Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
Zadanie 5
Sprawdz
nośność elementu żelbetowego o przekroju prostokątnym i teowym,
podwójnie zbrojonego.
1. Geometria przekroju
1.1. Przekrój prostokątny  1 1.2. Przekrój prostokątny  2
1.3. Przekrój teowy  1 1.4. Przekrój teowy  2
a = 3,5 cm pręty f�16 ułożone w jednym rzędzie a = 3 cm
1 2
a = 6,5 cm pręty f�25 ułożone w dwóch rzędach
1
d = h  a = 45  3,5 = 41,5 cm
1
d = h  a = 45  6,5 = 38,5 cm
1
2. Dane materiałowe
Beton C20/25:
fck 20
fcd =� =� =� 14,286 MPa  wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie
g� 1,4
c
Stal:
f = 500 MPa  obliczeniowa granica plastyczności
yk
fyk 500
fyd =� =� =� 434,783 MPa obliczeniowa granica plastyczności
g� 1,15
s
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 1
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
e� 3,5 ��10-�3
cu1
x�eff,lim =� 0,8 =� 0,8 =� 0,493  graniczna względna
fyd 434,783
3,5 ��10-�3 +�
e� +�
cu1
200 ��103
Es
wysokość strefy ściskanej
3. Nośność przekroju prostokątnego  1
1,62 ��p�
As1 =� 3 �� =� 6,032 cm2
4
1,02 ��p�
As2 =� 2 �� =� 1,571cm2
4
b = 0,25 m
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
b �� xeff �� fcd +� As2 �� fyd =� As1 �� fyd
fyd
(�As1 -� As2 )� (�6,032 -�1,571)���10-�4 434,783
xeff =� �� =� �� =� 0,0543 m
b fcd 0,25 14,286
xeff 0,0543
x�eff =� =� =� 0,131[�-�]�
d 0,415
x�eff =� 0,131Ł� x�eff,lim =� 0,493 �� zbrojenie rozciągane w przekroju jest w pełni
wykorzystane s� = f
s yd
x = 5,431 cm d" 2a = 6 cm �� zakładamy, że wypadkowa siła F działa w osi
eff 2 c
zbrojenia ściskanego A , nośności oblicza się
s2
na podstawie sumy momentów względem
zbrojenia ściskanego położonego w odległości
a od krawędzi
2
MRd =� Fs1 �� z =� Fs1 ��(�d -� a2 )� =� As1 �� fyd ��(�d -� a2 )�
MRd =� 6,032��10-�4 �� 434,783 ��(�0,415 -� 0,03)�
M Ł� M = 100,968 kNm
Sd Rd
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 2
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
4. Nośność przekroju prostokątnego  2
2,52 ��p�
As1 =� 5 �� =� 24,544 cm2
4
1,02 ��p�
As2 =� 2 �� =� 1,571cm2
4
d = 38,5 cm
b = 25 cm
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
b �� xeff �� fcd +� As2 �� fyd =� As1 �� fyd
fyd
(�As1 -� As2 )� (�25,544 -�1,571)� 434,783
xeff =� �� =� �� =� 0,280 m
b fcd 0,25 14,286
xeff 0,280
x�eff =� =� =� 0,726 [�-�]�
d 0,385
x�eff =� 0,726 >� x�eff,lim =� 0,493 �� do dalszych obliczeń przyjmujemy x� = x� =
eff eff,lim
0,493 ponieważ, gdy względna wysokość strefy
ściskanej jest równa granicznej, beton ulega
zniszczeniu przez miażdżenie
xeff,lim =� x�eff,lim �� d =� 0,493 �� 0,385 =� 0,190 [�-�]�
Nośność obliczamy zapisując sumę momentów względem zbrojenia rozciąganego:
M =� F �� z1 +� F �� z2
Rd c s 2
Fc =� b �� xeff ,lim �� fcd =� 0,25 �� 0,190 ��14,286 ��103 =� 678,544 kN
Fs2 =� As2 �� f =� 1,571��10-�4 �� 434,783��103 =� 68,304 kN
yd
z = d  0,5 x = 0,385  0,095 = 0,290 m
1 eff
z = d  a = 0,385  0,03 = 0,355 m
2 2
M =� (�678,544 �� 0,290 +� 68,304 �� 0,355)�
Rd
M Ł� M = 221,03 kNm
Sd Rd
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 3
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
5. Nośność przekroju teowego  1
1,62 ��p�
As1 =� 3 �� =� 6,032 cm2
4
1,02 ��p�
As2 =� 4 �� =� 3,142 cm2
4
d = 41,5 cm
b = 15 cm b = 45 cm
w eff
Zakładamy przekrój pozornie teowy:
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
beff �� xeff �� fcd +� As2 �� fyd =� As1 �� fyd
fyd
(�As1 -� As2 )� (�6,032 -� 3,142)���10-�4 434,783
xeff =� �� =� �� =� 0,0196 m
beff fcd 0,45 14,286
x = 1,96 < h = 15 cm �� założenie przekroju pozornie teowego poprawne
eff f
xeff 0,0196
x�eff =� =� =� 0,047 [�-�]�
d 0,415
x�eff =� 0,047 Ł� x�eff,lim =� 0,493 �� zbrojenie rozciągane w przekroju jest w pełni
wykorzystane s� = f
s yd
x = 1,96 cm d" 2a = 6 cm �� zakładamy, że wypadkowa siła F działa w osi
eff 2 c
zbrojenia ściskanego A , nośności oblicza się
s2
na podstawie sumy momentów względem
zbrojenia ściskanego położonego w odległości
a od krawędzi
2
MRd =� Fs1 �� z =� Fs1 ��(�d -� a2 )� =� As1 �� fyd ��(�d -� a2 )�
MRd =� 6,032��10-�4 �� 434,783 ��(�0,415 -� 0,03)�
M Ł� M = 100,968 kNm
Sd Rd
Wniosek:
jeżeli wysokość strefy ściskanej spełnia warunek x < 2a to przy takiej samej
eff 2
wysokości użytecznej przekroju d oraz ilości zbrojenia rozciąganego A , nośność
s1
przekroju prostokątnego i teowego będzie taka sama.
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 4
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
6. Nośność przekroju teowego  2
2,52 ��p�
As1 =� 4 �� =� 19,635 cm2
4
1,02 ��p�
As2 =� 4 �� =� 3,142 cm2
4
d = 38,5 cm
b = 15 cm b = 45 cm
w eff
Zakładamy przekrój pozornie teowy:
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
beff �� xeff �� fcd +� As2 �� fyd =� As1 �� fyd
fyd
(�As1 -� As2 )� (�19,635 -� 3,142)���10-�4 434,783
xeff =� �� =� �� =� 0,112 m
beff fcd 0,45 14,286
x = 11,2< h = 8 cm �� założenie przekroju pozornie teowego błędne
eff f
Tok postępowania jest analogiczny jak w przypadku przekroju rzeczywiście teowego,
pojedynczo zbrojonego, z tą różnicą , że w strefie ściskaną dodatkowo występuje siła
ściskająca F przenoszona przez zbrojenie A .
s2 s2
Fc1 =� (�beff -� bw)��� hf �� fcd
Fc2 =� xeff �� bw �� fcd
Fs1 =� As1 �� fyd
Fs2 =� As2 �� fyd
Z równowagi sił w przekroju wyznaczamy rzeczywisty zasięg strefy ściskanej:
Fc1 +� Fc2 +� Fs2 =� Fs1
(�beff -� bw)��� hf �� fcd +� xeff �� bw �� fcd +� As2 �� fyd =� As1 �� fyd
(�As1 -� As2)��� fyd -� (�beff -� bw)��� hf �� fcd
xeff =�
bw �� fcd
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 5
Katedra Konstrukcji Betonowych Pomoce dydaktyczne
(�19,635 -� 3,142)���10-�4 �� 434,783 -� (�0,45 -� 0,15)��� 0,08 ��14,286
xeff =� =� 0,175 m
0,15 ��14,286
xeff 0,175
x�eff =� =� =� 0,454 [�-�]�
d 0,385
x�eff =� 0,454 <� x�eff,lim =� 0,493 �� zbrojenie rozciągane w przekroju jest w pełni
wykorzystane s� = f
s yd
Nośność przekroju rzeczywiście teowego:
MRd =� MRd,1 +� MRd,2 +� MRd,3 =� Fc1 �� zc1 +� Fc2 �� zc2 +� Fs2 �� zs3
Fc1 =� (�beff -� bw )��� hf �� fcd =� (�0,45 -� 0,15)��� 0,08 ��14,286��103 =� 342,857 kN
hf
zc1 =� d -� =� 0,385 -� 0,04 =� 0,345 m
2
Fc2 =� xeff �� bw �� fcd =� 0,175 �� 0,15 ��14,286 ��103 =� 374,246 kN
xeff
zc2 =� d -� =� 0,385 -� 0,5 �� 0,175 =� 0,298 m
2
Fs2 =� As2 �� fyd =� 3,142��10-�4 �� 434,783��103 =� 136,591kN
zs =� d -� a2 =� 0,385 -� 0,03 =� 0,355 m
MSd Ł� MRd =� (�342,875 �� 0,345 +� 374,246 �� 0,298 +�136,591�� 0,355)� =� 278,179 kNm
Opracowanie: M. Lachowicz Zadanie 5 6