POLE ELEKTROSTATYCZNE
y
ródłem pola elektrostatycznego jest ładunek elektryczny.
ElementarnÄ… jednostkÄ…Å‚adunku jest e = 1,60x10-19C
(kwantyzacja ładunku - ładunek dowolnej cząstki jest zawsze wielokrotnością
+
e)
-
W układzie zamkniętym wypadkowa ilość ładunku jest stała (zasada
zachowania Å‚adunku)
Prawo Coulomba :
q1q2
F = k
r2
1
(k = 9 ·109 Nm2/C2; k =
4Ä„ µ; µo = 8,854· 10-12C2/Nm2
ż
1
m m
1 2
(analogia do Fg = G ; Fg <"
r2 r2
ale siła grawitacji zawsze przyciągająca)
Natężenie pola elektrostatycznego


F
E a" ( F - siła działająca na próbny ładunek q - dodatni)
q
Q
dla Å‚adunku punktowego: E =
k
r2



F
g
a
analogia do = , ale = (przysp. grawitacyjne) bo jest
E E
g g
m
równoważność masy grawit. i bezwład., natomiast q jest niezależne od masy.
Zasada superpozycji (nakładania) pól.

n

"
E
E j
= (pole pochodzące od n ładunków punktowych)
j=1

n
"
F
F =(siła działająca na ładunek q ze strony n ładunków punktowych)
j
j=1
Zapis wektorowy prawa Coulomba
'"
r - wektor jednostkowy skierowany
od Q do q

Qq
'"
F
= k
r2 r
'"
'"
Zasada superpozycji :
n
n n
q
Q
Q
1 1
j
j
k
F k
" j "
E " r
r
j
j
= = =
q
j=1
q
j =1
j=1 r2
r2
j
j
Znając natężenie pola elektrostatycznego w danym punkcie, nie musimy znać
rozkładu i wielkości ładunków wytwarzających to pole aby wyznaczyć siłę


działającą na ładunek umieszczony w tym punkcie; F = q
E
Przykład 1: Obliczyć pole elektrostatyczne w dowolnym punkcie x
na symetralnej dipola.
Obliczmy siłę działającą na dodatni ładunek próbny q umieszczony w x.
Qq
Qq
F1 = k ; F2 = k
r2
r2
Z podobieństwa trójkątów:
r l l Qq lQq
F
1
= Ò! F =F1 = k = k
F l r r
r2 r3
Q l a" p - moment dipolowy
pq
F = k
r3

F p
= k
E F
E = (wektor ma ten sam zwrot i kierunek jak )
q
r3
Przykład 2: Obliczyć pole elektrostatyczne na osi
naładowanego pierścienia o promieniu R i ładunku całkowitym Q.
Q
"l
Element "l pierścienia ma ładunek równy
2Ä„R
2 2
+
i w odległości r =
R x
"Q
wytwarza pole "E = k
r2
Dla każdego elementu "l można znalez
ć przeciwległy element "l
wytwarzający pole "E , o takiej samej składowej wzdłuż osi x i o
składowej prostopadłej do osi x równej co do wartości lecz przeciwnie
skierowanej.
Tzn. wypadkowy wektor natężenia pola jest skierowany wzdłuż osi x i
równy sumie składowych "Ex od wszystkich elementów "l pierścienia.
" x
E
x
=
Z podobieństwa trójkątów
"E r
Q
x "l
x x "Q
2Ä„R
"E = k = k
"Ex =
r r
r2
r3
Q Q
x x
2Ä„R 2Ä„R
d dl = k dl = k 2Ä„R =
+" E +"
x
E =
r3 r3
xQ xQ
= k
= k
3 / 2
2
(R 2 + )
r3
x
- dla x = 0 ( w środku pierścienia): E = 0
- dla x >> R (bardzo daleko od pierścienia):
xQ xQ Q
= k = k
E H" k
x3 x2(tak jak od Å‚adunku punktowego).
( )3/ 2
x2
Linie sił
Linia sił (natężenie) jest krzywą do której w każdym punkcie jest
styczny wektor siły działającej na ładunek dodatni (wektor natężenia
pola).
Linie sił (natężenia)
nigdy siÄ™ nie przecinajÄ…
SÄ… zawsze skierowane
od Å‚adunku dodatniego
do ujemnego.
* Liczba linii natężenia na jednostkę powierzchni prostopadłej do tych
linii jest liczbowo równa natężeniu pola elektrycznego w danym
punkcie przestrzeni.
* Całkowita liczba linii pola przechodząca
przez danÄ… powierzchniÄ™ "S nosi nazwÄ™
strumienia "Ć linii pola.
" Ć
E = Ò! "Ć = E · " S
" S
Obliczmy strumień "Ć przez element powierzchni " S ustawionej pod
kątem ą w stosunku do powierzchni "S prostopadłej do linii pola (obie
zawierajÄ… takÄ… samÄ… liczbÄ™ linii pola).
" S " S
= cosÄ… Ò! " =
S' cosÄ…
"S'

Wprowadzamy wektor " , prostopadły do elementu powierzchni "S o
S


długość równej polu powierzchni "S (analogicznie " i dla każdego
S
innego elementu powierzchni).


" S
cosÄ…
Iloczyn skalarny E ·" = E "S cosÄ… = E =
S
cosÄ…
= E "S = "Ć
Ogólnie więc, strumień elektryczny, czyli liczba linii pola przez dowolny


element powierzchni dS : dĆ = dS
E
Strumień przez rozległą powierzchnię S jest sumą strumieni dĆ przez
elementy dS :


S
Ć = " "
E

d
w postaci całkowej: Ć = (całka powierzchniowa)
+" E S
s
Przykład 1: Obliczmy liczbę linii pola wytwarzanych przez ładunek punktowy Q
Rozważmy powierzchnię kulistą
o promieniu r1 i środku w punkcie Q
r2
S = 4Ä„ 1
Pole na powierzchni tej kuli wynosi
Q
E = k
r2
1
Linie pola są prostopadłe do powierzchni kuli, zatem :
Q

Ć = ·S = E S = k 4 Ä„ r2 = 4 Ä„ k Q
1
E
r2
1
Ć nie zależy od r (ze wzrostem r rośnie S, ale maleje E).
Ć = 4 Ą k Q jest całkowitą liczbą linii pola wytwarzaną przez ładunek Q (strumień
całkowity).
Zatem, jeśli ładunek otacza dowolna zamknięta powierzchnia S
(niekoniecznie kula), całkowita liczba linii pola jest taka sama i strumień
przez taką powierzchnię wynosi Ć = 4 Ą k Q.

= E " S '
"
E
S
("S - element rozważanej powierzchni, obejmujący taką samą ilość linii

co element powierzchni kuli "S, który zawsze jest prostopadły do E )



'
+" E S +" E S
E
Ć = d = d = d S = 4ĄkQ
+"
'
kula
S
Jeśli wewnątrz zamkniętej powierzchni znajduje się kilka ładunków Q1, Q2,
.... Qn, to każdy z nich wytwarza liczbę linii pola równą odpowiednio
4Ä„kQ1, 4Ä„kQ2, ...... 4Ä„kQn
z zasady superpozycji



E S
Ćcałk. = +" d = (E1 + +...+E n) d =
S
E
2


S S
+" E +" E
= dS + d + ....++" E d =
1 2
n
= 4Ä„kQ1 + 4Ä„kQ2 + .... = 4Ä„kQn = = 4Ä„k(Q1 + Q2 + ...+ Qn)


E
S
Ć = d = 4ĄkQwewn. - prawo Gaussa
+"
całk.
Qwew. jest ładunkiem wypadkowym zawartym w zamkniętej
powierzchni. Gdy Qwew. jest dodatnie, linie wychodzÄ… z powierzchni;
gdy Qwew. jest ujemne, linie wchodzą do wewnątrz zamkniętej
+q = -" -q
"
powierzchni; gdy Qwew.=0 (np. ), strumień Ćcałk.= 0
(niezależnie od tego czy na zewnątrz znajdują się jakieś ładunki).
*Linie pola zaczynają się i kończą zawsze tylko na ładunkach,
gdzie indziej są ciągłe.
*Strumień przez powierzchnię zamkniętą wytworzony przez
ładunek zewnętrzny jest równy zero, bo wszystkie te linie
które wejdą do wewnątrz muszą wyjść na zewnątrz (więc
całkowita liczba linii wychodzących z tej powierzchni
zamkniętej jest równe zero).
Przykład 2: Korzystając z prawa Gaussa wykazać, że w przewodnikach
wprowadzone Å‚adunki zawsze gromadzÄ… siÄ™ na powierzchni.
Niech S będzie powierzchnią zamkniętą
poprowadzoną tuż pod powierzchnią
rozważanego przewodnika.

+" E
Z prawa Gaussa: dS = 4Ä„kQwewn
S
Ale wewnÄ…trz przewodnika (w tym i na powierzchni) pole
E = 0, bo w przeciwnym wypadku elektrony w przewodniku poruszałyby
się pod wpływem pola (rozważamy stan ustalony, gdy ładunki się nie
poruszajÄ…), czyli:


E
d S = 0 Ò! 0 = 4Ä„kQwew. Ò! Qwew. = 0
+"
tzn. że wewnątrz powierzchni S nie ma ładunku.
Przykład 3: Obliczyć pole wewnątrz i zewnątrz jednorodnie naładowanej
powłoki kulistej o promieniu R.
Na zewnątrz powłoki kulistej
Obliczmy strumień pola przez
pow. kulistÄ… o promieniu r > R.

d = E dS (powierzchnia kulista)
E S

E dS
+" dS =E =E4Ä„r2
+"
z prawa Gaussa :


+" E
d S = 4Ä„kQwew.
4Ä„kQwew. = E4Ä„r2
Qwew. jest całkowitym ładunkiem Q na powłoce kulistej.
Q
k Q = E r2 Ò! E = k
r2 (r > R)
(tak, jakby cały ładunek Q był położony w środku kuli).
Wewnątrz powłoki kulistej (r < R)
WewnÄ…trz powierzchni kulistej (dla r < R) nie ma Å‚adunku, czyli

E
+" S = 0 Ò! E 4Ä„r2 = 0 Ò! E = 0
d
Przykład 4: Jednorodnie naładowana pełna kula.
Q
1) Na zewnÄ…trz, (r > R), E = k
r2
2) WewnÄ…trz, (r < R):
Pole od powłoki kulistej pomiędzy
r i R równe jest zero. Pole od kul
o promieniu r (na zewnÄ…trz):
3 3
Q(r)
Q(r)
(4 / 3)Ä„
r r
=
E =k ; =
Q
r2 (4 / 3)Ä„
R3 R3
r3
Q(r) = Q
3
R
Q
r3 Qr = k· Q · r <" r
E = k = k
3
3
R3
R
r2R
Przykład 5: Jednorodnie naładowany długi pręt, z liniową
Q
gęstościąładunku:  =
l
Obliczmy pole w punkcie x, odległym
od pręta o r.
Rozpatrzmy walec o długości L i o
promieniu r. WewnÄ…trz tego walca
zawarty jest Å‚adunek Qwew. = Å" L

+" E S
Z prawa Gaussa: d = 4 Ä„ k  L (*)
Ze względu na symetrię, linie pola rozchodzą się tylko
promieniście, prostopadle do pręta (jeśli l >> r); strumień

E S E S
przed podstawy walca "Ć = 0 ( Ä„" d wiÄ™c Å" d = 0),


+" E
wiÄ™c: Å" d = E 2Ä„rL
S
powierzchnia boczna walca
Porównując z (*): 4ĄkL = E2ĄrL
2k
1
E = Ò! E <"
r
r
Przykład 6: Jednorodnie naładowana nieskończona płaszczyzna.
Powierzchniowa gęstość
ładunku à = Q/S
Obliczmy pole w odległości d
od płyty (d << rozmiarów płyty).
Rozpatrzmy walec o długości
2d i polu podstawy "S. Walec
zawiera Å‚adunek Qwew.=Ã "S

Strumień przez powierzchnię boczną walca Ć = 0 ( bo jest równoległe
E
do powierzchni).
Strumienie przez obie podstawy sÄ… takie same (symetria):

E
+" dS = 2E"S

E S
z prawa Gaussa: +" d = 4Ä„kà "S Ò! 2E"S = 4Ä„Ã "S
E =2Ä„kà Pole jednorodne (nie zależy od odlegÅ‚oÅ›ci d !)
Dwie równolegÅ‚e pÅ‚yty przeciwnie naÅ‚adowane Ã+ = Ã-
Na zewnątrz płyt (np. w punkcie 1 lub 2)
pola od płyty ujemnej i dodatniej są
równe co do wartoÅ›ci (E = 2Ä„kÃ), ale
przeciwnie skierowane. Z zasady
superpozycji
Ewyp. (zewn.) = 0.
Pomiędzy płytami skierowane są
zgodnie, od  + do  -
Ewyp.(wewn) = 4Ä„kÃ
Pole elektryczne wytwarzane przez naładowane ciała o różnych kształtach
1
ko = 4Ä„ µ
o
Indukcja elektryczna
W przewodniku umieszczonym w polu elektrycznym następuje przesunięcie
ładunków takie, aby pole wewnątrz przewodnika było równe zeru. Dotyczy
to również przewodników  wydrążonych , np. pudła z metalowymi ściankami
- wykorzystywane to jest do ekranowania.
Zjawisko indukcji występuje również w izolatorach, ale ze względu na
ograniczoną możliwość ruchu ładunków nie występuje całkowite
zrównoważenie pola wewnątrz izolatora.
Przykład 7: Przyjmijmy, że modelem atomu wodoru jest
jednorodnie naładowana kula o promieniu R i ładunku -e ( chmura
elektronu) z protonem o ładunku +e umieszczonym w środku.
1) Jak przesunie siÄ™  chmura elektronu
pod wpływem zewn. pola elektrycznego
Ezew. względem protonu
2) Z jaką częstotliwością po usunięciu pola,
będą drgały proton i  chmura elektronowa
wokół położenia równowagi?
Nm
k=8,988Å"109 C 2


ad 1) Na  chmurę -e działa siła F = -e i
E
zew.
przesuwa ją o x względem położenia równowagi.
Zgodnie z Przykładem 4,  chmura elektronu
wytwarza w odległości x od środka pole:
ex
E(-) = - k
3
R
Przesuwanie trwa, aż pole wypadkowe działające na proton będzie
zero:
ex
-k + Ezew. = 0
3
R
3
R
x = E
ek
Co odpowiada indukowanemu momentowi dipolowemu:
3
R
p = x e = E
k
ex
ad 2) F = - e E; gdy Ezew. = 0, E = E(-) = - k
3
2
R
e
F = - k R x (taka sama siła działa na  chmurę elektronu).
2
2 2
x k
d e
(m a = F) to me 2 = - x
3
d
t R
równanie ruchu oscylatora harmonicznego
2
x
d
= - x
É2
o
2
d
t
2
2
k
e 1 k
É
o e
É2 =
o
; fo = =
3
3
2Ä„
m R 2Ä„
e
m R
e
2
1 9 (16x
109 , 10-19)
fo = 1/s = 2,5 1015 1/s = 2,5 1015 Hz
3
2Ä„
91x
,
10-31(10-10)