Potencjał elektryczny
Siła elektrostatyczna jest siłą zachowawczą; praca wykonana przez tą
siłę przy przesunięciu ładunku od punktu A do punktu B nie zależy od
drogi, a jedynie od różnicy potencjałów w punkcie A i B.
Zmiana energii potencjalnej jest równa dodatniej pracy jaką musi
wykonać siła zewnętrzna przeciwko siłom elektrostatycznym aby
przesunąć ładunek  nieskończenie wolno.
B
B



+" F ds
+" E
"U = UB - UA = - = - q ds (*)
A
A
Przyjęto punkt zerowy w nieskończoności (tzn. energia potencjalna
ładunku znajdującego się w nieskończoności jest równa zero), więc:
energia potencjalna ładunku q w punkcie B jest równa pracy
wykonanej przeciwko sile elektrostatycznej przy przenoszeniu
ładunku q z nieskończoności do danego punktu pola.
B

UB = - q
+" E ds
"
U
V a" Potencjał elektrostatyczny (definicja)
q
Potencjał pola wytworzonego przez ładunek punktowy Q.
r
1 qQ
Q
r
k dr
U(r) = - q = - q Q k (- ) = k
+"
"
r r
" r2
U(r) Q
= k
V(r) =
q r
1J
Jednostka potencjału elektrycznego : 1 Wolt =
1C
Różnica potencjału między punktami A i B jest równa pracy jaką musi
wykonać siła zewnętrzna przeciwko siłom elektrostatycznym aby
przesunąć ładunek jednostkowy z A do B (równanie (*) należy podzielić
przez q):
B


"V = VB - VA = -
+" E
ds
A


zatem : dV = - gdy wzdłuż osi x , to dV = - Exdx,
d
s
E ds

"V "V "V
wówczas : Ex = - ; Ey = - ; Ez = - = - grad V
E
"x "y "z
Przykład 1: Potencjał powłoki kulistej o promieniu R
wewnÄ…trz : E = 0 Ò! dV=0 czyli
potencjał wewnątrz jest stały
Q
zewnÄ…trz: E = k
r2
tak jak dla Å‚adunku punktowego Q w
punkcie 0, zatem potencjał:
Q
V(r) = k
r
dV
Licząc  do tyłu : E = -
dr
dV
wewnątrz : V = const więc E = - = 0
dr
Q
Q
d Q
(k )
zewnątrz : V = k więc E = - = k
r r2
dr r
Przykład 2: Potencjał i natężenie pola wytworzonego przez dipol elektryczny,
r >> l
1
r1 H" r + l cosÕ
2
1
r2 H" r - l cosÕ
2
Z zasady superpozycji:
kQ k( -Q)
+
VA =
1 1
r - lcosÕ r + lcosÕ
2 2
kQlcosÕ
1
=
r2 - cos2
l2 Õ
4
r
r
p a" Q Å" l
kpcosÕ
jeśli r >> lVA =
r2
x
kpx
x = r cos Õ Ò! cos Õ = Ò! VA =
r
r3
2
2 2
ogólnie r = + + = (x2 + y2 + z2)1/2
y
x z
"V " 11 " 1
= -kp (x ) = -kp( + x ) =
Ex = -
"x "x
r3 r3 "x r3
2
2 2
1 3x "r kp 3x " + +
y
x z
= - kp()
- ) = - (1-
"x
r3 r4 "x r3 r
kp x kp
= - (1 - 3cosÕ ) = (3 Õ -1)
cos2
r
r3
r3
2
2 2
"V " 1 1 " + +
y
x z
( ) = -kpx(-3)
Ey = - = - kpx =
"y "y "y
r3 r4
3kp x y 3kp
= cosÕ sinÕ
=
r r
r3 r3
Graficznym obrazem rozkładu potencjału pola są powierzchnie
ekwipotencjalne - zbiory punktów o tym samym potencjale.
Linie sił pola (wektory natężenia) są w każdym punkcie prostopadłe do
powierzchni ekwipotencjalnych i skierowane od wyższego do niższego
potencjału.
W polu jednorodnym
powierzchnie ekwipotencjalne
są płaszczyznami.
Powierzchnia przewodnika jest zawsze powierzchnią ekwipotencjalną. Linie sił
(wektory natężenia) przy powierzchni przewodnika są prostopadłe do jego
powierzchni.
Praca przy przemieszczaniu Å‚adunku po powierzchni ekwipotencjalnej jest
równa zeru.
Praca na dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
Z zasady superpozycji wynika, że przy nakładaniu się kilku pól, potencjał w
danym punkcie jest sumą potencjałów poszczególnych pól:





(E1 + E 2 + ..... E n )d = (- +" E1 ) + (-+" E 2 ) +..... + (- +" E n ) =
ds
s ds ds
V = - = - +"
+" E
ds
V1 + V2 + ..... + Vn
A
adunek przyspieszany w polu (pod działaniem zrównoważonej siły
elektrostatycznej) zwiększa swoją energię kinetyczną o wartość równą
zmniejszeniu energii potencjalnej:
"K = - "U =- q"V.
Np. cząstka o ładunku 1e = -1,60 10-19C (np. elektron) przebywając różnicę
potencjałów równą 1V zyskuje energię kinetyczną :
"K = -e"V = 1,60 10-19C 1V = 1,60 10-19J = 1 eV (elektronowolt)
Często stosuje się jednostki 1 keV = 103 eV; 1 MeV = 106eV; 1GeV = 109 eV.
Związek natężenia pola ze zmianami potencjału

Zmiany potencjału w przestrzeni wyznaczają wektor natężenia pola E i

odwrotnie - wektor określa kierunek w przestrzeni, wzdłuż którego
E

zmiany potencjału są największe, a długość wektora (wartość liczbowa
E
natężenia pola) określa  szybkość zmian potencjału.

= - grad V
E



" V " V " V öÅ‚
ëÅ‚
j
i ++ k
= -ìÅ‚ ÷Å‚
= " V
E
íÅ‚ Å‚Å‚
" x " y " z
gradient (łac. gradiens = postępujący, kroczący) - wielkość wektorowa
charakteryzująca kierunek, w którym zachodzi największa zmiana pewnej
funkcji skalarnej f(x,y,z) (np. potencjału w polu grawitacyjnym lub
elektrycznym, lub temperatury).

grad f = f
"


" " "
gdzie : =
j
+ +
i k
"
" x " y " z

(nabla) jest tzw. operatorem Hamiltona
"
Å‚
WAB = d r WAB = UA - UB
F
+"
Ä™
WAB - praca wykonana przez pole przy przesuwaniu ciała z punktu A do B


U
F
E
= oraz V = m
m
UB UA
WAB
zatem: "V = VB - VA =- = -
m m
m
Å‚
"VB-A = -
E
+" d
r
Ä™
Dla pola jednorodnego :
linia
ekwipotencjalna
Å‚
"V = VB - VA = - =
d
F r
+"
Ä™
Å‚


B

B
- +"
= - E " r
= E r = E (rB - rA) = E d E = "V/d
E d
r
A
A
Ä™
Przykład 3: Jaka jest energia kinetyczna i potencjalna elektronu w
atomie wodoru wg modelu Bohra ?
R = 0,53 " 10-10 m; e =1,60 " 10-19 C; me = 9,11 " 10-31 kg
F = m a
2
ee
V
F = k a = (przyspieszenie dośrodkowe)
2
R
R
2 22
k
e V e
=Ò! V =
m
k
e
2
R R
R m
e
m m C
9 Å" (16Å"10-19 )2
,
109
V = = 2,18 " 106 =
s s 137
911Å" 053 Å"
,,
10-31 10-10
2
K = meV = k e2 9 Å"109(1,6 Å"10-19 )2 J = 13,6 eV
=
2 2R 2 Å" 0.53 Å"
10-10
2
kqQ
k
e
U = = - = -2K = -27,2 eV
R
R
22 2
1 k k 1 k
e e e
E = U + K = -= - = -13,6 eV (całkowita energia elektronu).
2 R R 2 R
Jest to ilość energii potrzebna do przeniesienia elektronu z atomu wodoru do
nieskończoności, tzn. energia jonizacji atomu wodoru.
Przykład 4: Różnica potencjałów dwóch równoległych płyt
przeciwnie naÅ‚adowanych, Ã+ = Ã- odlegÅ‚ych o d od siebie.
E = 4Ąk à (stałe między płytami)
(+)


+" E
"V = - ds = E d = 4Ä„kÃd
(-)
Q
JeÅ›li pÅ‚yty majÄ… powierzchniÄ™ A, to Å‚adunek na każdej pÅ‚ycie Q = A ÃÒ! à =
A
d
"V = 4Ä„k Q
A
Układ dwóch równoległych powierzchni jest typowym kondensatorem,
charakteryzowanym pojemnością C:
Q
C a"
"V
Dla kondensatora zbudowanego z dwóch równoległych okładek :
Q A
=
C =
d
4Ä„kd
4Ä„k Q
A
1C
Jednostką pojemności jest farad : 1F =
1V
(1F jest b. dużą pojemnoÅ›ciÄ…, czÄ™sto pojemność podaje siÄ™ w µF lub pF)
JakÄ… pracÄ™ należy wykonać aby w nienaÅ‚adowanym kondensatorze (tzn. Ã-
= Ã+ = 0) przenieść z jednej okÅ‚adki na drugÄ… Å‚adunek Q? Przeniesienie
ładunku q powoduje powstanie różnicy potencjałów
"V = q/C
Przeniesienie kolejnej części ładunku, dq wymaga wykonania pracy równej
zmianie energii potencjalnej Å‚adunku dq
q
dW = dU = "V dq = dq
C
Zmiana energii potencjalnej całkowitego ładunku Q :
2
QQ
q 1 1
q
Q2
Q
U = "Udq = dq = =
+" +"
0
C 2 C 2 C
00
Jest to energia zmagazynowana w kondensatorze.
Dla kondensatora z przykładu 4 (płaskiego):
EA A
Q
E = 4Ä„kà = 4Ä„k Ò! Q = ; oraz C =
4Ä„k 4Ä„kd
A
EA 2
( )
2
2
4Ä„k
E
E
po podstawieniu : U = = Ad = V
A
8Ä„k
8Ä„k
2
4Ä„kd
gdzie V= Ad jest objętością zawartą pomiędzy okładkami kondensatora.
2
U
E
=
Gęstość energii pola elektrycznego :
V 8Ä„k
Przykład 5: Jaka energia jest zgromadzona na powłoce kulistej o
promieniu R na której umieszczono ładunek Q ?
Z przykładu 1 wiemy, że dla powłoki kulistej potencjał na powierzchni :
q
V = k
R
Przesunięcie kolejnej części ładunku, dq, z nieskończoności
wymaga zmiany energii potencjalnej Å‚adunku dq :
q
dU= V dq= kR dq
Dla całkowitego ładunku Q:
2
QQ
q 1 Q
q
k dq = k =
U =
+"Vdq = +"
0
R 2 R
00
1 k 1
Q2 Q2
= =
2 R 2 R / k
R
Pojemność powłoki kulistej o promieniu R : C = <" R
k
1 1 1 1
Q2 Q2
== QV = CV 2
Energia zmagazynowana w kondensatorze : U =
2 C 2 Q / V 2 2
Polaryzacja dielektryczna
Wprowadzenie dielektryka pomiędzy okładki kondensatora zwiększa jego
pojemność.
Co - pojemność w próżni; C - pojemność z dielektrykiem
C - "C
C
o
Ç a" = Ç - podatność elektryczna dielektryka
C C
o o
C
µ a" µ - przenikalność elektryczna dielektryka
C
o
Ç = µ - 1
Pole elektryczne powoduje polaryzacjÄ™ dielektryka, tzn. pojawienie siÄ™
ładunków na powierzchni dielektryka w wyniku indukcji.
A
adunki indukowane na
powierzchni dielektryka
są końcowymi ładunkami
 łańcuchów dipoli (stałych
lub indukowanych)
uporządkowanych w objętości
dielektryka pod wpływem
pola elektrycznego.
Oznaczmy : q - ładunek na okładkach kondensatora,
qi - Å‚adunek na powierzchni dielektryka
q q
=
C = ; E = 4Ä„kÃ
V Ed
q
q - q
wypad.
i
=
à =
A A
q - q
i
E = 4Ä„k (*)
A
q
A 1
1
więc : C = = = Co q
q - q
q
4Ä„kd
i
i
4Ä„k d
1-
Co 1- i
A
q
q
1
C
q
= µ = (**)
i
1-
C
o
q
Jeśli w  łańcuchu mamy N dipoli, każdy ze średnim momentem
dipolowym p , to moment dipolowy  łańcucha wynosi :
pÄ = N p
Jednocześnie  łańcuch ma długość d i ładunek "q na końcach:

= d "qi Ò! N = d "q
p
pÄ
Dla całej objętości dielektryka (objętość = d A) liczba dipoli = N d A
(N - liczba dipoli w jedn. objętościowej)
p p
N d A = d qi czyli : N A = qi
po podstawieniu do (**)
1
µ' =
(***)
1 - NAp
q
Przenikalność elektryczna materiałów polarnych.
p
Na ogół (wiÄ™c również µ ) nie zależy od pola elektrycznego.
q
p
Dla dipoli stałych (cząsteczek polarnych) maleje przy wzroście
temperatury.
Dla dipoli indukowanych (czÄ…steczek niepolarnych):
3
R
p E" E (por.przykład 7 w  Indukcji elektrycznej").
k
q - q
i
po podstawieniu wzoru (*) : p E" 4Ä„R3
A
1
po wstawieniu do wzoru (***) : µ E"
q
3 i
1- 4Ä„N (1- )
R
q
1
korzystajÄ…c ze wzoru (**) : µ E"
1
1 - 4Ä„ N
R3
µ'
Przenikalność elektryczna
materiałów niepolarnych µ E" 1 + 4Ä„NR3
To przybliżenie dobrze opisuje gazy atomowe.