Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
Zadanie 2
Oblicz naprężenia i odkształcenia w betonie i stali dla przekroju prostokątnego
w fazie Ia (przed zarysowaniem). Obciążenia mają charakter krótkotrwały. Przekrój
jest pojedynczo zbrojony.
1. Geometria i zbrojenie
a = 35 mm
1
a = 30 mm
2
d = h  a = 45  3,5 = 41,5 cm
1
pð ×ð1,62
A = 3 ×ð =ð 6,032 cm2
s1
4
2. Dane materiałowe
Beton C20/25
E = 30 GPa  moduł sprężystości betonu
cm
f = 2,2 MPa  wytrzymałość średnia na rozciąganie
ctm
(norma PN EN 1992 1 1:2008, tablica 3.1)
Stal:
E = 200 GPa  moduł sprężystości stali
s
Współczynnik określający wspólną odkształcalność betonu oraz stali pod wpływem
działania obciążeń krótkotrwałych
Es 200
aðe =ð =ð =ð 6,667 [-ð]
Ecm 30
3. Charakterystyki geometryczne przekroju
W celu wyznaczenia charakterystyk geometrycznych wprowadzamy zastępczy
przekrój betonowy. Przekrój jest pojedynczo zbrojony, więc pręty górne traktowane
są jako zbrojenie konstrukcyjne i nie będą uwzględniane w obliczeniach.
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 2 1
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
W fazie Ia, z uwagi na brak zarysowania (naprężenia w dolnych rozciąganych
włóknach betonu są mniejsze od średniej wytrzymałości betonu na rozciąganie
sð < f ), beton przenosi zarówno Å›ciskanie jak i rozciÄ…ganie:
ct ctm
Wyznaczenie położenia osi obojętnej przekroju zastępczego:
Sy =ð aðeAs1d +ð bh×ð 0,5h =ð 6,667×ð6,032 ×ð10-ð4 ×ð 0,415 +ð 0,25 ×ð 0,45 ×ð 0,225 =ð 26,981×ð10-ð3 m3
A =ð aðeAs1 +ð bh =ð 6,667×ð6,032 ×ð10-ð4 +ð 0,25 ×ð 0,45 =ð 0,117 m2
Sy 26,981×ð10-ð3
xI =ð =ð =ð 0,232 m
A 0,117
Moment bezwładności przekroju:
3
bxI3 b(ðh -ð xI )ð
2
II =ð +ð +ð aðeAs1(ðd -ð xI )ð
3 3
3
0,25×ð 0,2323 0,25×ð(ð0,45 -ð 0,232)ð
2
II =ð +ð +ð 6,667×ð6,032 ×ð10-ð4 ×ð(ð0,415 -ð 0,232)ð =ð 20,386×ð10-ð4 m4
3 3
4. Wyznaczenie wielkości naprężeń i odkształceń wywołanych momentem
rysującym tuż przed zarysowaniem.
Wielkości momentu rysującego M = 18,5625 kNm, wyznaczono w zadaniu 1.
cr
4.1. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu
Mcr 18,5625
sð =ð ×ð xI =ð ×ð 0,232 ×ð10-ð3 =ð 2,11MPa
c
II 20,386×ð10-ð4
sð 2,11
c
eð =ð =ð ×ð103 0 =ð 0,070 0
c
Ecm 30 ×ð103
4.2. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym rozciąganym włóknie betonu
Mcr 18,5625
sð =ð ×ð(ðh -ð xI)ð =ð ×ð 0,218 ×ð10-ð3 =ð 1,99 MPa
ct
II 20,386×ð10-ð4
sðc 1,99
eðct =ð =ð ×ð103 0 =ð 0,066 0
Ecm
30 ×ð103
4.3. Naprężenia i odkształcenia w zbrojeniu rozciąganym
Mcr 18,5625
sð =ð aðe ×ð(ðd -ð xI)ð =ð 6,667×ð ×ð 0,183 ×ð10-ð3 =ð 111,14 MPa
s1
II 20,386×ð10-ð4
sð 11,14
s1
eð =ð =ð ×ð103 0 =ð 0,056 0
s1
Es 200 ×ð103
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 2 2
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
5. Uwagi i wnioski
·ð Wielkość naprężeÅ„ w dolnym rozciÄ…ganym włóknie betonu dla wielkoÅ›ci
momentu M = M powinny wynosić sð = f . Nie speÅ‚nienie równoÅ›ci jest
sd cr ct ctm
spowodowane pominięciem udziału zbrojenia w obliczeniach momentu
rysujÄ…cego.
Zadanie 2a
Określić, w jaki sposób pełzanie wpływa na naprężenia w betonie i stali. Element
znajduje się w środowisku o wilgotności względnej powietrza RH = 50% i będzie
obciążony, gdy wiek betonu wyniesie 28 dni.
fðÄ„ð,t - koÅ„cowy współczynnik peÅ‚zania betonu ( PN EN 1992 1 1:2008, rys. 3.1)
0
1. Wielkości pomocnicze do wyznaczenia końcowego współczynnika pełzania
betonu:
2Ac 2 ×ð b ×ð h 2 ×ð 250 ×ð 450
h0 =ð =ð =ð =ð 160,71mm
u 2b +ð 2h 2 ×ð 250 +ð 2 ×ð 450
h  miarodajny wymiar przekroju elementu (w milimetrach)
0
A  pole przekroju elementu
c
u  obwód przekroju poddany działaniu powietrza
Wielkość końcowego współczynnika pełzania betonu określamy na podstawie
rysunku 3.1 PN EN 1992 1 1:2008 dla następujących danych:
t = 28 dni
o
klasa betonu C20/25
fðÄ„ð,t = 3,0
=>
0
RH = 50%
h = 160,71 mm
0
Współczynnik określający wspólną odkształcalność betonu oraz stali pod wpływem
działania obciążeń długotrwałych
Es Es 200
aðe,t =ð =ð (ð1+ð fðÄ„ð,t )ð=ð (ð1+ð 3)ð =ð 26,667 [-ð]
0
Ec,eff Ecm 30
2. Charakterystyki geometryczne przekroju
x = 0,249 m
I
II =ð 24,065×ð10-ð4 m4
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 2 3
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
3. Wyznaczenie wielkości naprężeń i odkształceń wywołanych momentem
rysującym tuż przed zarysowaniem.
3.1. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu
Mcr 18,5625
sð =ð ×ð xI =ð ×ð 0,249×ð10-ð3 =ð 1,92 MPa
c,t
II 24,065×ð10-ð4
3.2. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym rozciąganym włóknie betonu
Mcr 18,5625
sð =ð ×ð(ðh -ð xI)ð =ð ×ð 0,201×ð10-ð3 =ð 1,55 MPa
ct,t
II 24,065×ð10-ð4
3.3. Naprężenia i odkształcenia w zbrojeniu rozciąganym
Mcr 18,5625
sð =ð aðe ×ð(ðd -ð xI )ð =ð 26,667×ð ×ð 0,166×ð10-ð3 =ð 34,19 MPa
s1,t
II 24,065×ð10-ð4
4. Wnioski
·ð PeÅ‚zanie spowodowaÅ‚o spadek naprężeÅ„ w skrajnym Å›ciskanym włóknie betonu
o 9,00% z 2,11 MPa do 1,92 MPa.
·ð W skrajnym rozciÄ…ganym włóknie betonu naprężenia zmniejszyÅ‚y siÄ™ z wartoÅ›ci
1,99MPa dla obciążeń krótkotrwałych do 1,55MPa dla obciążenia długotrwałego
(spadek o 22,11%).
·ð W wyniku peÅ‚zania najwiÄ™kszy przyrost naprężeÅ„ zaobserwowano w zbrojeniu
rozciąganym  wzrost o 206,91 (z 11,14MPa dla obciążeń krótkotrwałych do
34,19 MPa dla długotrwałego działania obciążenia).
Naprężenie [MPa]
sð -ð sðt
Rodzaj
×ð100%
Obciążenia Obciążenia
sð
zmiany
krótkotrwałe długotrwałe
sð 2,11 1,92 9,00% spadek
c
sð 1,99 1,55 22,11% spadek
ct
sð 11,14 34,19 206,91 wzrost
s
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 2 4