Prawo indukcji Faradaya
Jaki jest efekt działania pola magnetycznego na obracającą się ramkę
(przewód w kształcie pętli) ?


v v
F B
Na ładunek q działa siła Lorentza = q x . Iloczyn wektorowy x B
ma wartość skalarną v B siną (vsiną = vĄ"), tzn. tylko składowa prędkości


prostopadła do daje wkład do iloczynu x , bo x = 0).
v v v
B B B
Ä„" ïÅ‚ïÅ‚
Czyli : F = q v B sinÄ… v = É r
l
2
W ruchu obrotowym: v = É oraz Ä… = Ét
2
l
2
F = q É B sinÉt
2

W górnym ramieniu ramki na ładunek q działa analogiczna siła Lorentza ,
F
również skierowana wzdłuż ramienia ramki, wywołująca przepływ ładunku w

pętli w tym samym kierunku co siła . Natomiast w ramionach poprzecznych
F

działające siły Lorentza (np. ) są prostopadłe do ramion ramki.
F 
Praca wykonana przez siłę Lorentza przy przesunięciu ładunku wzdłuż
ramienia dolnego (o długości l1):
l
2
" W = F l1 = q l1 B É sinÉt
2
taka sama praca dla ramienia górnego, a ponieważ praca sił Lorentza wzdłuż
ramion poprzecznych jest równa 0, (bo siły są prostopadłe do przesunięcia),
to całkowita praca sił Lorentza przy przesunięciu ładunku dookoła ramki (z
punktu 1 do 2) wynosi
W = 2"W = q l1 l2 B É sinÉt
TakÄ… energiÄ™ uzyska Å‚adunek q przechodzÄ…c przez ramkÄ™ obracajÄ…cÄ… siÄ™
w stałym polu magnetycznym. Ramka jest więc z
ródłem siły
elektromotorycznej SEM zdefiniowanej jako praca na jednostkÄ™ przy
przejściu ładunku przez z
ródło SEM:
W
µ = = l1 l2 B É sinÉt
q
l1 l2 = A (pole powierzchni ramki)
(SEM) µ = B A É sinÉt
Jak zmienia się strumień magnetyczny przechodzący przez ramkę przy
obrotach ?

ĆB = dA = B Å" A Å" cosÄ… =
+" B
pow.
= B Å" A Å" cosÉt
Szybkość zmian strumienia magnetycznego przy obrotach ramki dana jest
przez pochodnÄ… strumienia po czasie :
d ĆB
= - BÅ" AÅ" ÉÅ"sinÉt
dt
Porównując z wyrażeniem na SEM :
Siła
d ĆB
elektromotoryczna µ = - Prawo Faradaya
dt
indukcji
Można wykazać, że prawo Faradaya jest słuszne dla trzech różnych,
ogólnych sytuacji :
1) Pętla przewodnika porusza się w polu magnetycznym tak, że zmienia
się strumień magnetyczny przez nią obejmowany (np. ramka opisana
powyżej).
2) y
ródło pola magnetycznego (np. magnes lub solenoid) porusza się
względem nieruchomej pętli przewodnika.
3) Pętla przewodnika jest nieruchoma, lecz zmienia się pole magnetyczne
(a więc i strumień pola obejmowanego przez pętlę) wskutek, np. zmian
natężenia prądu w solenoidzie będącym z
ródłem pola magnetycznego.
W 1-szym przypadku powstanie SEM wynika z działania siły Lorentza, jak to
wykazano powyżej dla obracającej się ramki:


1
+" F
µ = d
s
q
W 2-gim i 3-cim przypadku przy nieruchomej pętli i zmianie strumienia
magnetycznego wynikającej ze zmiany pola magnetycznego, w pętli

wytworzy siÄ™ pole elektryczne w wyniku transformacji relatywistycznej i
B E


= - x
v
E B
(pole elektryczne wytwarzane przez z
ródło pola magnetycznego

poruszające się z prędkością )
v
Siła

E
+" s
elektromotoryczna µ = d
całka krzywoliniowa

d
ĆB
E
+" s
czyli : d = - Prawo Fradaya
dt
wersja dla nieruchomej pętli
Oczywiście zmienne pole magnetyczne (przypadek 2 lub 3) wytworzy pole
elektryczne dane powyższym równaniem niezależnie od obecności pętli
przewodnika; równanie to stosuje się do dowolnego pomyślanego konturu
zamkniętego K w przestrzeni :



d
"
B
(
+" B +" E
+" E d s = - dA ) ; d s = - d A
+"
dt
S K "t
K
S
gdzie S jest dowolnÄ… powierzchniÄ… ograniczonÄ… konturem K;

+"
d oznacza całkę krzywoliniową po konturze zamkniętym K,
s

K
A
a d oznacza całkę powierzchniową po powierzchni S.
+"
s

A
Zwrot wektora powierzchni d
wyznaczamy względem kierunku

s
całkowania d z reguły prawej dłoni.
RegułaLenza
Jakie są konsekwencje występowania znaku minus we wzorze


"
B
d = - d ?
+" E s A
+"
K
"t
S

A
Jeśli natężenie pola magnetycznego rośnie w kierunku d (iloczyn


"
B
A E
Å" d jest dodatni ), to wywoÅ‚a on pole elektryczne (i przepÅ‚yw prÄ…du)

"t
s
w kierunku przeciwnym do d . Indukowany prąd wytworzy własne pole
magnetyczne, przeciwdziałające początkowej zmianie strumienia, która
wywołała indukcję. To stwierdzenie jest nazywane regułą Lenza.
Reguła Lenza wyjaśnia m.in. zjawisko  lewitacji kawałka nadprzewodnika
umieszczonego nad magnesem. Gdy siła ciężkości przesunie
nadprzewodnik nieco w dół, zmieni się strumień magnetyczny - ta zmiana
będzie indukowała w nadprzewodniku prądy wirowe takie, że


F
oddziaływanie tych prądów z polem magnetycznym ( = I d l x B )
powstrzyma dalszy spadek nadprzewodnika.
SEM samoindukcji
Prawo Faradaya i wynikająca z niego reguła Lenza stosują się również do
pojedynczego solenoidu (czy pojedynczej pętli) przez który przepuszcza się
prąd o zmiennym natężeniu. Wywołane tym zmienne pole magnetyczne
sprawia, że strumień przechodzący przez tenże solenoid (czy pętlę) zmienia
siÄ™, indukujÄ…c SEM.
Jest to siła elektromotoryczna samoindukcji
dĆ
Dla pÄ™tli, lub 1 zwoju w solenoidzie : µ = - dla N zwojów w solenoidzie:
dt
dĆ
µ = - N (*)
dt
dĆ
dt jest szybkoÅ›ciÄ… zmian strumienia w jednym zwoju; NÅ"Ć jest caÅ‚kowitym
strumieniem w N zwojach.
Strumień magnetyczny jest wywołany prądem płynącym w solenoidzie, jego
wartość jest proporcjonalna do natężenia prądu I :
N Ć = L I (**)
Współczynnik propocjonalności nazywamy indukcyjnością
(współczynnikiem samoindukcji):
NĆ
L a"
I
dĆ
dI
= L
Różniczka (po czasie) równania (**) : N
dt dt
Z porównania z (*) :
dI
µ = -L SEM samoindukcji
dt
s
Jednostką indukcyjności L jest henr : 1 H = V A
Obwód ma indukcyjność 1 H jeśli zmiana natężenia prądu o 1A w czasie 1 s
indukuje siÅ‚Ä™ elektromotorycznÄ… µ = 1V
Przykład : indukcyjność długiego solenoidu o N zwojach, polu przekroju A
NĆ
i długości l : L =
I
dla solenoidu :
4Ä„k N 4Ä„k N
I I
B = więc Ć = B A = A
c2 l c2 l
N N 4Ä„k N
4Ä„k A
N2
I
L = Ć = A =
I I
c2 l
c2 l
Oscylator harmoniczny - obwód LC (bez rezystancji)
W chwili t = 0 (obwód otwarty) naładowano kondensator ładunkiem Qo.
Napięcie na kondensatorze wynosiło Vo = Qo
C
Po zamknięciu obwodu przepływa ładunek z okładki na okładkę poprzez
solenoid (cewkę indukcyjną) wywołując prąd o natężeniu I(t). Prąd o
zmiennym natężeniu jest przyczyną samoindunkcji; powstaje siła
dI
elektromotoryczna samoindukcji µ = - L tzn. pomiÄ™dzy punktami 1 i 2
dt
dI
powstaje różnica potencjałów (napięcie) : V1,2 = - Ldt
W tym samym momencie na okładkach kondensatora jest ładunek q(t),
więc napięcie między punktami 1 i 2 wynosi:
q(t ) q(t )
dI
V1,2 = czyli : = - L
C C
dt
2 2
dq dI q
q q
d d
Ponieważ I = , wiÄ™c = Ò! = - L
2 2
dt dt C
d d
t t
2
1
q
d
czyli : = - q (*)
2
LC
d
t
Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego o ogólnej postaci :
2
x
d
= - É2x ,
2
d
t
którego rozwiÄ…zaniem jest x = A cos Ét gdzie A jest amplitudÄ…
2Ä„
(maksymalnÄ… wartoÅ›ciÄ… x), a É = czÄ™stoÅ›ciÄ…
T
A zatem rozwiązaniem równania (*) jest :
ładunek na okładkach kondensatora
q(t) =Qo cos Ét
i częstotliwość oscylatora LC
1
1 1 É 1
= =
É2 = LC Ò!É= ; f =
LC T 2Ä„ 2Ä„ LC
Napięcie na okładkach kondensatora w dowolnej chwili t:
V(t) = q(t ) Qo = Vo cosÉt
= cos Ét
C C
1
tzn. oscyluje ono z tą samą częstotliwością f =
2Ä„ LC
Natężenie prądu płynącego w obwodzie w dowolnej chwili t:
dq(t )
I(t) = = - Qo É sinÉt
dt
Prąd zmienny  przepływa przez kondensator. Natężenie prądu oscyluje
1
także z częstotliwością f = , ale jest przesunięte w stosunku do
2Ä„ LC
napięcia o fazę Ą/2
Ile wynosi całkowita energia zgromadzona w obwodzie LC?
W chwili t = 0 cały ładunek jest zgromadzony na kondensatorze
q(t=0) = Qo ; I (t=0) = 0.
Energia zmagazynowana w kondensatorze
1 Q2 1
o
= CV2
= o
Uc
o
2 C 2
Gdy ładunek odpływa z okładek kondensatora, maleje energia
zmagazynowana w kondensatorze.
W dowolnej chwili energia zmagazynowana w kondensatorze wynosi:
1 1
22
CV (t ) = CV o
Uc(t) = cos2Ét = Uc cos2Ét
o
2 2
Uc
tzn. cyklicznie zanika od wartości maksymalnej o do zera, ponownie
Uc
o
wzrasta do wartości , itd.
Co siÄ™ dzieje z energiÄ… w momencie gdy Uc(t) = 0 ?
Gdy Uc(t) = 0 to również V(t) = 0, natomiast I(t) ma wówczas wartość
maksymalną (I(t) jest przesunięte w fazie w stosunku do V(t) o Ą/2).
Efekt samoindukcji  podtrzymuje przepływ prądu przez solenoid (co
doprowadzi do ponownego naładowania kondensatora do ładunku Qo, ale
o odwróconych znakach na okładkach). Tzn., że energia była
zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej.
dI
W wyniku samoindukcji powstaje różnica potencjałów : V1,2=L więc
dt
ładunek dq przepływając przez cewkę zyskuje energię dU = V1,2 dq, którą
przekazuje polu magnetycznemu cewki. Czyli zmiana energii pola
magnetycznego wynosi:
dI dq
dIdq
dUL = (L )dq = L L dI =LIdI
=
dt dt
dt
Energia zmagazynowana w cewce od momentu I(t) = 0 do Io:
I
o
1
LIdI = L
UL = +" I2
o o
2
o
W dowolnej chwili energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki
wynosi :
1 1
2
L
Qo
É2 sin2 Ét
UL(t) = LI2(t) =
2 2
tzn. UL(t) zmienia cyklicznie wartość, podobnie jak Uc(t), ale jest
przesunięte w fazie.
Całkowita energia obwodu LC w dowolnej chwili:
1 1
2 2
U(t) = Uc(t) + UL(t) = 2 CV ocos2 Ét + Qo É2sin2Ét =
2L
îÅ‚ Å‚Å‚
LC2V2
1
ïÅ‚
= ;Qo =CVo Ò! LQ2 ==CV2śł
É2 LC É2 LC o
ośł
o
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1
1
2
2 2
CV o sin2 Ét = 1 CV o = o
Uc
CV o
= cos2 Ét +
2
2 2
Całkowita energia drgającego obwodu LC jest zachowana (stała).
Gdy ładunek na okładkach kondensatora osiąga maksymalną wartość
(Qo), cała energia zmagazynowana jest w polu elektrycznym
kondensatora; gdy przez cewkę indukcyjną przepływa prąd o
maksymalnym natężeniu (Io), cała energia zmagazynowana jest w polu
magnetycznym cewki.
Analogia do ruchu harmonicznego prostego.
Sprężyna z ciałem o masie m
Oscylator
Energia potencjalna sprężyny: Energia kondensatora
1 1 1
U= kx2 U2 = q2
2 2 C
Energia kinetyczna drgajÄ…cej masy m: Energia cewki indukcyjnej:
1 1
K= mV2 UL= LI2
2 2
dx dq
Prędkość : V = Natężenie prądu : I=
dt dt
Wychylenie : x A
adunek : q
1
Odwrotność pojemności :
Stała sprężystości : k
C
Masa : m Indukcyjność : L
k 1
CzÄ™stość : É = CzÄ™stość : É =
m LC
Dla oscylatorów elektromagnetycznych mogą również wystąpić drgania
gasnące (gdy w obwodzie będzie rezystor) i wymuszone (gdy w
obwodzie pojawi się SEM cyklicznie zmienna - dla zgodnych częstości
wystÄ…pi rezonans).
Mimo formalnej analogii do oscylatora mechanicznego, zjawiska
zachodzące w oscylatorze elektromagnetycznym mają zupełnie inną
naturÄ™ zwiÄ…zanÄ… z powstajÄ…cymi polami elektrycznymi i magnetycznymi,
przekazujÄ…cymi sobie cyklicznie energiÄ™.
Obliczmy energię pola elektromagnetycznego na przykładzie obwodu LC:
2
1
Qo
Kondensator : Uc =
o
2 C
A
Q EA
E = 4Ä„kà = 4Ä„k Ò! Q = oraz C =
4Ä„kd
A 4Ä„k
2
EA
( )
22
1
E E
Ad = V
Uc = 4Ä„k =
o
A
2 8Ä„k 8Ä„k
4Ä„kd
U
E2
=
gęstość energii pola elektrycznego
V 8Ä„ k
1
Solenoid:
UL = L I2
o o
2
B
4Ä„k NI
N2
B = Ò! I = ; oraz L = 4Ä„k A
4Ä„kN
c2 l
c2 l
ëÅ‚ öÅ‚
c2 l ÷Å‚ 2
ìÅ‚
÷Å‚
c2 B2V
ìÅ‚
UL = 1 4Ä„ k N2AìÅ‚ B ÷Å‚
o
ìÅ‚ ÷Å‚
2 l 4Ä„ kN÷Å‚ = 8Ä„k
c2
ìÅ‚
íÅ‚ l Å‚Å‚
c2
objętość solenoidu V = A l
U
c2
B2 gęstość energii pola magnetycznego
=
V 8Ä„ k
Powyższe wyrażenia są ogólnie prawdziwe.
Ponieważ E i B są w ogólności składowymi tego samego pola
elektromagnetycznego, więc całkowita gęstość energii (ilość energii na
jednostkę objętości) pola elektromagnetycznego jest sumą :
gęstość energii pola
U 1
= ( +
c2
E2 B2 )
V 8Ä„ k
elektromagnetycznego
Ogólna postać równań Maxwella


s
Czy 2-gie równanie Maxwella dla prądu stałego, d =0, jest ogólnie
+" E
prawdziwe ?
Nie, bo w obecności zmiennego pola magnetycznego zgodnie z

prawem Faradaya:

"
B
E +"
+" s A
d = - d
"t
s
całka krzywoliniowa całka powierzchniowa
Podobnie, w obecności zmiennego pola elektrycznego należy uzupełnić
4-te równanie Maxwella (czyli prawo Ampere a:


+" E
d = 4Ä„k Iwew.)
s
c2
całka krzywoliniowa
Zastosujmy prawo Ampere a do konturu K w
kształcie okręgu, przez którego płaszczyznę
przechodzi przewodnik obwodu LC.
Jak wykazaliśmy dla obwodu LC, może w
nim pÅ‚ynąć oscylujÄ…cy prÄ…d I <" sinÉt.
Zgodnie z prawem Ampere a:



4Ä„k 4Ä„k
j
d = I = Iwew d
+"
B s A
+"
c2 c2
Ale na tym samym konturze K można rozpiąć powierzchnię półkuli,
przechodzącą między okładkami kondensatora.
Przez tę powierzchnię półkuli nie przepływa prąd! Natomiast przez
powierzchnię tą przechodzi strumień zmiennego pola elektrycznego,
powstającego pomiędzy okładkami kondensatora. Maxwell wykazał, że
powyższa sprzeczność znika, jeśli prawo Ampere a zostanie uzupełnione
o wyraz zwiÄ…zany ze zmiennym polem elektrycznym :

1 "

E
+"
c2 "t d A
całka powierzchniowa
zwany prądem przesunięcia.





4Ä„k
1 "
E
j
+"
+" B
Wówczas : d s = d + d A
A
+"
c2 A
k
c2 "t
A
(całka krzywol.) (całka pow.) (całka pow.)
Istotnie, stosując to równanie do powierzchni półkuli i biorąc pod uwagę,
że pomiędzy okładkami kondensatora pole jest dane przez :
Q
E = 4Ąk więc:
A
"E 4Ä„k "Q 4Ä„k

==a gęstość prądu = 0,
I;
j
"t A "t A



4Ä„k 1 4Ä„k
j
Id A =
+"
dostajemy: d = d A + +"
+" B s
A
c2 c2 A
A
k
1
= 0 + (4Ä„kI)
c2

4Ä„k
+" B s
czyli: d = I
k
c2
co jest zgodne z wynikiem uzyskanym z prawa Ampere a.
Równania Maxwella


1) Prawo Gaussa : +" E
d = 4Ä„kQwew.
A
całka powierz.
________________________________________________




"
B
s
2) Prawo Faradaya: +" E d = -+" d
A
"t
całka krzywol. całka powierzchniowa
_______________________________________________
3) Ciągłość linii pola

B
+" A
magnetycznego (nie d = 0
całka powierzchniowa
istniejÄ…Å‚adunki ma-
gnetyczne):
________________________________________________

4) Prawo Ampere a



4Ä„k
1 "
E
j
s
+"
+" B +"
(uzupełnione): d = dA + dA
2
ccałka pow. całka pow.
c2 "t
całka krzywol.

Równania Maxwella pozwalają wyznaczyć i jako funkcje położenia i
E B

czasu, jeśli znane są położenia i prędkości ładunków, oraz wartości E i B w
chwili t =0.
Wynika z nich w szczególności, że ładunki poruszające się ruchem
przyspieszonym (np. w oscylatorze LC) wytwarzajÄ… pole
elektromagnetyczne promieniowania, rozchodzÄ…ce siÄ™ w formie fali z
prędkością c= 3 108 m/s (i o częstości równej częstości oscylatora LC) w

której Ą" i E = cB.
E B
Można również wyznaczyć siłę, z jaką pole elektromagnetyczne będzie
oddziaływało na cząstkę o ładunku q:


= q + q x
E V B
F
tzn. możliwe jest opisanie wzajemnego oddziaływania poruszających się
naładowanych cząstek.
"B
ëÅ‚
`" 0öÅ‚
JeÅ›li zmienny prÄ…d wytworzyÅ‚ zmienne pole magnetyczne ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"t
to zgodnie z 2-gim równaniem Maxwella powstanie pole
elektryczne (mimo braku Å‚adunku).
"E
ëÅ‚
÷Å‚
Wytworzone pole elektryczne bÄ™dzie także zmienne ìÅ‚ "t `" 0öÅ‚ , wiÄ™c zgodnie
íÅ‚ Å‚Å‚
z 4-tym równaniem Maxwella powstanie pole magnetyczne ....itd. Nawet
jeśli pierwotne z
ródło pola magnetycznego zostanie wyłączone, to pola
elektryczne i magnetyczne będą istniały nadal, rozchodząc się w postaci fal
z prędkością c.
A
adunki, oscylujące w obwodzie LC z pewną częstotliwością, wysyłają
fale elektromagnetyczną o tej samej częstotliwości, która może
pobudzić do oscylacji z taką samą częstotliwością ładunki w innym,
oddalonym obwodzie LC - Maxwell przewidział łączność radiową!