 (z
n
− )
1
0(
6
)
z
4. Obliczyć ∫ f (z)dz , jeżeli K = K(0;2) jest okręgiem dodatnio skierowanym względem K
wnętrza oraz
ez
1
3
z
z
a) f(z) =
, b) f(z) = z4cos , c) f(z) =
, d) f(z) =
2
z ( 2
z + )
1
z
4
z − 1
2
(z +
.
)
3 1
( − z)
5. Obliczyć całki niewłaściwe
+ ∞ cos 2x
+ ∞ cos2 x
+ ∞
sin x
+ ∞
cos x
a)
dx
∫
, b)
dx
∫
, c)
dx
∫
, d)
dx
∫
.
x 2 + 1
x 2 + 4
x 2 − 2x + 2
x 2 − 2x + 2
− ∞
− ∞
− ∞
− ∞
+ ∞
+ ∞
2
2
6. Wiadomo, że
−
e x dx = π .
∫
Obliczyć ∫ −e x cos2xdx , całkując funkcję f(z) = 2z e−
− ∞
− ∞
po skier.dodatnio względem wnętrza brzegu prostokąta o wierzchołkach: z1 = -R, z
→ + ∞
2 = R, z3 = R + j, z4 = -R + j, R > 1 ( a następnie przechodząc do granicy przy R
) .
Odp.
1. a) 2, b) (1-j)/2, -(1-j)/2, c) 0, (-1)k+1/(π/2 + kπ)2 dla k = ...-2,-1,0,+1,+2,...
d) -1/6, -1/6, 1/6, 1/6, e) 1, jej/2, -je-j/2.
2. a) 0,
b) sin1-1, c) -37/6.
1
e
3. a) ,
b)
,
c) 12.
4. a) 2πj/(1-sin1), b) 0,
c) 2πj, d) 3πj/8.
2
(n − )
1 !
π
5. a) πe-2,
b) π(1+e-4)/4,
c) (πsin1)/e, d) (πcos1)/e.
6.
.
e