Ruch obrotowy
Kinematyka bryły sztywnej
Bryła doskonale sztywna - odległości między dowolnymi dwoma
punktami są stałe.
Ruch postępowy bryły sztywnej - dowolna prosta sztywno związana z
bryłą przemieszcza się równolegle do siebie samej.
Wszystkie punkty mają jednakowe prędkości i
przyspieszenia. Równanie ruchu jest jednakowe dla
wszystkich punktów.
Ruch obrotowy bryły sztywnej - wszystkie punkty zakreślają okręgi o
środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Oś obrotu jest
prostopadła do płaszczyzny tych okręgów.
Punkty leżące w różnych odległościach
od osi obrotu mają różne prędkości
liniowe. Ich promienie zakreślają takie
same kÄ…ty w tym samym czasie
Analogie ruchu prostoliniowego i obrotowego
przesuniÄ™cie x kÄ…t obrotu ¸
dx d¸
prÄ™dkość liniowa v = prÄ™dkość kÄ…towa É =
dt
dt
(chwilowa) (chwilowa)
przyspieszenie liniowe przyspieszenie kÄ…towe
2
dv
x
d dÉ
d2¸
a = = Ä… = =
2
dt
d dt
d
t
t2
d¸
Prędkość kątowa jest wektorem równym liczbowo , skierowanym
dt
wzdłuż osi obrotu o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli = const. to ruch
É
obrotowy jest jednostajny.
T - okres (czas pełnego obrotu)
1
f = - częstotliwość
T
(ilość obrotów na sekundę)
Związek między prędkością liniową punktu i jego prędkością kątową :
W czasie T: droga liniowa 2Ä„r; droga kÄ…towa 2Ä„

( - promień wodzący).
r
2Ä„r
prędkość punktu : V = = 2Ąrf
T
V = Ér

= x
v É r
Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)
2
an = V = É2r = 4Ä„2f2r
r


a
wektorowo : n = -É2 r
W ruchu obrotowym niejednostajnym
dV dÉ dÉ
= r
; Ä… =
dt dt dt
a = Ä… r

= x
a Ä… r
W ruchu jednostajnym : ¸ = ¸o + Ét
(analogicznie do: s = so + v t w ruchu postępowym).
W ruchu jednostajnie zmiennym :
2
Ä…
t
¸ = ¸o + Éot +
2
at2
(analogicznie do s = so + vot + w ruchu postępowym).
2
É = Éo + Ä…t
(analogicznie do v = vo +at w ruchu postępowym).
W ogólnym przypadku ruch bryły sztywnej może być bardzo złożony.
Każdy ruch złożony bryły sztywnej można przedstawić jako złożenie
ruchów postępowych i obrotowych.
Dynamika ruchu obrotowego
Moment bezwładności
Dla punktu materialnego
I = m r2
Każdą bryłę można przedstawić jako złożenie różnych punktów
materialnych znajdujących się w różnych odległościach od osi obrotu.
"
"
m r2
I a" i i
i
Dla ciągłego rozkładu masy I a" +" r2 dm
Przykłady: Obręcz, lub rura cienkościenna :
Cała masa w odległości r
od osi obrotu, więc I=mr2
Dla pełnego krążka o masie M:
dm - masa w pierścieniu pomiędzy r i r+dr;
pole powierzchni pierścienia 2Ąrdr, więc
2rdr
dm 2Ä„rdr
=
2
; dm = M
R
M Ä„R 2
R R R
2rdr 2M 2M
r4 R 1 M
2
=
+" r2 dm = +" r2 M 2 = 2 +" r3 dr = 2 R
I =
4 2
0 0 R R 0 R 0
Momenty bezwładności (względem pokazanych na
rysunkach osi) kilku często występujących ciał.
Ciało I
1
Obręcz lub pierścień mR2
2
Krążek lub walec mR2
2
ml
Pręt wokół środka
12
2
ml
Pręt wokół końca (*)
3
2
Pełna kula mR2
5
2
Czasza kulista mR2
3
3
Krążek wokół punktu na mR2
2
obwodzie
Twierdzenie Steinera
(twierdzenie o osiach równoległych):
Moment bezwładności I względem dowolnej osi równa się sumie
momentu bezwładności IŚM względem osi do niej równoległej i
przechodzącej przez środek masy i momentu bezwładności względem
danej osi liczonemu tak, jakby cała masa ciała była skupiona w środku
masy :
I = IÅšM + M r2
M - masa ciała
r - odległości osi obrotu od środka masy
Np. pręt o długości l przy obrocie wokół końca (*):
2 2 2 2 2
l
ml ëÅ‚ öÅ‚ ml ml ml
ìÅ‚ ÷Å‚
I = +m = + =
íÅ‚
2Å‚Å‚
12 12 4 3
Moment pędu


r
p
L = x


p v
= m (pęd liniowy)


r v
L = m x
L = m r V sinÄ… = r p sinÄ…
VÄ„" = V sinÄ…
L = m r VÄ„"
L = r pĄ"
rĄ" = r siną
L = m rĄ" V
L = rĄ" p
Gdy Ä… = 0, L = 0
rĄ" - ramię pędu
Moment pędu układu punktów materialnych jest sumą
momentów pędu punktów względem tej samej osi obrotu

n
"
L=
L
i
i=1



v
p
L= r x = ( x ) m
r


= x
v
É r



[ x( x )]m = m[ x( x )]=
É r É r
L= r r




r
r É É
Ponieważ : Å" = r2 ; Ä„" ; Å" = 0
r r

=m[ ( ) - r r É
( )]
É r r


L
=m r2 = m r2 = I
É É É
Moment pędu jest wektorem o tym samym kierunku i zwrocie co
wektor prędkości kątowej.
Wpływ siły centralnej na moment pędu


p
L r
a" x




d
p
d d
L r
p
= x + r x =
dt
dt dt



v
p
x + x
r F

F




p
v
v
ìÅ‚ìÅ‚p , czyli Ä…=0 wiÄ™c x = 0

F ìÅ‚ìÅ‚r (gdyż - siÅ‚a centralna), czyli F x r = 0


d
L
L
= 0 więc = const
dt
Ciało pod działaniem siły centralnej ma stały moment pędu.
Moment siły



a" x
r
T F
T = r F sinÄ…
rĄ" = r siną
rĄ" - ramię działania siły
FÄ„" = F sinÄ…
T = rĄ" F
T = r FÄ„"
Sformułujemy II-gą zasadę Newtona dla ruchu obrotowego:


= x p
L r




d
d
p
L
p
= d r x + r x =
dt dt
dt



= x + x
p
r
v
F
wyp.


x = x (m ) = m ( x ) = 0
p
v v v v v




d
d
p
L
II-zasada dynamiki = analog.: = F
T wyp.
wyp.
dt
dt
dla ruchu obrotowego



d
L
Jeśli = 0, to = 0 czyli = const I zasada dynamiki dla r. obr.
T
wyp L
dt
Dla bryły sztywnej o momencie bezwładności I




d

É
d d
L É
L
= I = I ; =
É Ä…
dt
dt dt


d
L
= I
Ä…
dt




F
= I analog. = m a
T
Ä…
wyp
(inna postać II-giej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego)



T
wyp.
= analog. = F
a
Ä…
m
I
Przykład: Jaką prędkość na dole studni o głębokości h osiągnie
wiadro o masie m na nieważkim sznurze nawiniętym na kołowrót o
masie M i promieniu r

F = m a T = I Ä…

F = mg - N = x
T r N
mg - N = m a I = 0.5 M r2
r N = 0.5 M r2 Ä…
a = Ä… r
Ä… = a/r
(**) N = 0.5 M a
Dodajemy stronami równ.(*),(**): m g - N + N = m a + 0.5 M a
m g = (m + 0.5 M ) a
m
g
a = (a < g, tylko
m + 0.5M
gdy M = 0 to a = g)
1
2
a 2h m + M
t
2h
h = ; t = = ;
2
2 a
g m
m
m
1
g
2hg
m + M
V = a t = =
1
2h
1
2
m + M
m + M
2
g m
2
Z zasady zachowania całkowitej energii mechanicznej E=U+K
E1 = mgh + 0; E2 = 0 + 1 V 2 1 ; E1 = E2
m + IÉ2
2 2
1 1 1 V
mgh = mV2 + IÉ2 I = Mr2; É =
2 2 2 r
2
1 V
1 1 1 1
mgh = m V2 + Mr2 r2; mgh = V2 (m + M)
2
2 2 2 2
m
2hg
1
V =
m + M
2

ëÅ‚ öÅ‚

ìÅ‚ ÷Å‚
d
L
=
Z II-giej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego T
ìÅ‚ wyp ÷Å‚
dt
ìÅ‚ ÷Å‚

íÅ‚ Å‚Å‚
wynika, że gdy T = 0 to L = const. czyli :
wyp
Moment pedu jest stały, gdy nie działazewnetrznymoment siły.
Jest to zasada zachowania momentu pędu
To prawo odnosi się nie tylko do ciał poruszających się ruchem
obrotowym lub po orbitach zamkniętych - dotyczy również dowolnych
trajektorii oraz zderzeń.
Dla układu n cząstek

n


n
d
d
" ("Li) = dt caµ.
T
=
i L
dt
i =1
i=1
Jeśli układ jest odosobniony , to nie działają zewnętrzne momenty sił.
Przy oddziaływaniach wewnętrznych występują zawsze siły reakcji.


F = -
F
reakcji


rĄ"
i -F mają to samo ramię działania
F
reakcji

Ti
więc = - Ti reakcji
n
"
T
i
Czyli = 0
i=1


d
L
cał
= 0 Ò! = const.
L.cał
dt
Prawo zachowania momentu pędu dla układu odosobnionego
Przykład: Chłopiec stojący na stoliku obrotowym trzyma w
wyciągniętych rękach ciężarki o masie m każda. Nadano mu
prÄ™dkość kÄ…towÄ… É1 = 1,57 s-1. Z jakÄ… czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… bÄ™dzie siÄ™
obracał po ściągnięciu rąk do siebie ?. Dane liczbowe jak na rysunku:
IC1 = 2mr12 IC2 = 2mr22
LC1 = ICHÉ1 + IC1É1 L2 = ICHÉ2 + IC2É2
Nie działa zewnętrzny moment siły, więc L1 = L2
(ICH + IC1) É1 = (ICH + IC2)É2
2 2
2
2
ICH + 2m r1
0,3kg + 2 2 0,6 kg Å" m -1
m
= 8s
É2 = É1 + 2m = 1,57 s -1
2 2 2
ICH r2
0,3kg m + 2 2 0,1 kg m
2
É1 025 É2
É = 2Ä„f; f1 = = , s-1 ; f2 = E" 1,3 s-1
2Ä„ 2Ä„
Jaką pracę wykonał chłopiec ściągając do siebie ciężarki?
1
2
É2
2
K1 = 1 É1 (ICH + IC1); K2 = (ICH + IC2)
2
2
W = K2 - K1 E" 10,88 J - 2,14 J = 8,74 J
Środek masy układu odosobnionego porusza się ruchem
prostoliniowym jednostajnym (tzn. pęd całkowity jest stały)
Rozpatrzmy moment pędu względem środka masy. Całkowity moment
pędu względem dowolnego punktu dla układu n cząsteczek.

n

m
r
i v
= i" ix
i
L
całk.
=1
Moment pędu zależy od wyboru punktu początkowego układu

współrzędnych 0. Niech będzie wektorem położenia środka
R
ÅšM
masy układu n cząstek w wybranym układzie współrzędnych.


r r R R
i i
Podstawimy = - +
ÅšM ÅšM

n n


r V
m m
=" ( i - R ) x i + " R x V i =
L i i
całk. ŚM ŚM
i=1 i=1

n


" V
= - x
m i
i
R R R
1 r ÅšM ÅšM
1
i=1


= -
R R
r
i i ÅšM




R
mi i x = x
L R
V
i i ŚM ŚM całk.
p


n

L RŚM x całk
"
L p
= + R x = +
p
iÅšM
ŚM całk. ŚM
i = 1

- całkowity moment pędu układu względem jego środka
ÅšM
L
masy


x -moment pędu środka masy względem punktu 0
R
ŚM p całk

x zależy od wyboru układu współrzędnych,
ŚM całk
R
p

natomiast nie zależy.
L
ÅšM

LÅšM
Dla pojedynczej cząstki nazywamy spinowym momentem pędu.
Jeśli wybierzemy początek układu ( 0 ) w środku masy, to


R
RŚM = 0 i ŚM x całk = 0
p


L
=
L
całk. ŚM
II zasada Newtona dla ruchu obrotowego wokół środka masy:


d
L
Åš M
=
T
wyp
dt
* Ruch środka masy jest określony przez wypadkową siłę
zewnętrzną działającą na układ (ciało sztywne).
* Obrót wokół środka masy układu (ciała sztywnego) jest określony
przez wypadkowy zewnętrzny moment sił.
Jeżeli ciało sztywne jest w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym postępowym lub obrotowym (może to być ruch
złożony), to :



"
1) F = F = 0; 2) =T wyp = 0
j wyp.
"
T
j
j
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Ruch obrotowy wokół osi stałej
Punkt materialny o masie "m poruszający się po okręgu o promieniu
r z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towa É ma energiÄ™ kinetycznÄ… K:
1
1
1
2
"m
V
K == É2"mr2 = É2I [ V = Ér]
2
2
2
Dla ukÅ‚adu n punktów materialnych (o tej samej É, np. bryÅ‚a sztywna)
n
1
"
mri
i
É2 " 2
K ==
i=1
2
n
1 1
"
2
"
m r2 =
i i
= É2 I
2É i=1 2
Całkowita energia kinetyczna




n
n
1
2
1
v
= v +
v'
i
v ÅšM i
"
Kcałk. = ( 2 " m i = " ( ) =
i "
m
i
v v
i i

i=1
2
i=1
- prędkość środka
v
ÅšM

mas
n


1

= ( " (v ÅšM +v' i ) (v 2 + ) =
"
m
i v'
i
ÅšM
v'
i - prędkość cząstki "i"
2
i=1
względem śr.masy
n

n
n
1
(""m )V2 + v ÅšM " mi vi' + 1 ""m
"
=
i ÅšM
vi'2
i
2
2
i =1
i=1
i = 1
1
2
0 K'
+
=
m V K'
całk. ŚM
2

n
"" i
m
iV'
i =1
=
v' n
ÅšM
Energia kinetyczna środka masy
""
m
i
i =1
względem układu odniesienia,
K' - całkowita energia kinetyczna

względem środka masy n
n

'
"
"
m
i = " = 0
V
i "
m
v' i
ÅšM
i=1
i=1

v'
ŚM = 0 (prędkość środka masy
względem środka masy)
Dla bryły sztywnej, w układzie środka masy, może występować tylko
energia kinetyczna obrotowa (poszczególne punkty są  sztywno
związane i nie mogą zbliżać się ani oddalać od środka masy).
1
K = É2I
2
1 1
v2
KcaÅ‚k. =M + É2I
ÅšM
2 2
M - masa bryły sztywnej
I - moment bezwładności bryły (oś przechodzi przez środek masy
1
v2 - energia kinetyczna ruchu postępowego bryły sztywnej
ÅšM
M
2
1
É2I - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryÅ‚y wokół Å›rodka masy
2
Przykład: Jaką prędkość w ruchu postępowym na dole równi pochyłej o
wysokości h i kącie nachylenia ą uzyska masa m w postaci :
a) klocka zsuwajÄ…cego siÄ™ bez tarcia;
b) pustego, cienkościennego walca o promieniu r;
c) pełnego walca o tym samym promieniu r (walce staczają się bez
poślizgu) ?
2
2
m
V I É2
m 3 3 3
V
Na dole K1 = m 1 K2= V I É2
K3=
2 2 2
+
+
22
równi 22
2
1
I2 = m r2 I3 = m r2
2V 3
V
2
2
É2 = É3 =
2
V
1
r V
m r
r2 2
2
m
r2 3
2
m
V
2
r2
m
V 2
3
+ r2
K2=
22K3= 2 2 + 2
2
2 2 m m
V V
3 3
m m
V V +
2 2
+
K2= K3=
24
2 2
3
K2= m K3 =
mv2
v2
2
3
4
3
2
m
V mv2
K1=K2=K3 mgh= mgh=m v2 mgh=
1
2
3
4
=mgh 2
4
V1= V2= V3=
2gh gh
gh
3
2 gh gh 4
niezależne V1= V2= V3=
gh
od masy i
3
od promienia
V1 > V3 > V2
3
Gdyby klocek i pusty walec I 3 =
m
r2
2
miały taką samą prędkość V
2
3
V
2
m m
V r2 3
2
r2
K 1 = K 2 = m V2 K3=
2
2
3
2
m
V
3
2K 1 = K 2 K3=
4
4
gh
V3=
3
Bąk symetryczny, żyroskop
Jeżeli do obracającego się bąka zostanie przyłożony moment sił usiłujący
go obrócić wokół osi prostopadłej do jego osi obrotu, to bąk zacznie się
obracać wokół trzeciej osi, prostopadłej do tamtych dwóch.

Pierwotna oś obrotu bąka: 00 (pręd. kątowa
É


Działająca para sił i F' usiłuje obrócić bąk wokół osi
F
AA .



F
F'
T
Moment pary sił i powoduje powstanie

przyspieszenia kÄ…towego zgodnie z II-gÄ… zasadÄ…
Ä…
Newtona dla ruchu obrotowego:



T
Ä…
F
= ( Ä… Ä„" )
I
W efekcie, bąk obróci się wokół osi B B (efekt żyroskopowy)
i C C będzie nową, chwilową osią obrotu bąka.
Ruch precesyjny
Gdy oÅ› obrotu bÄ…ka 0 0 odchyli siÄ™ od
kierunku pionowego, składowa siły

ciężkości będzie usiłowała
F'
g
przewrócić bąk.
Efekt żyroskopowy sprawi, że bąk odchyli
się w kierunku prostopadłym do osi 00

i do osi wymuszanej przez siłę , tzn.
F'
g
w kierunku wskazanym przez wektor V.


Precesja pod wpływem momentu T siły ciężkości F'
g

d

L
=
T
dt


d = T dt = x Fg
L T r

Ä„" Ò! d Ä„"
T L L L

T
(w każdej chwili
działanie momentu wywołuje zmiany kierunku
momentu pędu ).
L
Kąt dĆ, o jaki obróci się oś bąka 00 w czasie dt:
tg(dĆ)H"dĆ
dL
dĆ =
L
Zatem prędkość kątowa precesji :
dÕ 1 dL T T
=
Ép = = =
dt L dt L IÉ
Precesja kuli ziemskiej
Ziemia jest bąkiem symetrycznym swobodnym. Wskutek spłaszczenia i
nachylenia osi obrotu względem ekliptyki, część I jest silniej przyciągana
przez Słońce niż część II, ponadto w ruchu obrotowym wokół Słońca, na
część I działa mniejsza siła  odśrodkowa FI niż na część II (FII).
Powstaje moment sił usiłujący obrócić Ziemię wokół osi prostopadłej do
rysunku. W efekcie następuje obrót wokół chwilowej osi B B i ruch
precesyjny.
Nutacja
W rzeczywistości ruch osi bąka jest złożony, wykonuje drgania zwane
nutacjÄ….