POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI FILIA W JELENIEJ GÓRZE			Sprawozdanie z ćwiczenia nr: 7 Temat: Wyznaczanie częstości dudnień i momentu sprzęgającego wahadeł
Imię i nazwisko: Grzegorz Rusin			Numer kolejny ćwiczenia: 4	Ocena:
Grupa: 1	Wydział: Elektroniki	Rok: I	Data wykonania ćwiczenia: 18 III 99

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z opisem ruchu oscylatorów sprzężonych, wyznaczenie częstości własnych, częstości dudnień oraz współczynnika sprzężenia.

2. Wstęp teoretyczny

Punkt materialny, na który działa siła proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana, jest oscylatorem harmonicznym, a jego ruch - ruchem harmonicznym. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, równanie ruchu takiego oscylatora ma postać:

gdzie:

m - masa oscylatora,

x - wychylenie z położenia równowagi,

k - współczynnik proporcjonalności.

Równanie to można zapisać w postaci:

gdzie:

- częstość (kołowa) własna oscylatora harmonicznego.

Jeżeli dwa identyczne oscylatory harmoniczne zostaną połączone (sprzężone) w taki sposób, że dodatkowa siła jest proporcjonalna do różnicy wzajemnych wychyleń pojedynczych oscylatorów, to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona - równanie ruchów tych oscylatorów zapisze się w postaci:

Równanie te można uogólnić na większą liczbę oscylatorów harmonicznych o równych częstościach własnych przy czym:

x_i - wychylenie i-tego oscylatora z położenia równowagi (i=1,2,3...),

k_{s -} współczynnik proporcjonalności, opisujący sprzężenie.

Rozwiązanie równania będzie miało postać:

Wstawiając je do ogólnego równania otrzymamy:

Układ ten ma rozwiązanie ze względu na A₁ i A₂ jeżeli wyznacznik tego układu jest równy zeru. Prowadzi to do równości:

Z niego otrzymujemy wyrażenie określające częstości (kołowe) własne oscylatorów sprzężonych:

czyli:

• 
  występuje, gdy A₁ = A₂

Zależność tę otrzymujemy po wstawieniu
do równania:

• 
  występuje, gdy A₁ = -A₂

Zależność tę otrzymujemy analogicznie jak wyżej.

Jeżeli oscylatorami będą wahadła fizyczne to:

gdzie:

D - moment kierujący,

I - moment bezwładności wahadła.

Wartość momentu kierującego:

d - ramię (odległość przyłożenia siły od osi nieruchomej (obrotowej) wahadła)

m - masa wahadła

Równanie różniczkowe wahadła:

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

- kąt wychylenia z położenia równowagi (
- wychylenie max.),

- moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,

- częstość kołowa wahadła,

- faza początkowa.

Okres drgań harmonicznych wahadła fizycznego:

stąd:

Miarą odchylenia wahadeł z położenia równowagi są kąty
. Jeżeli jedno z wahadeł sprzężonych unieruchomimy
a pierwsze pobudzimy do drgań to otrzymamy równanie:

a drgania będą się odbywać z częstością kołową

W przypadku np. warunków początkowych

otrzymamy dla:

Rozwiązania tych równań mają postać:

Wracając do zmiennych
i

Każdy z oscylatorów sprzężonych wykonuje wtedy drganie z częstością kołową

a amplituda zeruje się z częstością

gdzie:

W omawianym przypadku drgania są więc dudnieniami otrzymanymi przez nałożenie się dwóch drgań własnych o częstościach kołowych
i
.

3. Tabele i wyniki pomiarów

1. Dla wahadła swobodnego ( L )

100T [s]	T [s]	Tśr [s]	Tśr [s]			[%]
140,3	1,403	1,4024	0,0027	4,48	0,0086	0,19
139,8	1,398
140,1	1,401
140,6	1,406
140,4	1,404

2. Dla wahadła swobodnego ( P )

100T [s]	T [s]	Tśr [s]	Tśr [s]			[%]
141,4	1,414	1,4112	0,00204	4,45	0,0064	0,14
140,8	1,408
141,2	1,412
141,2	1,412
141	1,41

3. Dla wahadeł sprzężonych gdy
   =
   

100T [s]	T [s]	Tśr [s]	Tśr [s]			[%]
143,6	1,436	1,4016	0,0199	4,483	0,0636	1,42
137,6	1,376
139	1,39
140,2	1,402
140,4	1,404

4. Dla wahadeł sprzężonych gdy
   = -
   

100T [s]	T [s]	Tśr [s]	Tśr [s]			[%]
139,2	1,392	1,3746	0,0389	4,57	0,1293	2,83
139,6	1,396
130,3	1,303
136,7	1,367
141,5	1,415

5. Dla dudnień

T [s]	Tśr [s]	Tśr [s]			[%]
80,9	79,5	0,867	0,079	0,00862	10,1
79,6
79,6
78,2
79,2

4. Przykładowe obliczenia

a) Obliczanie T_śr













b) Obliczanie częstości













c) Obliczanie częstości dudnień










d) Oblicznie momentu kierującego i sprzęgającego

























5. Wnioski

6. Z wyników widać, że błąd wyznaczenia momentu sprzęgającego (12,3%) jest większy od błędu momentu kierującego (2,88%), gdyż zależny jest od większej liczby wielkości fizycznych. Największy wpływ na błąd pomiaru miała niedokładność wyznaczenia częstości dudnień. Natomiast na dokładność wyznaczenia częstości dudnień miał wpływ błąd wyznaczenia czasu trwania (okresu) dudnień. Błąd ten zależał również od skończonego czasu reakcji przy posługiwaniu się stoperem. Również na wartość błędów ma wpływ sprzężenie wahadeł, w którym kulka obciążająca nie znajdowała się dokładnie w środku pomiędzy nimi, czyli układ nie był zrównoważony. Jak widać z obliczen częstość dudnień była dokładniejsza w bezpośrednim jej pomiarze niż z obliczeń (
   ). Częstości własne jednego i drugiego wahadła są zbliżone, aczkolwiek nie takie same. Co wskazuje, że przyrząd laboratoryjny nie charakteryzuje się dużą dokładnoscią.




---