Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
Zadanie 3
Oblicz naprężenia i odkształcenia w betonie i stali dla przekroju prostokątnego
w fazie IIa (tuż po zarysowaniu). Wielkości naprężeń wyznaczyć w przekrojach przez
rysę oraz między rysami. Obciążenia mają charakter krótkotrwały. Przekrój jest
pojedynczo zbrojony.
1. Geometria i zbrojenie
a = 35 mm
1
a = 30 mm
2
d = h  a = 45  3,5 = 41,5 cm
1
pð ×ð1,62
As1 =ð 3 ×ð =ð 6,032 cm2
4
2. Dane materiałowe
Beton C20/25
E = 30 GPa  moduł sprężystości betonu
cm
f = 2,2 MPa  wytrzymałość średnia na rozciąganie
ctm
(norma PN EN 1992 1 1:2008, tablica 3.1)
Stal A IIIN
E = 200 GPa  moduł sprężystości stali
s
Współczynnik określający wspólną odkształcalność betonu oraz stali pod wpływem
działania obciążeń krótkotrwałych
Es 200
aðe =ð =ð =ð 6,667 [-ð]
Ecm 30
3. Charakterystyki geometryczne przekroju
W celu wyznaczenia charakterystyk geometrycznych wprowadzamy zastępczy
przekrój betonowy. Przekrój jest pojedynczo zbrojony, więc pręty górne traktowane
są jako zbrojenie konstrukcyjne i nie będą uwzględniane w obliczeniach.
W fazie IIa, z uwagi na zarysowanie (sð > f ), beton przenosi tylko Å›ciskanie,
ct ctm
natomiast zbrojenie rozciÄ…ganie.
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 3 1
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
Wyznaczenie położenia osi obojętnej przekroju zastępczego:
Równanie sumy momentów statycznych, obliczonych względem osi obojętnej
przekroju:
aðeAs1(ðd -ð xII )ð-ð bxII ×ð 0,5xII =ð 0
2
0,5bxII +ð aðeAs1xII -ð aðeAs1d =ð 0
Wprowadzając do powyższego równania kwadratowego stopień zbrojenia
As1
rozciÄ…ganego elementu rð =ð otrzymujemy rozwiÄ…zanie w postaci:
b ×ð d
xII =ð d[ð rðaðe(ð2 +ð rðaðe)ð -ð rðaðe]ð
As1 6,032 ×ð10-ð4
rð =ð =ð =ð 0,0058 [ð-ð]ð
b×ð d 0,25 ×ð 0,415
xII =ð 0,415×ð[ð 0,0058×ð6,667(ð2 +ð 0,0058×ð6,667)ð -ð 0,0058×ð6,667]ð=ð 0,101m
Moment bezwładności przekroju:
3
bxII
2
III =ð +ð aðeAs1(ðd -ð xII )ð
3
0,25×ð 0,1013
2
III =ð +ð 6,667×ð6,032 ×ð10-ð4 ×ð(ð0,415 -ð 0,101)ð =ð 4,823 ×ð10-ð4 m4
3
4. Wyznaczenie wielkości naprężeń i odkształceń wywołanych momentem
rysującym tuż po zarysowaniu.
Wielkości momentu rysującego M = 18,5625 kNm, wyznaczono w zadaniu 1.
cr
4.1. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu w przekroju
przez rysÄ™
Mcr 18,5625
sð =ð ×ð xII =ð ×ð 0,101=ð 3,87 MPa
c
III 4,823 ×ð10-ð4
sð 3,87
c
eð =ð =ð ×ð103 0 =ð 0,129 0
c
Ecm 30 ×ð103
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 3 2
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
4.2. Naprężenia i odkształcenia w skrajnym rozciąganym włóknie betonu w
przekroju przez rysÄ™
sð = 0 MPa
ct
Wartość odkształceń skrajnego rozciąganego włókna betonu można wyznaczyć
z wykresu odkształceń na podstawie twierdzenia Talesa:
eð eð eðc(ðh -ð xII)ð 0,129×ð(ð0,45 -ð 0,101)ð
c ct
=ð Þð eðct =ð =ð =ð 0,448 0
xII h -ð xII xII 0,101
4.3. Naprężenia i odkształcenia w zbrojeniu rozciąganym w przekroju przez rysę
Mcr 18,5625
sð =ð aðe ×ð(ðd -ð xII )ð =ð 6,667×ð ×ð 0,314 =ð 80,67 MPa
s1
III 4,823×ð10-ð4
sð 80,68
s1
eð =ð =ð ×ð103 0 =ð 0,403 0
s1
Es 200 ×ð103
4.4. Średnie odkształcenia w przekroju pomiędzy rysami wg EN 199211:2004
fct,eff
sð kt sð
s s
eð -ð eð =ð -ð (ð1+ð aðerðp,eff )ðÅ‚ð 0,6
sm cm
Es Es rðp,eff Es
sð  naprężanie w zbrojeniu rozciÄ…ganym, obliczone przy zaÅ‚ożeniu, że
s
przekrój jest zarysowany
k  współczynnik zależny od czasu trwania obciążenia
t
k = 0,6  przy obciążeniu krótkotrwałym
t
k = 0,4  przy obciążeniu długotrwałym
t
f  średnia wartość wytrzymałości na rozciąganie, osiągnięta w chwili, w
ct,eff
której  jak się oczekuje  powstaną rysy. W przypadku zarysowania po
28 dniach f = f
ct,eff ctm
2 '
As +ð xð1 Ap
rðp,eff =ð
Ac,eff
xð  skorygowany w zależnoÅ›ci od Å›rednic stali sprężajÄ…cej i zbrojeniowej,
1
stosunek sił przyczepności
A   pole przekroju cięgien sprężających leżących w granicach A
p c,eff
A  efektywne pole betonu rozciÄ…ganego otaczajÄ…cego zbrojenie o
c,eff
wysokości h = min: 2,5(h  d); (h  x)/3; h/2
c,eff
hc,eff =ð min(ð2,5(ð0,45 -ð 0,415)ð; (ð0,45 -ð 0,101)ð/ 3; 0,45/ 2)ð =ð 0,116 m
Ac,eff =ð hc,eff ×ð b =ð 0,116×ð 0,25 =ð 0,0291m2
6,032 ×ð10-ð4
rðp,eff =ð =ð 0,021[-ð]
0,0291
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 3 3
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
80,67 0,6 2,2
eð -ð eðcm =ð -ð (ð1+ð 6,667×ð 0,021)ð×ð103 0 =ð 0,0410
sm
200 ×ð103 200×ð103 0,021
sð 80,67
s
eð -ð eðcm =ð 0,0410 Å‚ð 0,6 =ð 0,6 ×ð ×ð103 0 =ð 0,242 0
sm
Es 200 ×ð103
5. Uwagi i wnioski
·ð Dla tej samej wielkoÅ›ci momentu zginajÄ…cego M = M w chwili tuż przed
sd cr
zarysowaniem, naprężenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu wynosiły
sð = 2,11 MPa, natomiast po zarysowaniu wzrosÅ‚y do wielkoÅ›ci sð = 3,87 MPa.
c c
W wyniku zarysowania nastąpił przyrost naprężeń w betonie o 83,41%.
·ð Naprężenia w zbrojeniu rozciÄ…ganym zwiÄ™kszyÅ‚y siÄ™ z sð = 11,14 MPa do
s1
sð = 80,67 MPa w wyniku przekroczenia wytrzymaÅ‚oÅ›ci betonu na rozciÄ…ganie
s1
co stanowiło przyrost o 624,15% w stosunku do wielkości przed zarysowaniem.
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 3 4