PRAWO NEWTONA O POWSZECHNEJ GRAWITACJI
Każda masa przyciąga każdą inną masę we Wszechświecie, z siłą
proporcjonalnÄ… do tych mas F <" m1 m2
Jak to oddziaływanie zależy od odległości ?
Przyspieszenie dośrodkowe Księżyca krążącego wokół Ziemi:
2 2
(2Ä„ / T )
V
4
k R
k Ä„2 R
k
an = = =
2
R
k R
k T
Rk = 3,86 108m ; T = 2,36 106s; Ò! an = 2,73 10-3 ms-2
an = g2 g2 = 2,73 10-3 ms-2
RZ = 6,38 106 m; g1 = 9,8 m s-2
g1 g1 R 2
k
R m m
k 1 2
H" 3600 Ò!<" Ò! F <"
H" 60
2
g g
R
2 2 z
R r2
z
m m
1 2
F = G G = 6,67 10-11 Nm2 kg-2
2
r
(G - stała grawitacji)
Zasada równoważności masy
grawitacyjnej i bezwładnej
Czy masa m w 2-gim prawie ruchu: F = m a i w prawie grawitacji
m
M
z
Fg = G jest tÄ… samÄ… masÄ…?
2
R
z
Rozpatrzmy przyspieszenie nadawane dwóm masom, m1 i m2
przez siłę grawitacji:
'
©
M m
z 1
M m
z 2
m1a1 = G ; m2a2 = G
2
2
R
z
R
z
m1, m2 - masy bezwładne
m 1, m 2 - masy grawitacyjne
'
m a m
1 1 1
=
'
m a m
2 2 2
1
Stwierdzono, że a1 = a2 z dokładnością lepszą niż
1010
Ò! m1 a" m 1 ; m2 a" m 2
Na powierzchni Ziemi : a1 = a2 = g
Ciężar ciała(siła grawitacji - wielkość wektorowa) nie jest jego masą !

Siła grawitacji (ciążenia) F ; na powierzchni Ziemi
g


g
= m
F
g
Pole grawitacyjne
Grawitacyjne wzajemne oddziaływanie mas zachodzi za pośrednictwem
pola grawitacyjnego.
Pole grawitacyjne - przestrzeń w której działają siły grawitacyjne na
umieszczone w niej masy. Każda masa wytwarza własne pole
grawitacyjne. Pole grawitacyjne jest jedną z form występowania energii
(podobnie jak inne pola fizyczne, np. pole elektromagnetyczne).
Z równości masy grawitacyjnej i bezwładnej wynika, że pod wpływem tego
samego oddziaływania grawitacyjnego wszystkie ciała, niezależnie od
swych mas, doznają takich samych przyspieszeń zwanych
przyspieszeniami grawitacyjnymi.
'
M
Mm
1
F1 = G ; F1 = m1 aa = G
2
r
r2
Wartość pola grawitacyjnego (jego natężenie) w
każdym punkcie jest określona przez wartość
przyspieszenia grawitacyjnego doznanego przez
dowolne ciało próbne umieszczone w tym punkcie.
Zasada superpozycji (nakładania się) pól
Mz
M
k
az = G ak = G
2 2
r r k
z
Przyspieszenie grawitacyjne pola wypadkowego jest sumÄ… wektorowÄ…
przyspieszeń pól składowych.
Przykład. Rozpatrzmy pole grawitacyjne wytwarzane przez pustą czaszę
kulistą oraz przez pełną kulę.
Wewnątrz pustej czaszy kulistej pole jest równe zero.
Przyspieszenie grawitacyjne
na zewnątrz kuli (pełnej albo
pustej w środku) jest takie
jakby cała masa kuli skupiona
była w punkcie środka kuli.
WewnÄ…trz kuli:
m (r)
a(r) = G
r2
4
m(r) = Á V(r) = ÁÄ„ r3
3
4
a(r) = G Á Ä„ r
3
V(r) - objętość kuli
Á - gÄ™stość kuli
RZ - promień kuli
Praca, moc, energia

Praca wykonana przez stałą siłę na drodze s :
F

W = Fs s (Fs - składowa siły F w kierunku s)
FS = F cosÄ… W = s F cosÄ…
Gdy siła nie jest stała, to drogę s możemy podzielić na nieskończenie
krótkie odcinki "s na których siła jest stała; praca na takim odcinku
wynosi "W = Fs(s) "s = F(s) "s cosÄ…
"W i = Fsi"
" "
s
WAB = "W1 + "W2 + .....+ "Wi + ... = i
Gdy "si jest nieskończenie małe, sumowanie staje się całkowaniem:
B
WAB =
ds
+" F
s
A
Iloczyn skalarny wektorów


F " s
a" F " s cosÄ…


F s
" = s " F



+ F " s
F " ( + ) = F " s
s s 1
1 2 2


" = (Fx i + Fy j + Fzk ) (Sx i + Sy j + Sz k ) =
F s
Fx sx + Fysy + Fzsz
bo pozostałe wyrazy są równe 0; np:



Fx " Sy = Fx Sy i " j =
i
j
Fx sy i j cos 90o = Fx " sy " 1 " 1 " 0 = 0


Więc praca w ruchu prostoliniowym : W = F " s

B

+" Fs d s
a po dowolnej drodze i ze zmienną siłą: W =
A
Jednostka pracy (joul) 1J = 1N " 1m
Praca jest jedną z form energii. Wykonanie jakiejś pracy nad ciałem przez
siłę zewnętrzną powoduje wzrost energii tego ciała. Wykonanie natomiast
pracy przez jakieś ciało powoduje zmniejszenie jego energii.
2
m
Energia kinetyczna jest energią ciała w ruchu
v
K a"
2

F
W = " s
= F s (Ä… =0o, cos0 = 1)
2
2
m
m v
v
o
KA = = 0 KB =
2
2
przyrost energii : KB - KA = KB jest wynikiem pracy wykonanej przez siłę F;
W = KB
F
Wykażemy to: a = (II prawo dynamiki Newtona)
m
2
a
t
ruch jednostajnie przyspieszony : s = ; V = a t (Vo = 0)
2
2s
2s 2sF
t = ; V = a = =
2sa
a
a m
2
ëÅ‚ öÅ‚
2sF 2sF
m
ìÅ‚ ÷Å‚ m
2
m
m
V íÅ‚ Å‚Å‚
m
KB = = = = F s = W
2 2
2
Energia potencjalna jaką ma dane ciało to energia związana z jego
położeniem, np. masa w polu grawitacyjnym, naciągnięta sprężyna,
Å‚adunek elektryczny w polu elektrostatycznym.
Jest to energia  zmagazynowana w ciele (które może być nieruchome)
do potencjalnego wykorzystania, tzn. do wykonania pracy w przyszłości.
Całkowita energia mechaniczna ciała jest sumą energii kinetycznej i
potencjalnej.
Wymiar i jednostki energii i pracy sÄ… takie same.
 Szybkość wykonywania pracy przez jeden układ nad drugim, czyli
tempo przekazywania energii definiujemy jako moc P :
dE
P a"
dt
Jednostka mocy : wat [W]; 1W = 1J/1s [1KM = 746W]
Iloczyn mocy urządzenia przez czas działania jest wykonaną pracą
(przekazanÄ… energiÄ…)
Praca w polu grawitacyjnym
Mm
F(r) = G
r2
Jaką pracę wykonało pole przy przesunięciu ciała m z punktu A do B ?
Siła Fg (r) jest przeciwnie skierowana w stosunku do przesunięcia, więc:

"W = (r) " = Fg(r) "r cos 180o = - Fg(r)dr
r
F
g
r r r
1 1 1
Mn 1
- (r)dr -G dr dr
+" F +"
W = g = +" = - GMn
r2 r2
r r r
o o o
1
n +1
n
Korzystamy ze wzoru : =
x
dx
+" x
n + 1
1
1 1
+" r-2 dr
czyli = -2 + 1 r-2+1 =
r-1 = - r-1 = -
-1 r
1
1
1
r
1
W = GMm = GMm - GMm =
r
o
r
r o
1
r
ëÅ‚ GMm öÅ‚ ëÅ‚ GMm öÅ‚
- = "U
ìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
r r
o 1
zmiana energii potencjalnej
U(ro) U(r1)
Mm
Energia potencjalna masy m : U(r) = -G
r
(w centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez masÄ™ M)
Takie określenie energii potencjalnej wynika z umownego przyjęcia
nieskończoności jako punktu odniesienia w którym energia potencjalna
ma wartość 0. Pozwala to określać bezwzględną wartość energii
potencjalnej masy m w punkcie odległym o r od środka masy M jako
pracę, jaką należy wykonać, aby przenieść daną masę m z
nieskończoności do tego punktu.
Grawitacyjna energia potencjalna ma zawsze wartość ujemną.
Przykład 1: Obliczyć energię mechaniczną satelity Ziemi krążącego na
kołowej orbicie o promieniu r.
2
m
M
z
v
Przyspieszenie dośrodkowe jest wywołane siłą grawitacji Fg = G;
r
r2
czyli [m a=F]:
2
2
Mm M
m
m
Mm
v
v
= G
r2 ; V2 = G R ; K = = G 2r ;
r
r
Mm
U = -G
r
Mm Mm
Mm
E = K + U = G - G = - G
2r r
2r
Przykład 2: Jaki jest przyrost energii potencjalnej ciała o masie m
podniesionego z powierzchni Ziemi na wysokość h?
(h<< Rz)
m m 11
M M
z z
- (-G ) = G m ( - ) =
M
z
"U = - G
+ h + h
R R R R
z z z z
G Mz
Mz m( Rz + h - Rz ) =
g = G
R2
=
z
Rz(Rz + h)
R2 R2
z z
h
2
( ) =
R
z
= g m
(ponieważ h<(R + h )
R
z z
h
2
=m g = m g h
R
z
2
(inaczej: W = F s ; F = m g ; s = h
R
z
wiec: W = m g h )
Potencjał pola V w danym punkcie jest określony przez stosunek
energii potencjalnej próbnej masy m do tej masy:
U
V a" (definicja ogólna)
m
Mm
M
W polu centralnym : V = - G = - G
rm
r
Energia potencjalna U masy m w punkcie pola o potencjale V:
U = m V (definicja ogólna)
Powierzchnia ekwipotencjalna : taka, której punkty mają ten sam
potencjał (w polu centralnym są to współśrodkowe powierzchnie kuliste).
Natężenie pola grawitacyjnego, Eg, jest stosunkiem siły grawitacyjnej
działającej na próbną masę m umieszczoną w danym punkcie, do tej
masy.

F
Definicja: W polu
g
Mm M
a"
E
g
Eg = G 2 = G 2 = a
m
centralnym:
m
r r
Mz
Na powierzchni Ziemi: Eg = G = g
R2
z
Siła jaka działa na masę m umieszczoną w punkcie pola o natężeniu Eg :


F E
= m ; na powierzchni Ziemi: Fg = m g
g g
Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest równy przyspieszeniu
grawitacyjnemu:


E
m g = m a
Czy zawsze praca wykonana w polu grawitacyjnym przy przesuwaniu ciała
B
F(r)dr
równa się zmianie energii potencjalnej tego ciała ("U =) ?
+"
A
Nie, przesunięcie musi być takie, aby nie zmieniła się energia kinetyczna
ciała, ponadto działające siły muszą być zachowawcze (a np. siła tarcia nie
jest zachowawcza).
Siła jest zachowawcza, jeśli praca WAB wykonana przez tę siłę przy
przesunięciu cząstki od punktu A do punktu B jest niezależna od drogi po
której ta cząstka zostanie przesunięta, a zależy jedynie od różnicy
potencjałów w punktach A i B.
Siła centralna (taka jak siła grawitacji) jest siłą zachowawczą.
Praca wykonana przeciw
siłom grawitacji na odcinku dr :


r
1
"W1 = d =
F
1
F(r) dr1 cosÄ… = F(r)dr


r
"W2 = d 2 =
F
2
F(r) dr2 cos² = F(r)dr
F1 = F2 = F(r) = G Mm
r2
"W1 = "W2 (dla każdego odcinka dowolnej drogi AB)
n n
"W 1i "W 2i
" "
W1(AB) = = = W2(AB) = W (AB)
i=1 i=1
B


W(AB) = d = "U(A,B)
+" F
r
A

Na powierzchni "W = " = F"r cos90o = 0
F r
ekwipotencjalnej
"W i
"
W(A B ) = = 0
i
M
Również z porównania potencjału w A i B : VA = - G = VB
r'
wynika że ciało o masie m będzie miało taką samą energię potencjalną
w punkcie A i B , czyli "U(A , B ) = 0
W1(AB) = W2(AB) =
W3(AB) = ......... =
W(AB) = "U(A,B)
W(AB) = "U(A,B) = - "U(B,A) = - W(BA)
Czyli W(ABA) = 0 (U(A)=U(A); "U(A,A)=0)
Praca siły zachowawczej na drodze zamkniętej jest równa zero
Wszystkie cztery podstawowe siły (grawitacyjne, elektromagnetyczne,
słabe i jądrowe) są zachowawcze.
W ujęciu makroskopowym, nieuwzględniającym zmian energii cieplnej
(tzn. zmian energii kinetycznej i potencjalnej poszczególnych cząstek
elementarnych w badanym ciele), siły wytwarzające ciepło są
niezachowawcze.
Np. siła tarcia: jest zawsze przeciwnie skierowana do przesunięcia, praca
zależy od długości drogi i zawsze jest różna od zera, również na drodze
zamkniętej.
dU
dU = - Fgdr; Fg = -
dr

F
Gdy chcemy przedstawić wektor
we współrzędnych : x,y,z
dU dU
dU
Fx = - ; Fy = - ; Fz = -
dz
dx dy



dU dU dU
[U(x,y,z)] = - - - = -gradU
j
i k
F
g
dx dy dz

Natężenie pola : E = - grad V
g
W polu potencjalnym wektor siły jest zawsze
prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej.
Gradient potencjału jest wektorem określającym w każdym punkcie wartość i
kierunek największego wzrastania potencjału.
Natężenie pola (i działająca siła) jest w danym punkcie równa 0, gdy gradV = 0,
tzn. gdy występuje lokalne minimum lub maksimum potencjału.
grad V = 0 (punkt równowagi nietrwałej)
Równowaga jest trwała w punkcie minimum potencjału, gdyż wychylenie z
położenia równowagi sprawia pojawienie się siły zwróconej do punktu
równowagi.


F = E
m = -m gradV `" 0
Zasada zachowania energii
Ciało m przemieszcza się z punktu 1 do punktu 2

pod działaniem siły zachowawczej (r)
F
(np.grawitacyjnej) niezrównoważonej.
Ulega więc przyspieszeniu (niejednostajnemu)
i wzrasta jego energia kinetyczna K o wartość
równą wykonanej pracy W.
F = ma; a = dv/dt => F = m dv/dt
v = dr/dt => dr = v dt
2
Fdr
+"
W= =
1
2
1
2 2
1
2
mV2 - mV1
+"VdV = m 2 V2 = 1
= +" dV V dt = m = K2 - K1
m
2
2 2
1
dt
1
1
2
Ponieważ siła zachowawcza: = -"U = - (U2 - U1)
Fdr
+"
1
K2 - K1 = - (U2 - U1)
K1 + U1 = K2 + U2
Zasada zachowania energii mechanicznej
Gdy w odosobnionym układzie ciał działają tylko siły zachowawcze,
to całkowita energia mechaniczna tego układu jest stała.
Przykład1: Gdyby  działo Newtona skierować pionowo w górę, to jaką
prędkość trzeba nadać pociskowi, aby nie wrócił na Ziemię ?
E" = 0 + 0 = 0
(w nieskończoności)
E1 = E"
,2
'2
m
m
m G m
M
V z V M
kr
kr z
E1 = - G (w chwili wystrzelenia)
-= 0
2
2
R
z R
z
'2
G Å‚Å‚
M
îÅ‚G
z
M V
z kr
= g
R
= g; - g = 0
z
R
śł z
ïÅ‚ 2
R 2
z ûÅ‚
R
ðÅ‚ z
g
R
(Vkr=)
z
(pierwsza prędkość kosm.)
g
R (druga prędkość kosm.)
z
V' = 2
kr
'2
m m
V M
kr z
= G
=> K(r) = - U(r)
2
R
z
Na ogół nie obliczamy bezwzględnej, całkowitej energii
mechanicznej, interesują nas względne zmian
Przykład 2: Jaką wysokość osiągnie ciało m rzucone pionowo w górę
z prędkością Vo ? (V<Punkt odniesienia energii potencjalnej
(poziom zerowy) na powierzchni Ziemi.
"U E" mgh (dla małych h<2
m
V
o
+ 0
E = U + K; E(0) = ; E(hm) = 0 + mghm
2
2
m
V
o
E = const. E(0) = E(hm); = mgh
2
2
V
o
hm = 2g
2
m
V
Na dowolnej wysokości h (02
22
m m
V V
= mgh +
22
2
m
V
mghm =mgh +
2
22
m m
V V
o
- mgh;
=
22
2
m
V
= mghm - mgh
2
Zderzenia:
siły kontaktowe,
popęd, energia
W czasie zderzenia następuje zmiana pędu wskutek działania siły

kontaktowej .
F
k


d
p
; jeśli czas działania siły: "t = t2 - t1
F =
dt


to zmiana pędu przy = const : " = "t.
p
F F

t
2

t
2
d
p
+" F
Ogólnie, przy zmiennej sile dt = +" dt
dt
t
1
t
1
t
2


+" F p2 p1
dt = - =
"
p
t
1
t
2

+" F
Popęd: I a" dt
t
1
Przykład 1: Jaka średnia siła działa na samochód jadący z
prędkością 60 km/godz. przy zderzeniu z murem?
Masa samochodu 1000 kg; czas zderzenia 0,03s.
1000kgx16,7m / s
mv
"p = m v = Fk "t; Fk = = = 5,6 105N
003s
,
"t
1
ciężar samochodu: m g = 9,8 103N H" Fk
60
Przy dłuższym czasie zderzenia średnie Fk mniejsze!
Przykład 2: Centralne zderzenie sprężyste



m1 + m2 2= m1  + m2V2 (z zasady zachowania pędu)
V1 V V1


V1 ,V2 ,V1  ,  - współliniowe
V2
V V
m1 V1 - m2 V2 = -m1 ' + m2 '
1 2
2 2 ©2 ©2
mV m V mV m V
1 1 2 2 1 1 2 2
Zasada zachowania
+ = +
2 2 2 2
energii kinetycznej
' '
po przekształceniu : m1(V1+V ) = m2(V2+V )
1 2
2 '2 '2 2
-V -V
V V
m1( 1 1 ) = m2( 2 2 )
' '
V V
po podzieleniu stronami : V1 - 1 2 2
=-V
)
(m2 - m1 V1 + 2 m2V2
'
V1 =
m1 + m2
)
(m1 - m2 V2 + 2 m1V1
V'2 =
m1 + m2
Zasada zachowania energii mechanicznej obowiÄ…zuje dla wszystkich
odosobnionych układów w których siły oddziaływań są zachowawcze
n n
" "
K K'
i + U = i + U = constans
i=1 i=1
Natomiast prawo zachowania pędu obowiązuje również dla sił
niezachowawczych.
Przykład 3: Rozpatrzmy schemat reakcji chemicznej:
X + YZ XZ + Y
Dwa układy
Założenia:
inercjalne całkowita masa stała;
"µ - zmiana energii
wiązań chemicznych
mxV2 (my + mz)V2 myV2 (mx + mz)V2
yz y
x xz
+ =+ +"
µ
2 2 2 2
2 2
2
mx (V x -V' )2 ( +-V' )
my mz)(V my (V y -V' )
(mx +-V' )
yz mz)(V
xz
+ = + +"µ
2 2 2 2
Równania w obu układach współrzędnych są równoważne, gdy :


V V V
mx V + (my +mz) yz= my y + (mx + mz) xz (prawo zachowania pędu)
x
Jeśli występują inne siły poza siłami zachowawczymi, prawo zachowania
energii odnosi się do energii całkowitej, tzn. energii kinetycznej, potencjalnej i
energii wewnętrznego wzbudzenia cząsteczek.
Rozpatrzmy sytuację, gdy poza pewną siłą zachowawczą (np. siłą


F
F
F z
grawitacji g ) działa siła zewnętrzna i siła tarcia T .


F F
w F F
g z
Siła wypadkowa wynosi = + + . T
Działanie siły niezrównoważonej prowadzi do wzrostu energii kinetycznej:


B
B

(
F F
F + + ) d =
"K = = +" g z T
+" F ds s
A B A B
B
B

F
+" ds
g
+" F +" F +" F
+ z ds + T ds ; z ds = Wz (AB)
A
A A A
B
B

F ) + (- +" F )
Wz(AB) = "K + (- +" g ds T ds
A
A
"U + "Q
Wz(AB) = "K + "U + "Q
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną nad układem równa się sumie
wzrostu energii kinetycznej "K, potencjalnej "U i wewnętrznej "Q
tego układu.
Przykład: Współczynnik tarcia opon samochodowych o nawierzchnię
jezdni wynosi ok. 0.5, masa samochodu 1000 kg. JakÄ… maksymalnÄ…
moc powinien mieć silnik ?
Jakie  przyspieszenie ma ten samochód ?
1
FT = µ m g ; na parÄ™ kół F T E" µ m g
2
bez poślizgu : F T = m a
1
µ m g = m a
2
1 1
µ = g = a
2 4
Czas osiągnięcia 90 km/godz. od chwili startu:
90km / godz 25m / s
v
v = a t t = = = E" 10,2s
1 1
2
a
g 98m /
,
s
4 4
1 1 1 m
F T E" µ m g = 1000kg 9,8 = 2450 N
2
2 2 2
s
dE
Moc: P a"
dt
Gdy ciało porusza się z prędkością v pod wpływem siły F :
" E = F "s Ò! dE = F ds
dE ds
= F
Ò! P = F v (F i v współliniowe)
dt dt
Pmaks = FT 90 km/godz = 61250W H" 82 kM
Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy A x B jest zdefiniowany jako wektor prostopadły

A B
do płaszczyzny w której leżą i ;
o wartości: ćłAćłćłBćłsin(ą) i o zwrocie wyznaczonym przez regułę śruby
prawoskrętnej (standartowy skręt śrub w Polsce)


n
x a" A B sinÄ…
A B


n
A B
- wektor jednostkowy prostopadły do płaszczyzny w której leżą i

x = 0
A A


x B = - B x A
A

x ( + ) = x + x
A B C A B A C

" ( x ) = ( x )" C
A B C A B

A B C B
x ( x C ) = ( x ) x A

x ( B x ) = B ( A C ) - (A )
"
" " B
A C C


j j
i i k
x = x = x k = 0



x = k ; xk = ; x =
j j j
i k
i i




i
x = (Ax + Ay + Az k ) x (Bx + By + Bzk ) =
j j
A B
i



= (AyBz - AzBy) + (AzBx - AxBz) + (AxBy - AyBx) =
j
k
i

= C = [(AyBz - AzBy), (AzBx - AxBz), (AxBy - AyBx)]
Cx Cy Cz