Kinematyka punktu materialnego
Najmniejszą liczbę parametrów określających dokładnie położenie układu
fizycznego nazywamy liczbą stopni swobody tego układu.
Punkt materialny ma 3 stopnie swobody -
współrzędne wektora r = [rx, ry, rz]
Prędkość:

(t + "t) - r r
(t) d
r
V (t) = lim
=
"t dt
"t0
(prędkość chwilowa)


2
d (t) d (t)
V r
Przyspieszenie:
(t) = =
a
2
dt
dt
dx(t)
öÅ‚
dëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dx(t) dVx (t) íÅ‚ Å‚Å‚
dt
Vx(t) = =
dt dt
dt
2
dVx (t) d x(t)
ax(t) = =
2
dt
dt
analogicznie dla ay (t) i az(t)
Przyspieszenie może mieć zarówno składową styczną do kierunku ruchu
(przyspieszenie tangencjalne), jak i składową prostopadłą do kierunku
ruchu (przyspieszenie normalne).
Przyspieszenie tangencjalne powoduje zmianę wartości bezwględnej
(długości) wektora prędkości.
Przyspieszenie normalne powoduje zmianÄ™ kierunku wektora
prędkości (zmianę kierunku ruchu).
"s
Droga: lim"s0 =1
"
r

d = ds
r

ds
V (t ) = v(t) =
dt
t + "t
+"Vdt
"s =
t
"s
V
Prędkość średnia : =
"t
Prędkość średnia
Przykład : V1, t1 V2, t2
xo x x
s1 s2
+
1 2
V
Jeśli s1 = s2 to = V V ?
2
Średnia matematyczna uwzględnia czynniki wagowe (czyli wkład)
poszczególnych czynników.
Prędkość średnia względem czasu (uśredniona po czasie):
+
t t V t V t
1 1 2 2 ''
x -xo+x -x ''
= V1 1 V2 2 == =
V
+
+ + +
t t t t t t
1 2 1 2 1 2 +
t t
1 2
s = s1 + s2
x - xo s1 + s2 s
= = t = t1 + t2
t1 + t2 t1 + t2 t
Prędkość średnia względem drogi
(stosowana w hydrodynamice)
s1 s2
s + s
V V
12
V = V1 s1 + s2 + V2 s1 + s2 =
dr
s + s
s1 + s2 +
VV V V
1 2 1 2
Jeśli s1 = s2 = s V = =
dr.
s1 + s2 2
Niektóre rodzaje ruchu punktu materialnego.
Ruch jednostajny prostoliniowy
t + "t


+"Vdt
a V
= 0; = const.; "s = =V"t ;
t
s = so + Vt
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
t + "t

= const.; "V = adt = a"t
a
+"
t
V = Vo + "V = Vo + a"t
2
t + "t t + "t t + "t
dt a"tdt
"s = = + = Vo"t + a("t)
+"Vdt +"V +"
o
t t t 2
2
a("t)
s = so + Vo"t +
2
Przykłady:
Spadek swobodny

g
Ruch wzdłuż osi y; ay =


Vy = g"t
g
g
g
t2
s = (to=0)
h
h
2


2h
Vy
Vy
Ò!
2hg
s = h Ò! tspadku =Vy(tsp.) =
g
Rzut pionowy
Vy =Vo - gt
g
t2
2
s = h = Vot -
Vy = 0 dla h = hmax
V
o
czas wznoszenia : twzn. =
g
2
ëÅ‚ öÅ‚
gìÅ‚V o÷Å‚
2
1
íÅ‚ Å‚Å‚
g V
V o
o
hmax =Vo g -=
2
2 g
2 2
2
h
max
1
V V
o o
2 / g
przy spadku : tspadku == =
2 g g2
g
2
1V o
2
2 g
Vy (tspadku) = = = Vo
h 2 g
max
g
Ruch w dwóch wymiarach
Rzut ukośny
Ä…
r
r r
r
r r
V = Vxi +Vy j
a = g = ay j = const



d d

V V
d x y
V
j
i
= = +
a
dt
dt
dt
d

V
x
= 0 Ò! Vx = const = Vox = V cosÄ…
dt

g
t2
i
(t) = Voxt + (Voyt - )
j
r
2
zasięg rzutu rmax = [Voxtmax,0]
2V oy
g
t2
max
Voytmax -= 0 Ò! tmax =
g
2


2V o sinÄ…

sin 2Ä…
V
o
r V
max= Voxtmax = o cosÄ… = =
g
g
Ruch jednostajny po okręgu

V = = V
V
1 2
więc przyspieszenie styczne
(tangencjalne) jest równe 0;
występuje tylko przyspieszenie

prostopadłe (normalne)
a
n


"
V
an = lim"t 0
"t
Z podobieństw trójkątów
"V "r V
= Ò! "V = "r :"t
V R R
"V V "r
=
"t R "t
"V "r
W granicy ("t0): i
V
a
n
"t
"t
2
V
=
a
n
czyli
R
4 R
Ä„2
s 2Ä„R
=
T - okres
a
= = n
V ;
2
T
t T
Satelity Ziemi
2
V
kr
=
Przyspieszenie dośrodkowe:
a
n
R
2
V
kr
Dla satelity nisko nad ZiemiÄ…: an = g; R = Rz g =
R
z
Rz = 6370 km = 6,37 x 106 m, g = 9,8 m s -2
Vkr = g = 7,9 x km/s = 28440 km/godz
R
z
2Ä„R z
Tkr = = 5060s = 84 min.
V
kr
Izaak Newton, przed 300-u laty wykonał pierwsze takie obliczenia
i otrzymał Vkr = 8 km/s