SIMR Analiza 1, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa
1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi
(a) y = x2 , y = x + 2 , y = 2 - x
(b) x = y2 , x + 2y2 = 3
(c) y = ln x , y = 0 , x = e
Ą
(d) y = arc tg x , y = x
4
(e) x2 + y2 = 2 , y = x2
(f) xy = 2 , y = x , 4y = x2
1 x2
(g) y = , y =
1 + x2 2
2. Obliczyć długość krzywej:
" "
(a) y = ln x, x " [ 3, 8]
(b) y = ln(1 - x2), x " [0, 1/2]
ex + 1
(c) y = ln , x " [a, b]
ex - 1
"
(d) y = 1 - x2 + arc sin x, x " [-1, 1]
1 1
(e) x = y2 - ln y, x " [1, e]
4 2
(f) y = 1 - ln(cos x), x " [0, Ą/4]
3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru 0 y y(x) dookoła osi Ox
(a) y = x2 , x "< 0, 2 >
"
4
(b) y = 4 - x2 , x "< 0, 2 >
x
(c) y = , x "< 0, 1 >
x2 - 4
(d) y = sin2 x , x "< 0, Ą >

| cos x|
(e) y = , x "< 0, Ą >
1 + sin x
1
(f) y = , x "< 0, 1 >
1 + ex
2
(g) y = x2e-x , x " [0, ")
1
(h) y = , x " [0, ")
1 + x2
(i) y = 2x - x2, x " [0, 2]
(j) x2 - xy + y2 = a2
4. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej dookoła osi Ox

(a) y = x x/a, x " [0, a]
(b) y = tg x, x " [0, Ą/4]
(c) y = sin x, x " [0, Ą]
Ąx
(d) y = a cos , |x| b
2b
(e) y = cosh x , |x| b
5. Oblicz całki:
"

1
(a) dx
x2
a
1
(b) ln xdx
0
+"

1
(c) dx
1 + x2
-"
2Ą

1
(d) dx
2 + cos x
0
1
dx
"
(e)
1 - x2
-1
"

dx
(f)
x2 + x - 2
2
2
"

1
(g) dx
x2 + x + 1
0
"

x ln x
(h) dx
(1 + x2)2
0
"

arc tg x
(i) dx
(1 + x2)3/2
0
"

(j) e-ax cos bxdx (a > 0)
0