POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI FILIA W JELENIEJ GÓRZE			Sprawozdanie z ćwiczenia nr: 1 Temat: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną
Imię i nazwisko: Grzegorz Rusin			Numer kolejny ćwiczenia: 1	Ocena:
Grupa: 1	Wydział: Elektroniki	Rok: I	Data wykonania ćwiczenia: 25 II 99

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności przez pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych.

2. Wstęp teoretyczny

W fizyce niutonowskiej posługujemy się pojęciem punktu materialnego. Upraszcza to wiele zagadnień, tworząc matematyczny model zjawiska fizycznego. Nie należy jednak zapominać, że nawet najtwardsze materiały, takie jak diament czy widia (węglik żelaza) ulegają odkształceniom nawet pod działaniem stosunkowo niewielkich sił. Odkształcenia te mogą być nieznaczne (ciała stałe) lub większe (gazy, ciecze).

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia wywołane działającymi na nie siłami znikają zupełnie po ustąpieniu tych sił. Spójrzmy zatem na ten problem bardziej mikroskopowo. Istnienie równowagi trwałej między cząsteczkami ciała stałego (czyli węzłami sieci krystalicznej) wynika z faktu istnienia dwóch sił między cząsteczkami, odpychającej i przyciągającej i ich niejednakowej zależności od odległości między cząsteczkami. Przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej niż siły przyciągania. Dzięki temu przy pewnej odległości wzajamnej cząsteczek r0 siły te równoważą się, tworząc stan równowagi trwałej.

Siły przyciągania i odpychania opisane są przez następujące zależności:

gdzie a,b zależą od budowy cząsteczki węzła sieci, a n jest zwykle rzędu 9, m zawiera sie w przedziale 2÷7. Duży wpływ na sprężystość ciał stałych ma również ich budowa, złożenie z wielu małych fragmentów kryształów.

Rozróżniamy cztery rodzaje wiązań atomów lub cząsteczek w ciałach stałych :

1.Jonowe (heteropolarne lub walencyjne) - które powstaje na skutek przyciągania się na przemian rozmieszczonych różnoimiennych jonów np . w kryształach NaCl , KCl .

2.Atomowe (homepolarne lub kowalencyjne) - które jest wynikiem tego , że pewne sąsiadujące ze sobą atomy zawierają wspólne dwa elektrony np . diament , grafit , krzem , german .

3.Metaliczne , które wynika z tego , że istnieje grupa elektronów wspólna wszystkim atomom kryształu . Nazywamy je grupą lub "chmurą" elektronów swobodnych .

4.Van der Waalsa (cząsteczkowe) - w kryształach o tym typie wiązania w węzłach sieci znajdują się obojętne cząsteczki .Siły oddziaływania między nimi powstają na skutek oddziaływania ich wewnętrznych pól elektrycznych oraz oddziaływania drgających ładunków elektrycznych .

Siły działające na ciało wywołują ich odkształcenia . Wszelkie odkształcenia można sprowadzić do trzech głównych rodzajów odkształceń :

1.Odkształcenie jednostronne występuje wtedy , gdy siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała prostopadle do nich .

2.Odkształcenie wszechstronne występuje wtedy ,gdy na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła .

3.Ścinanie następuje wtedy , gdy działające siły są styczne do powierzchni ciała .

Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły:

Jednostką naprężenia jest Pascal [P], czyli takie naprężenie, jakie wywołuje jednostkowa siła działająca na jednostkę powierzchni.

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem :

Jeżęli naprężenia w ciele są dostatecznie małe , to wywołane przez nie odkształcenie względne są do nich wprost proporcjonalne .

Współczynniki proporcjonalności 1/E , 1/K , 1/G nazywamy współczynnikami sprężystości , a ich odwrotności modułami : E - moduł Younga ; K - moduł ściśliwości ; G - moduł sztywności . Są to stałe materiałowe. Pośród metali największe wartości modułu sztywności ma stal G = 79500 MPa , a najmniejsze aluminium G = 26500 MPa .

3. Układ pomiarowy

Schemat wahadła torsyjnego

M - tarcza stała

K - tarcza wymienna

4. Tabele i wyniki pomiarów

a) Pomiar długości drutu

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
l1 [cm]	6,51	6,52	6,51	6,51	6,51	6,51	6,60	6,65	6,60	6,65
l2 [cm]	89,7	89,8	89,9	89,8	89,9	89,9	89,9	89,85	89,8	89,85
l [cm]	83,19	83,28	83,39	83,29	83,39	83,39	83,9	83,2	83,2	83,2
[cm]	0,153	0,063	0,047	0,053	0,047	0,047	0,557	0,143	0,143	0,143

Wartość średnia l = 83,343[cm]

Wartości wynikające z obliczeń złożonych podawane są w podstawowych wielkościach SI

Średni błąd kwadratowy

Błąd procentowy

Błąd pomiaru

l = 0,83343 ± 0,001 [m]

2. Pomiar średnicy drutu

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d [mm]	0,960	0,969	0,971	0,981	0,978	0,970	0,999	0,985	0,969	0,972
[mm]	0,0154	0,0064	0,0044	0,0056	0,0026	0,0054	0,0236	0,0096	0,0064	0,0034

Wartość średnia średnicy drutu = 0,9754 [mm]










d = 0,9754 ⋅10^-3 ± 0,005 ⋅ 10^-3 [m]

3. Pomiar średnicy tarczy dodatkoewej

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
S [cm]	9,98	9,95	9,95	9,96	9,98	9,97	9,96	9,98	9,97	9,98
[cm]	0,012	0,018	0,018	0,008	0,012	0,002	0,008	0,012	0,002	0,012

Wartość średnia średnicy = 9,968 [cm]










s = 0,09968 ± 0,02 ⋅ 10^-3 [m]

4. Masa tarczy dodatkowej

Masa tarczy dodatkowej wynosi: 608,11 [g]




m = 0,60811 ± 0,1 ⋅ 10^-3 [kg]

5. Pomiar czasu 100 okresów wahadła

Pomiar	Jedno.	1	2	3
t1	s	182,009	181,895	181,909
	s	0,4047	0,2097	0,3047
t2	s	254,064	252,141	253,103
	s	0,962	0,961	0,001

Wartość średnia t₁ = 181,94 [s]

Wartość średnia t₂ = 253,1
















t₁ = 181,94 ± 0,01 [s]

t₂ = 253,1 ± 0,01 [s]

5. Obliczenia

W obliczeniach potrzebnych do głównego wzoru stosujemy wartości w podstawowych wielkościach SI

a) Przykładowe obliczenia błędów

Średni błąd kwadratowy




Błąd procentowy




b) Obliczenie modułu sztywności

forma podstawowa




l = długość drutu

m = masa dodatkowej tarczy

r = promień pręta

R = promień dodatkowej tarczy

T₁ = okres drgań układu bez dodatkowej tarczy

T₂ = okres drgań układu z dodatkową tarczą

forma do obliczeń




s = średnica tarczy dodatkowej

d = średnica drutu

m = masa dodatkowej tarczy

n = liczba drgań wahadła

t₁ = czas , w którym wahadło układu bez dodatkowej tarczy wykonało n drgań

t₂ = czas ,w którym wahadło układu wykonało n drgań z dodatkową tarczą

l = długość drutu




c) Obliczenie błedu względnego pomiaru




m/m = 0,000164

2s/s = 0,0004

l/l = 0,0012

4d/d = 0,021

2t/t₂ = 0,00008

2t/t₁ = 0,00011







d) Wynik końcowy

G = 90350 ± 2000 MPa

6. Wnioski

Jak widać z obliczeń moduł sztywności badanego pręta wynosi G = 90350 ± 2000 MPa, co wskazuje na to, że mieliśmy doczynienia ze stalą. Moduł sztywności dla stali zawiera się w przedziale od 76000 MPa do 90000 MPa. Tak więc badany pręt był wykonany ze stali o podwyższonej jakości. Stal taką otzymujemy przez dodanie do niej pierwiastków uszlachetniających, hartowanie i odpuszczanie.

W doświadczeniu wykorzystaliśmy następujące urządzenia: suwmiarka, śruba mikrometryczna, waga laboratoryjna oraz elektroniczne urządzenie mierzące czas. Błąd w pomiarze został spowodowany niedokładnością przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjnym odczytem wyników podczas pomiaru długości drutu oraz jego szerokości. Blędy poszczególnych pomiarów były stosunkowo niewilkie, aczkolwiek ich suma miała wpływ na końcowy wynik.




---