Z6
1. Rozwinąć w szereg Taylora daną funkcję w otoczeniu danego punktu a) f(z) = sinz, zo = π, b) f(z) = sinz2, zo = 0.
z
2. Rozwinąć funkcję f(z) =
w szereg Taylora wokół punktu 2
z + 4
a) zo = 0,
b) zo = 1,
c) zo = j .
z
3. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f(z) =
w pierścieniu
(z + )
1 ( 2
z + )
1
a) P(j;0, 2 ), b) P(j; 2 ,2), c) P(–1; 2 ,+ ∞ ),
d) P(1;2,+ ∞ ).
4. Rozwinąć w szereg Laurenta w pierścieniu P(0;3,+ ∞ ) funkcję jz − 2
3z − j
a) f(z) =
,
b) f(z) =
.
2
z + 9
2
z + 9
5. Wyznaczyć punkty osobliwe odosobnione ( oraz określić ich rodzaj ) funkcji sin z
2
z
2
z
a)
,
b)
,
c)
.
2
2
z − π
z
e − 1
z( 3
z + )
1
6. Określić krotność biegunów funkcji 2z − sin 2z
sin π z
a)
f(z) = 4
3 ,
b) f(z) =
.
z (z + )
2
2
3
4
2
(z + 2z) (z − 1 )
6
Odp.
5. a) z1 = – π i z2 = π – p. pozornie osobliwy, b) z1 = 0 – p. pozornie osobliwy i zk = 2kπj , k = ...-2,-1,+1,+2,... - bieguny 1-krotne, c) z1 = 0 – p. pozornie osobliwy, z2 = -1, z3 = (1+j 3 )/2, z4 = (1– 3 )/2 – bieg. 1-krotne.
6. a) z1 = 0 – bieg. 1-krotny , z2=-2 - bieg. 3-krotny, b) z1 = 0, z2 = 2j, z3 = -2j – bieg. 2-krotne, z4 = – 2 - bieg. 4-krotny , z5 = 2 - bieg. 1-krotny.