FALE
Zakłócenie mechaniczne wywołane w pewnym miejscu ośrodka ciągłego
(gaz, ciecz lub ciało stałe) będzie się rozprzestrzeniało w tym ośrodku w
postaci fal bieżących. Gdy zakłócenie ma charakter drgań harmonicznych,
powstanie fala sinusoidalna.
y = A sinÉt (w punkcie x = 0)
w punkcie odległym o x przesunięcie
fazowe Õ <" x,
Õ = kx (opóz
nienie)
y = A sin(Ét - kx)
JeÅ›li x = , to Õ = 2Ä„
2Ą = kĄ
2Ä„
k = liczba falowa

2Ä„
PodstawiajÄ…c É =
T
t x
y = A sin2Ä„ ( - )
T 
Równanie fali bieżącej (harmonicznej)
Zaburzenie przesunie się o x =  w czasie t = T, tzn. prędkość
przemieszczenia siÄ™ zaburzenia w danej fazie (np. grzbietu fali,
zaznaczonego x na rysunku):

v = T =  f prędkość fali
(prędkość fazowa)
2Ä„ É

T = Ò! v = É =
É k
2Ä„
2Ä„ xT x
y = A sin (t - ) = A sinÉ(t - )

T V
Przykład: Wyznaczyć prędkość v fali opisanej równaniem :
y = A sin (Bx + Ct)
C
z porównania : B = - É/v i C = É czyli v = -
B
W ośrodkach sprężystych mogą rozchodzić się fale:
podłużne, polegające na periodycznej zmianie gęstości ośrodka; kierunek
drgań jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali; zależą od modułu
ściśliwości ośrodka;
poprzeczne, polegają na zmianie kształtu ciała; drgania zachodzą w
kierunku prostopadłym do kierunku fali; zależą od modułu sztywności
(możliwe tylko w ośrodkach mających sprężystość postaci - ciałach stałych;
wyjÄ…tek - powierzchnia cieczy).
Zakłada się, że zaburzenie ośrodka wywołane rozchodzącą się falą można
opisać odpowiednim prawem Hooke'a.
Odkształcenie objętości, pod wpływem ciśnienia p (siły skierowane
prostopadle do powierzchni ciała):
"V
p = - K (prawo Hooke a dla odkształcenia objętości)
V
K - moduł ściśliwości (sprężystości objętościowej)
Odkształcenie postaci, pod wpływem siły stycznej do powierzchni ciała
(ciÅ›nienie styczne Ä)
Ä = G Ä… (prawo Hooke a dla odksztaÅ‚cenia postaci)
F
G - moduÅ‚ sztywnoÅ›ci; Ä = ;
s
F - siła styczna do powierzchni s
Powyższe dwa rodzaje odkształceń są od siebie niezależne (tzn.
odkształcenia podstawowe). Związane z nimi jest rozciąganie i ściskanie
(odkształcenie wymiaru liniowego).
"l
à = E (prawo Hooke a dla odkształcenia liniowego)
l
E - moduł sprężystości na rozciąganie (moduł Younga);
F
à = ; à - naprężenie
s
F - siła prostopadła do pola przekroju s
Rozciąganiu towarzyszy zmiana wymiarów poprzecznych.
Prędkość fali sprężystej.
Rozważmy falę podłużną w cieczy, wywołaną ruchem tłoka w rurze
wypełnionej cieczą.
p - ciśnienie cieczy
s - powierzchnia tłoka,
(p s - przyłożona siła)
u - prędkość ruchu tłoka
v - prędkość rozchodzenia
siÄ™ zaburzenia w cieczy
Á - gÄ™stość cieczy
Masa cieczy w ruchu :
m = Á s v t (s v t = v; objÄ™tość)
ta masa uzyskaÅ‚a od tÅ‚oka pÄ™d: P = m u = Á s v t u
Objętość cieczy w ruchu (v= s v t ) zmaleje o "V = s u t
"V
sut u
= K
więc z prawa Hooke a : "p = K = K
V
svt v
Przyrost ciśnienia wywołała siła F = "p s ; ta siła również nadała pęd p
części cieczy (w ruchu); zatem z II-ej zasady dynamiki:
dP d
(F = ): "p s = (Á s v t u)
dt dt
u
K
Po podstawieniu : K s = Á s v u Ò! v =
v
Á
M
Ogólnie v = - wzór Newtona
Á
M - odpowiedni moduł sprężystości
Rozważmy dokładniej ruch cząsteczek ośrodka w którym rozchodzi
się fala sprężysta.
Oznaczymy wychylenie czÄ…stki w chwili t w punkcie x przez
¾ (ksi) (¾ jest funkcjÄ… zmiennych x i t)
"¾
Prędkość odkształcenia : u =
" t
" x
Prędkość rozchodzenia się zaburzenia: v =
" t
U
" ¾
Przyrost ciśnienia : "p =K = K
V " x
´ ¾
inaczej dp = K (*)
´ x
´ ¾
- pochodna czÄ…stkowa funkcji ¾ (x,t) po zmiennej x,
´ x
(traktujemy zmienną t jako stałą).
Siła wywołująca przyrost ciśnienia : F = "p s
Z II-ej zasady dynamiki (F = ma): "p s = m a
Element masy w ruchu : m = Á s "x
"p
´ p
Po podstawieniu: "p s = Á s "x a Ò! = Á a; inaczej: = Á a
"x ´ x
´2¾
´ u
Przyspieszenie: a = = ;
´
´ t
t2
´ p
´2¾
Po podstawieniu : = p (**)
´ x
´
t2
Po zróżniczkowaniu równania (* ) po zmiennej x:
2
¾
´ p
´
= K
´ x ´ x2
Po podstawieniu do równania (**)
2 2
¾ ¾
´
=
K Á ´
´
x2 ´
t 2
inaczej
2 2
Á
¾ ¾
´
= K ´
´ ´
x2
t2
K
K Á 1
PrÄ™dkość fali: v = Ò! v2 = Ò! =
Á
Á
K
v2
Po podstawieniu:
2
2
¾ ´ ¾
1
´
Różniczkowe równanie
=
falowe
´
¾ 2 v 2 ´ t 2
x2
Równanie to stosuje się do wszystkich rodzajów fal, np. dz
więkowych,
fal sprężystych na strunie, fal na wodzie, fal elektromagnetycznych.
t x
-
Równanie y = A sin2Ą( ) jest rozwiązaniem różniczkowego
T 
równania falowego (dla fali poprzecznej: ¾ = y)
Interferencja fal
Zasada niezakłóconej superpozycji: każdy ciąg fal rozchodzi się tak,
jakby nie było innych ciągów fal; punkt do którego dochodzą
jednocześnie różne fale, ulega wychyleniu będącemu sumą wychyleń
wywołanych przez poszczególne fale.
Niezakłócone nakładanie się fal nazywamy interferencją:
Rozpatrzmy nakładanie dwu fal o tej samej częstotliwości i amplitudzie,
lecz o różnych fazach (gdy np. ich z
ródła znajdują się w różnych
odległościach, x1 i x2):
t
x
1
y1 = A sin 2 Ä„ (T - )

t
x
2
-
y2 = A sin 2Ä„ ( )
T 
t t
x x
2 1
- -
po nałożeniu : y= y1 + y2 = A[(sin2Ą ( + sin2Ą ( )]
T  T 
1 1
(Ä… - ²) (Ä… + ²)
ponieważ: sinÄ… + sin² = 2 sin cos
2 2
t x t x t x t x
1 2 1 2
- + - - - +
y = 2AsinĄ( )cosĄ( ) =
T  T  T  T 
t x x x - x
+
1 2 2 1
- )cosĄ
= 2Asin2Ä„( )
T 2 
+
x - x x x
2 1 1 2
Oznaczmy : B = 2 A cosĄ i x =
 2
t x
y = B sin 2 Ä„ ( )
-
T 
Amplituda B jest funkcją położenia. Wartość maksymalną (B =2 A) osiąga
x - x
2 1
+
dla: cos (Ä„ ) = 1,
-

x - x
2 1
czyli : = 0, 1, 2, 3, .....n, tzn. gdy różnica dróg jest wielokrotnością

długości fali : x2 - x1 = n.
x - x
2 1
Wartość minimalną (B=0) osiąga dla cos(Ą ) =0,

1
x - x
2 1
czyli = (2n+1), tzn. gdy różnica dróg jest nieparzystą
 2

wielokrotnością połowy długości fali : x2 - x1 = (2n+1)
2
Gdy z
ródła dwóch fal są koherentne (tzn. zgodne w fazie lub o stałej
różnicy faz), punkty maksimum amplitudy i minimum amplitudy są
stałe  powstaje stały w czasie  obraz interferencji.
Fale stojące - wynik interferencji dwóch fal o tej samej częstotliwości
(długości) i amplitudzie, ale rozchodzących się w przeciwnych
kierunkach.
t x t x
- +
y1 = A sin 2Ä„ ( ); y2 = A sin 2Ä„ ( )
T  T 
2Ä„
y = y1 + y2 = 2A cos( x) sinÉt Równanie fali stojÄ…cej

W - węzły
St - strzałki
2Ä„
Amplituda: B = 2A cos ( x ) jest maksymalna (strzałka),

2Ä„

gdy: cos( x ) = 1, czyli dla x = n (n = 0, 1, 2, ....)

2
2Ä„
Amplituda jest minimalna, (węzły), gdy cos ( x ) = 0, czyli


dla x = (2n +1) (n = 0, 1, 2, ...)
4
Położenie strzałek i węzłów nie zmienia się. Fala stojąca powstaje np.
przy odbiciu fal: gdy odbicie od środka gęstszego, na granicy tworzy
się węzeł; gdy od ośrodka rzadszego, na granicy tworzy się strzałka.
Zasada Huygensa
Wszystkie punkty czoła fali wysyłają jednocześnie kuliste fale
elementarne, których interferencja daje falę obserwowaną.
Fala kołowa (kulista) Fala płaska Wydzielenie elementarnej fali
kulistej z czoła fali płaskiej
Zasada Huygensa pozwala na łatwe otrzymywanie dwu lub więcej
z
ródeł koherentnych:
Ò! siatka dyfrakcyjna
Fale dz
więkowe
Każdy drgający przedmiot przekazuje drgania powietrzu i jest z
ródłem
fali dz
więkowej. Jeśli drgania mają stałą częstotliwość w granicach od
16 do 20 000 Hz powstajÄ… dz
więki słyszalne przez człowieka.
Każde rozchodzące się zaburzenie okresowe można rozłożyć na sumę
fal harmonicznych (analiza Fouriera). Fala zawierajÄ…ca tylko jednÄ…
częstotliwość jest tonem. Zaburzenie okresowe niesinusoidalne
(nieharmoniczne) tworzy dz
więk.
y
ródło dz
więku może być liniowe (struny, pręty drgające, słupy
powietrza), płaskie (membrany i płyty) i przestrzenne (pulsująca kula).
Prędkość fali podłużnej w gazie.
"V
M
v = ; M - moduł ściśliwości gazu K: "p = - K
V
Á
Z prawa Boyle,a - Mariotte,a: pV = const.,
po zróżniczkowaniu:
Vdp + p dV = 0
dV
p
czyli: dp = - p Ò! (p = K) Ò! v =
V
Á
Prawo Boyle,a-Mariotta jest słuszne dla procesów izotermicznych.
Zaburzenia ciśnienia w gazie przy rozchodzeniu się fal głosowych są tak
szybkie, że wskutek zbyt wolnej wymiany ciepła z otoczeniem warunek
izotermiczności nie jest spełniony. Lepszym przybliżeniem jest prawo
Poissona dla procesu adiabatycznego:
pVº = const.
C
p
gdzie: º =
C
v
Cp - molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
Cv - molowe ciepło właściwe przy stałej objętości
po zróżniczkowaniu : Vº dp + ºpVº-1 dV = 0
dV
czyli : dp = - ºp
V
dV
Z porównania z prawem Hooke a: "p = - K wynika, że iloczyn ºp
V
odpowiada modułowi ściśliwości dla gazu, więc z prawa Newtona :
pº
v =
Á
Prędkość dz
więku w różnych ośrodkach nie zależy od częstotliwości, o ile
amplituda drgań nie jest zbyt duża.
Ośrodek Prędkość
dz
więku (m/s)
Powietrze (0oC) 340
Wodór 1286
Woda 1450
Żelazo 5130
Aluminium 5100
Guma 54
Prędkość dz
więku w powietrzu zależy od temperatury, bo gęstość
powietrza Á zmienia siÄ™ z temperaturÄ….
T
v= vo
T
o
gdzie vo jest prędkością dz
więku w To = 273,16 K
Ciśnienie i natężenie dz
więku
Wykazaliśmy, że ciśnienie wywołane falą jest proporcjonalne do prędkości
odkształcenia u (str. 5):
u
"p = - Kv
2Ä„ x
JeÅ›li równanie fali ma postać : ¾ = A sin (Ét - ),

d¾
2Ä„ x
to: u = dt <" cos (Ét - ) i można wykazać, że ciÅ›nienie wywoÅ‚ane falÄ…:

2Ä„ x
"p = "pm cos (Ét - )

2Ä„
gdzie amplituda ciÅ›nienia fali: "pm =  Áv2 A
Ciśnienie zmienia się w sposób harmoniczny.
Najsłabszy słyszalny dz
więk o częstotliwości 1000 Hz ma amplitudę ciśnienia
"pm = 2 x 10-5 N/m2;
- najsilniejszy dz
więk jaki może znieść ucho człowieka ma "pm = 20 N/m2
- bardzo mało w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym ok. 105 N/m2.
Wykazaliśmy, że oscylator harmoniczny posiada energię drgań :
1
E = k A2 gdzie k = m É2
2
1
inaczej : E = mÉ2A2
2
Jeśli oscylator jest z
ródłem fali dz
więkowej, to fala przenosi energię drgań
z
ródła i wzór:
1
E = m É2A2
2
określa energię fali akustycznej zawartej w masie m.
Wówczas gęstość energii akustycznej Ea:
1 m 1
E
Ea = = É2A2 = 2 Á É2 A2
V
2
V
gdzie V - objętość
Na powierzchnię S prostopadłą do fali, pada w czasie t energia fali zawarta
w objętości:
V = S v t wynoszÄ…ca :
1
E = V Ea = 2 S v t Á É2 A2
dE
1
tzn. moc wynosi : P = dt = S v t Á É2 A2
2
Natężeniem fali dz
więkowej I nazywamy moc fali na jednostkę
powierzchni prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali:
P
1
I = = V Á É2 A2
2
S
Najsłabszy słyszalny przez człowieka dz
więk ma Io <" 10-12 W/m2,
Najsilniejszy (dopuszczalny krótkotrwale) Imaks = 1 W/m2.
Poziom natężenia dz
więku L określa się w decybelach (dB):
L = 10 log (I/Io)
Dla najsłabszego słyszalnego dz
więku L = 0 dB;
dla najsilniejszego dopuszczalnego L = 120 dB
Zjawisko Dopplera - występuje przy ruchu z
ródła fali (np. dz
więkowej)
względem obserwatora, lub obserwatora względem z
ródła; obserwator
odbiera fale o innej częstotliwości niż wysyłane.
Rozpatrzmy przypadek z
ródła zbliżającego się do obserwatora:
vz
- prędkość z
ródła
c- prędkość rozchodzenia
siÄ™ fali
1
T - okres fali ( )
f
Gdy z
ródło nieruchome, fala oddala się od z
ródła w czasie T o
odleglość:  = cT.
Przy prędkości z
ródła vz
, odległość w czasie T wynosi:  =- vz
T.
Jakiej częstotliwości to odpowiada ?
c c 1 c c
c
- = f
f = = =
cT -vz
T T c -vz
c -vz

 -v
T
z

 '
vz
)#)#1
dla
v
c z

f H" f (1+ )
c
Obserwator odbiera wyższą częstotliwość, gdy z
ródło się zbliża.
Analogicznie gdy z
ródło się oddala:
v
z

f  H" f (1 - )
c
Tzn. obserwator odbiera niższą częstotliwość.
Fale dz
więkowe niesłyszalne przez człowieka
Ultradz
więki - fale dz
więkowe o częstotliwości większej od 20 kHz.
Wytwarzane np. z wykorzystaniem kryształów piezoelektrycznych (np.
kwarcu) - umieszczone w zmiennym polu elektrycznym drgajÄ… stajÄ…c siÄ™
z
ródłem fali ultradz
więkowej. Amplituda drgań maksymalna, gdy
częstotliwość zmian pola elektrycznego jest równa częstotliwości własnej
drgań danego kryształu (rezonans).
Wiele ważnych zastosowań technicznych, m.in. pomiary głębokości
akwenów (morza), wykrywanie ławic ryb (echosondy), badania uszkodzeń
wewnętrznych materiałów (defektoskopia), wytwarzanie emulsji z
niemieszalnych cieczy, usuwanie zanieczyszczeń np. szkła laboratoryjnego
(myjki ultradz
więkowe).
Infradz
więki - fale dz
więkowe o częstotliwości < 16 Hz, generowane przez
z
ródła o wielkich rozmiarach (np. podłużne fale sejsmiczne)