- 1 -

11. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS

11.1. WPROWADZENIE

A) SPLOT FUNKCJI

Niech dane będą dwie funkcje f

1

(t) i f

2

(t) całkowalne w każdym prze-

dziale (t

1

,t

2

), 0

≤t

1

≤t

2

<∞, wówczas splotem tych funkcji nazywać będziemy

funkcję q(t) określoną dla t

≥0 w sposób następujący

( )

( )

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

f

t

f

t

f

t

q

t

∫

−

=

=

0

2

1

2

1

*

)

(

(11.1)

Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem funkcji f

1

(t) i f

2

(t) lub

ich mnożeniem splotowym.

Interpretacja graficzna splotu

Rozpatrzmy funkcje f

1

(t) i f

2

(t)

- w pierwszym etapie wykreśla-
my funkcje f

1

(

τ) i f

2

(

τ) przyjmu-

jąc

τ za zmienną całkowania

1

2

1

f (t)

1

t

1

2

1

f (t)

2

3

4

f ( )

1

τ

f ( )

2

τ

τ

t

τ

W etapie drugim tworzymy

lustrzane odbicie f

2

(-

τ) funkcji

f

2

(

τ)

1

2

1

f ( )

1

τ

τ

f (- )

2

τ

-1

-2

-3

-4

1

2

1

f ( )

1

τ

τ

f (t - )

2 1

τ

-1

-2

t

1

Następnie przesuwamy funk-

cję f

2

(-

τ) wzdłuż osi τ o pewną

wartość, przyjmijmy t

1

– w efek-

cie uzyskujemy funkcję f

2

(t

1

-

τ).

Całkujemy iloczyn funkcji

f

1

(

τ)⋅f

2

(t

1

-

τ) ze względu na τ - jest

to pole pod krzywą wypadkową
funkcji f

1

(

τ) i f

2

(t

1

-

τ). Wartość

splotu f

1

(t)

∗f

2

(t) w chwili t=t

1

jest

równa temu polu powierzchni.

1

2

1

f (t)*f (t)

1

2

t

3

4

t

1

5

6

1,5

- 2 -

Własności splotu:

własność 1 - splatanie funkcji jest przemienne:

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

(

) ( )

τ

τ

τ

τ

τ

τ

d

f

t

f

d

t

f

f

t

f

*

t

f

t

f

*

t

f

t

0

2

1

t

0

2

1

1

2

2

1

∫

∫

−

=

−

=

=

(11.2)

własność 2 - splatanie funkcji jest łączne:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

t

f

*

t

f

*

t

f

t

f

*

t

f

*

t

f

t

f

*

t

f

*

t

f

3

2

1

3

2

1

3

2

1

=

=

(11.3)

własność 3 - splatanie funkcji jest rozdzielne względem dodawania:

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

t

f

*

t

f

t

f

*

t

f

t

f

*

t

f

t

f

3

2

3

1

3

2

1

+

=

+

(11.4)

splot funkcji f(t) z funkcją jednostkową 1(t)

( )

( )

τ

τ

d

f

1

*

t

f

t

0

∫

=

(11.5)

Zatem mnożenie splotowe funkcji f(t) przez funkcję jednostkową 1(t) jest równoznacz-
ne z całkowaniem funkcji f(t) w przedziale (0,t)

splot funkcji f(t) z funkcją impulsową Diraca

δ(t)

Na podstawie definicji

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

τ

τ

τ

δ

δ

δ

d

t

f

t

f

*

t

t

*

t

f

∫

∞

∞

−

−

=

=

Ponieważ

δ(t) istnieje tylko przy τ=0 - co oznacza, że należy brać pod uwagę wartość

funkcji f(t-

τ) tylko w punkcie τ=0, a więc f(t-τ) może być zastąpiona przez f(t). Za-

tem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

t

f

d

t

f

d

t

f

t

*

t

f

⋅

=

=

=

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

τ

τ

δ

τ

τ

δ

δ

stąd

( ) ( )

( )

t

f

t

*

t

f

=

δ

(11.6a)

Ponadto

( ) (

)

(

)

0

0

t

t

f

t

t

*

t

f

−

=

−

δ

(11.6b)

- 3 -

B) TWIERDZENIE BORELA O SPLOCIE

Jedną z najważniejszych właściwości przekształcenia Laplace’a jest

twierdzenie o splocie tzw. twierdzenie Borela:

( )

( )

[

]

( ) ( )

s

F

s

F

t

f

t

f

2

1

2

1

*

⋅

=

L

(11.7a)

lub

( ) ( )

[

]

( )

( )

t

f

t

f

s

F

s

F

2

1

2

1

1

*

=

⋅

−

L

(11.7b)

gdzie:

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

t

f

s

F

,

t

f

s

F

2

2

1

1

L

L

=

=

C) TWIERDZENIE O TRANSFORMACIE POCHODNEJ SPLOTU

Transformata Laplace’a pochodnej splotu

( )

( )

[

]

( ) ( )

s

F

s

F

s

t

f

*

t

f

t

d

d

2

1

2

1

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

L

(11.8a)

czyli

( ) ( )

[

]

( )

( )

[

]

t

f

*

t

f

t

d

d

s

F

s

F

s

2

1

2

1

1

=

−

L

(11.8b)

- 4 -

D) CAŁKA DUHAMELA

( )

( )

[

]

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

f

t

d

d

t

f

t

f

t

d

d

t

∫

−

=

0

2

1

2

1

*

(11.9)

wyrażenie to nazywamy całką Duhamela (całką superpozycji)

Zgodnie z twierdzeniem o różniczkowaniu całki względem parametru

(jeśli obie funkcje f

1

(t) i f

2

(t) mają ciągłe pochodne dla t>0) napiszemy

( )

( )

[

]

=

t

f

t

f

t

d

d

2

1

*

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

τ

τ

τ

τ

τ

τ

d

t

f

f

f

t

f

d

t

f

f

t

d

d

t

t

∫

∫

−

+

=

−

=

+

0

'

2

1

2

1

0

2

1

0

(11.10a)

(

) ( )

( )

( )

(

) ( )

τ

τ

τ

τ

τ

τ

d

f

t

f

t

f

f

d

f

t

f

t

d

d

t

t

∫

∫

−

+

=

−

=

+

0

2

'

1

2

1

0

2

1

0

(11.10b)

a korzystając z przemienności splotu otrzymamy pozostałe postacie całki
Duhamela

( )

( )

[

]

( )

( )

(

) ( )

τ

τ

τ

d

f

t

f

0

f

t

f

t

f

*

t

f

t

d

d

t

0

'

2

1

2

1

2

1

∫

−

+

=

+

(11.10c)

( )

( )

[

]

( )

( )

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

f

t

f

0

f

t

f

*

t

f

t

d

d

t

0

2

'

1

2

1

2

1

∫

−

+

=

+

(11.10d)

- 5 -

11.2. OPERATOROWE FUNKCJE UKŁADU

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie przyczy-

nowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest
odpowiedź r(t) (prądowa lub napięciowa).

f t

( )

r t

( )

układ

SLS

Jeśli wielkości f(t) i r(t) występują na tych samych zaciskach to rozpa-

trywany układ staje się

dwójnikiem

. Jego stan opisany jest parą funkcji:

prądu wejściowego i napięcia

I (s)

Z

i (t)=f(t)

Z

U(s)

u(t)=r(t)

Z(s)

a)

b)

u (t)=f(t)

0

U (s)

0

I(s)

i(t)=r(t)

Y(s)

W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru

( )

( ) ( )

s

I

s

Z

s

U

Z

=

(11.11a)

( ) ( ) ( )

s

U

s

Y

s

I

0

=

(11.11b)

gdzie:

Z(s) – operatorowa IMpedancja

Y(s) – operatorowa adMITANCJA

Dla obu tych funkcji układu spełniających związek

( ) ( )

1

s

Z

s

Y

=

(11.12)

stosujemy określenie :

operatorowa IMMITANCJA

- 6 -

W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia

z

czwórnikiem

. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-

wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-
szenia nazywamy

TRANSMITANCJĄ operatorową

.

F s

( )

R(s)

K(s)

( )

( )

( )

.

P

.

W

zerowych

przy

s

F

s

R

s

K

=

(11.13)

czyli

( )

( ) ( )

s

F

s

K

s

R

=

(11.14)

Wyróżniamy operatorową:

K (s)

u

I (s)=0

2

U (s)

2

U (s)

1

transmitancję napięciową

( )

( )

( )

( )

0

s

I

1

2

u

2

s

U

s

U

s

K

=

=

(11.15a)

K (s)

iu

I (s)=0

2

U (s)=0

2

U (s)

1

transmitancję prądowo-napięciową

( )

( )

( )

( )

0

s

U

1

2

u

i

2

s

U

s

I

s

K

=

=

(11.15b)

K (s)

i

I (s)

2

I (s)

1

U (s)=0

2

transmitancję prądową

( )

( )

( )

( )

0

s

U

1

2

i

2

s

I

s

I

s

K

=

=

(11.15c)

K (s)

ui

I (s)=0

2

U (s)

2

I (s)

1

transmitancję napięciowo-prądową

( )

( )

( )

( )

0

s

I

1

2

i

u

2

s

I

s

U

s

K

=

=

(11.15d)

- 7 -

Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki funkcji wymuszającej f(t)

①

Gdy funkcją wymuszającą jest

funkcja impulsowa Diraca

δ(t

)

Czyli

( ) ( )

( )

[ ]

( )

1

=

=

→

=

s

F

t

t

t

f

δ

δ

L

wówczas

( )

( ) ( )

( )

( )

s

K

s

K

s

F

s

K

s

R

=

=

=

1

(11.16)

F s

( )=1

R(s)=K(s)

K(s)

Oznacza to, że funkcja transmitancji K(s) jest tożsama z operatorową

odpowiedzią układu na wymuszenie impulsowe. Można zatem nazwać ją
operatorową funkcją impulsową układu.

②

Gdy funkcją wymuszającą jest

funkcja skoku jednostkowego 1(t

)

Czyli

( ) ( )

( )

[ ]

( )

s

s

F

t

t

t

f

1

1

1

=

=

→

=

L

wówczas

( )

( ) ( )

( )

( )

s

H

s

s

K

s

F

s

K

s

R

=

=

=

1

(11.17)

F s

( )=1/s

R(s)=K(s)/s=H(s)

K(s)

Tę szczególną odpowiedź H(s) nazywamy operatorową odpowie-

dzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.

- 8 -

Zatem relacje pomiędzy operatorową funkcją impulsową układu K(s)

i operatorową odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym
H(s) są następujące:

( )

( )

( )

( )

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

s

H

s

s

K

s

s

K

s

H

(11.18)

Znajomość jednej z tych funkcji pozwala łatwo określić drugą.

11.3. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE

Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i

wyjściu stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na wej-
ściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.

Najczęściej używanymi sygnałami wzorcowymi w procesach bada-

nia układów są:

①

sygnał impulsowy

δ(t)

②

sygnał skoku jednostkowego 1(t)

______________________________

Rozpatrzmy ponownie zależność (11.14)

( )

( ) ( )

s

F

s

K

s

R

=

gdzie:

F(s) =

L

[

f(t)] – jest transformatą wymuszenia

K(s) =

L

[

k(t)] – jest transmitancją operatorową

Zatem zgodnie z twierdzeniem Borela (11.7b) oryginał odpowiedzi

r(t) określony jest funkcją splotu

( ) ( ) ( )

t

f

t

k

t

r

*

=

(11.19)

F s

( )

R(s)

K(s)

f(t)

r(t)

*k(t)

L

-1

- 9 -

①

Jeśli

sygnałem wzorcowym

jest

funkcja impulsowa Diraca

δ(t)

to zgodnie z (11.19) i (11.16)

( ) ( ) ( ) ( )
( )

( )

[

]

( )

t

k

s

K

t

r

t

k

t

t

k

t

r

=

=

=

=

−1

*

L

δ

(11.20)

zatem

k(t)

– zwana

CHARAKTERYSTYKĄ IMPULSOWĄ UKŁADU

(

funkcją/charakterystyką impulsową)

jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie impulsem
Diraca.

②

Jeśli

sygnałem wzorcowym

jest

funkcja skoku jednostkowego 1(t)

to zgodnie z (11.17)

( )

( )

( )

[

]

( )

t

h

s

H

s

K

s

t

r

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

−

−

1

1

1

L

L

(11.21)

zatem

h(t)

– zwana

CHARAKTERYSTYKĄ SKOKOWĄ UKŁADU

(funkcją/charakterystyką przejściową)

jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem
jednostkowym.

Z relacji (11.18) wynikają następujące związki pomiędzy charakte-

rystykami czasowymi układu:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

=

⎯

⎯ →

⎯

=

=

⎯

⎯ →

⎯

=

−

−

∫

t

d

t

h

d

t

k

s

H

s

s

K

d

k

t

h

s

s

K

s

H

t

1

1

0

)

(

L

L

τ

τ

(11.22)

- 10 -

Znając charakterystykę czasową układu r

s

(t) jako odpowiedź na

sygnał wzorcowy f

s

(t), możemy wyznaczyć odpowiedź układu na do-

wolny sygnał przyczynowy, korzystając z zależności

( )

( )

( ) ( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

s

F

s

F

s

R

t

r

s

s

1

L

(11.23)

♦

Mając

charakterystykę impulsową k(t)

można wyznaczyć odpo-

wiedź układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twier-
dzenia Borela (

11.7

) oraz definicji splotu (

11.1

) i jego własności (

11.2

):

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

k

t

r

t

∫

−

=

0

)

(

(11.24a)

(

) ( )

τ

τ

τ

d

f

t

k

t

r

t

∫

−

=

0

)

(

(11.24b)

♦

Mając

charakterystykę skokową h(t)

można wyznaczyć odpowiedź

układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twierdzenia o
transformacie pochodnej splotu (

11.8

) oraz całki Duhamela (

10.10

):

( ) ( ) ( )

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

h

f

t

h

t

r

t

∫

−

+

=

0

'

0

(11.25a)

( ) ( ) ( )

(

) ( )

τ

τ

τ

d

f

t

h

t

f

h

t

r

t

∫

−

+

=

0

'

0

(11.25b)

( ) ( ) ( )

(

) ( )

τ

τ

τ

d

f

t

h

f

t

h

t

r

t

∫

−

+

=

0

'

0

(11.25c)

( ) ( ) ( )

( ) (

)

τ

τ

τ

d

t

f

h

t

f

h

t

r

t

∫

−

+

=

0

'

0

(10.25d)

- 11 -

11.4. ZWIĄZKI MIĘDZY CHARAKTERYSTYKAMI

CZASOWYMI I CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI

WPROWADZENIE

Znajomość transmitancji bądź immitancji operatorowej układu pozwa-

la wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową stanu ustalonego dla
układu klasy SLS, stabilnego, prawie we wszystkich punktach

ω∈(0.∞),

przez proste podstawienie s=j

ω. Zatem

( )

( )

ω

ω

j

s

s

K

j

K

=

=

(11.26)

Wykorzystując jednostronne przekształcenie Laplace’a (10.13) mo-

żemy powyższe równanie przekształcić w zależność słuszną dla

ω∈(0.∞)

( )

( )

( )

∫

∫

∞

−

=

∞

−

=

=

0

0

t

d

e

t

k

t

d

e

t

k

j

K

t

j

j

s

t

s

ϖ

ω

ω

(11.27)

Otrzymujemy zatem

jednostronne przekształcenie Fouriera

, które istnieje

wtedy i tylko wtedy, gdy

( )

∞

<

∫

∞

dt

t

k

0

Jak wiemy K(j

ω), czyli charakterystyka amplitudowo-fazowa, jest

wielkością zespoloną, którą możemy przedstawić w postaci algebraicznej
lub wykładniczej:

( )

( )

( )

( )

( )

ω

ω

ω

ω

ω

j

K

j

j

K

j

e

K

e

j

K

j

K

arg

arg

=

=

- 12 -

ZWIAZKI GRANICZNE CHARAKTERYSTYK

Twierdzenie o wartości początkowej i końcowej funkcji f(t):

- jeśli

( )

( )

[ ]

t

f

s

F

L

=

oraz istnieje granica

( )

( )

+

→

=

+

0

lim

0

f

t

f

t

, to

( )

( )

+

∞

→

= 0

lim

f

s

sF

s

(11.28)

- jeśli

( )

( )

[ ]

t

f

s

F

L

=

oraz istnieje granica

( )

( )

∞

=

∞

→

f

t

f

t

lim

, to

( )

( )

∞

=

→

f

s

sF

s

0

lim

(11.29)

Zatem jeśli operatorową funkcją układu jest transmitancja K(s) a cha-

rakterystyka impulsowa posiada skończone granice zarówno dla t

→0

+

jak i

t

→∞, to słuszne są związki

( ) ( )

( )

( )

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

=

∞

=

+

∞

→

→

0

lim

lim

0

k

s

K

s

k

s

K

s

s

s

(11.30)

Jeśli weźmiemy pod uwagę charakterystykę skokową (przejściową)

układu, to możemy zapisać przy założeniu, że h(t) posiada granice zarów-
no dla t

→0

+

jak i t

→∞ oraz uwzględniając zależności (11.18)

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

=

=

∞

=

=

+

∞

→

∞

→

→

→

0

lim

lim

lim

lim

0

0

h

s

K

s

H

s

h

s

K

s

H

s

s

s

s

s

(11.31)

następnie uwzględniając wzór (11.26) otrzymujemy:

- 13 -

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

=

=

∞

=

=

+

∞

→

=

∞

→

→

=

→

0

lim

lim

lim

lim

0

0

h

K

s

K

h

K

s

K

j

s

s

j

s

s

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(11.32)

Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich

jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(

ω), to

jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji
skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.

t

1

0

h(t)

ω

1

0

K( )

ω

ZWIĄZKI PARAMETRÓW CHARAKTERYSTYK

Jako podstawowe parametry charakterystyk czasowych przyjmuje się

między innymi:

t

n

– czas narastania,

t

o

– czas opóźnienia,

Z - zwis

- 14 -

Czas narastania t

n

- układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas

wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej)
układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej

1

,

0

9

,

0

t

t

t

n

−

=

(11.33)

Czas opóźnienia t

o

- układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas

wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej)
układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej

0

5

,

0

t

t

t

o

−

=

(11.34)

t

h =1

ust

0

h(t)

t

o

t

n

0,1

0,5

0,9

g

n

f

t

45

,

0

35

,

0

÷

=

(11.35)

g

o

f

t

1

,

0

=

(11.36)

Funkcję zwisu Z(t)

- układu górnoprzepustowego definiujemy:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

t

h

h

t

h

t

h

t

Z

ust

−

=

−

=

0

(11.37)

lub funkcję zwisu w procentach

( ) ( ) ( )

( )

%

100

0

0

%

⋅

−

=

h

t

h

h

t

Z

(11.38)

t

h(0)

0

h(t)

t

i

Z(t

i

)

Dla małych wartości t

( )

t

f

t

Z

g

π

200

%

≈

(11.39)

- 15 -

PRZYKŁAD

Dla układu przedstawionego na

rysunku, mając dane R

1

=9k

Ω,

R

2

=1k

Ω, C=1mF, wyznaczyć:

1. charakterystykę skokową,
2. czas narastania i opóźnienia,

3.

charakterystykę impulsową.

C

R

1

u

1

(t)

R

2

u

2

(t)

Ad.1.

• Podajemy skok jednostkowy na wejście układu i przedstawiamy

schemat operatorowy układu

1/sC

R

1

U

1

(s)

R

2

U

2

(s)

R

1

U

1

(s)

Z

2

(s)

U

2

(s)

gdzie:

( )

C

sR

R

R

sC

R

sC

s

Z

2

2

2

2

2

1

1

1

+

=

+

=

• Korzystając z dzielnika napięcia wyznaczamy operatorową funkcję

układu

( )

s

K

( )

( )

(

)

C

sR

R

R

R

R

C

sR

R

C

sR

R

R

s

Z

s

Z

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

+

+

=

+

+

+

=

+

=

C

R

sR

R

R

R

2

1

1

2

2

+

+

=

s

9

10

1

+

=

- 16 -

• Wyznaczamy operatorową odpowiedź układu na wymuszenie sko-

kiem jednostkowym (zależność 11.17)

( )

( )

(

)

s

s

s

s

s

s

K

s

H

9

10

1

9

10

1

+

=

+

=

=

UWAGA: znając H(s) możemy wyznaczyć (zal.11.31)

( )

( )

(

)

0

9

10

1

lim

9

10

1

lim

lim

0

=

+

=

+

=

=

∞

→

∞

→

∞

→

+

s

s

s

s

s

H

s

h

s

s

s

( )

( )

1

,

0

9

10

1

lim

lim

0

0

=

+

=

=

∞

→

→

s

s

H

s

h

s

s

• Wyznaczamy charakterystykę czasową skokową układu (zal.11.21)

( )

( )

[

]

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

=

−

−

s

s

s

H

t

h

9

10

1

1

1

L

L

(

)

a

s

s

1

+

1

−

L

→

(

)

t

a

e

1

a

1

−

−

Lp.9.

( )

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

−

−

−

9

10

1

9

1

9

10

9

1

10

9

1

1

1

1

s

s

s

s

s

s

t

h

L

L

L

( )

( )

1

1

1

9

10

1

9

1

9

10

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

− t

e

t

h

- 17 -

( )

( )

t

e

t

h

t

1

1

,

0

1

,

0

9

10

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

−

Ad.2.

Czas narastania t

n

-

1

,

0

9

,

0

t

t

t

n

−

=

Czas opóźnienia t

o

-

0

5

,

0

t

t

t

o

−

=

Wiemy już, że

( )

0

0

0

=

=

+

h

t

( )

1

,

0

=

∞

= h

t

ustal

0.12

0

h t

( )

5

0

t

0

1

2

3

4

5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

- 18 -

( )

09

,

0

1

,

0

9

,

0

9

,

0

=

⋅

=

t

h

09

,

0

1

,

0

1

,

0

9

10

=

−

− t

e

1

,

0

09

,

0

1

,

0

9

10

−

=

−

− t

e

01

,

0

1

,

0

9

10

−

=

−

− t

e

1

,

0

9

10

=

− t

e

( )

1

,

0

ln

9

10 =

−

t

303

,

2

9

10

−

=

−

t

stąd:

073

,

2

9

,

0

=

t

( )

01

,

0

1

,

0

1

,

0

1

,

0

=

⋅

=

t

h

stąd:

095

,

0

1

,

0

=

t

czyli:

977

,

1

095

,

0

073

,

2

1

,

0

9

,

0

=

−

=

−

=

t

t

t

n

( )

05

,

0

1

,

0

5

,

0

5

,

0

=

⋅

=

t

h

stąd:

624

,

0

5

,

0

=

t

czyli:

624

,

0

0

624

,

0

0

5

,

0

=

−

=

−

=

t

t

t

o

- 19 -

Ad.3.

Sposób 1

Znając charakterystykę skokową, można wykorzystać zal. 11.22.

( )

( )

( )

( )

t

e

t

e

dt

d

t

d

t

h

d

t

k

t

t

1

9

10

1

,

0

1

1

,

0

1

,

0

9

10

9

10

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

=

−

−

( )

( )

t

e

t

k

t

1

9

1

9

10

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

−

Sposób 2

Znając operatorową funkcję układu

( )

s

s

K

9

10

1

+

=

wykorzystujemy zal.11.20:

( )

( )

[

]

( )

t

e

s

s

K

t

k

t

1

9

1

9

10

1

9

10

1

1

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

=

=

−

−

−

L

L

a

s

1

+

1

−

L

→

t

a

e

−

Lp.5.

0.12

0

k t

( )

5

0

t

0

1

2

3

4

5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1