Wykład 21 potencjał pola el


POTENCJAA ELEKTRYCZNY
POTENCJAA ELEKTRYCZNY
POTENCJAA ELEKTRYCZNY
POTENCJAA ELEKTRYCZNY
r
E charakteryzowało pole z punktu widzenia oddziaływań,
r
czyli miało sens taki, że znając wartość E(r) można było
r r r
obliczyć F(r) = q0 �" E(r) . E jest wektorem.
Z punktu widzenia możliwości wykonania pracy w polu
el. wielkością fiz. charakteryzującą tę możliwość jest V.
Aby wyznaczyć różnicę potencjałów elektrycznych po-
między punktami pola A i B przesuwamy ładunek próbny
q0 z A do B mierząc jednocześnie pracę WAB, którą w tym
celu trzeba wykonać (lub wykonuje pole).
q0
+V Def. różnicy potencjał.:
WAB
A
A
"V = VB - VA =
q0 ,
gdzie WAB a" WAB .
1J
[V] =1V = .
1C
B
A jak zdefiniować V?
VB
q
Umowa: A wybiera się w "
+
czyli VA=0, a więc:
++ ładunek
W"B
wytwarzający
VB = , lub ogólniej:
pole
q0
r W".r
V(r) =
DEF:
q0
2101
r
Potencjał V(r) w danym punkcie jest równoważny
pracy, jaką należy wykonać, aby ładunek próbny q0
r
przesunąć z " do danego punktu pola r .
Potencjał jest skalarem!!
Notacja: potencjał ładunku dodatniego jest dodatni V>0,
potencjał ładunku ujemnego jest ujemny V<0.
POTENCJAA AADUNKU PUNKTOWEGO
Przesuwajmy ładunek q0 z punktu A do B w polu el. wy-
tworzonym przez ładunek punktowy q.
dr
q
VB
r
V
q
A
0
+
++
+
A
B
q E
F
WAB
"V = VB - VA = ,
q0
B
r
r
+"F �" dr
A
VB - VA = ,
q0
r r
F = -q0 �" E ,
2102
B
r
r
VB - VA = - �"dr
(zapamiętaj!).
+"E
A
r
q
Ć
Dla ładunku punktowego E = k r ,
r2
rB
dr dx 1
VB - VA = -kq = -
, { },
+" +"
r2 x2 x
rA
�ł �ł
1 1
�ł
VB - VA = -kq�ł - �ł
rB rA �ł .
�ł łł
Gdy rA " to VA 0; VB = Vr = V(r)
Dla ładunku punktowego:
V
q
V(r) = k
.
1
r
V ~
r
1
V ~ q , oraz V ~ ,
r
r
V=0
V
V
V 1
V ~
r
V
+
++ ładunek
wytwarzający
+q
pole
2103
V
POTENCJAA UKAADU AADUNKÓW PUNKTOWYCH
Potencjał jest skalarną wielkością addytywną:
n n
i
V =
"V = k"q .
i
ri
i=1 i=1
POTENCJAA AADUNKU ROZCIGAEGO
dq
V =
.
+"dV = k+"
r
POTENCJAA DIPOLA
Przykład
Obliczyć potencjał V w odległości r od dipola ustawio-
nego pod kątem ą do osi obserwacji (r>>2a, p = 2aq).
P
Z
r1
r
+q
r2
a ą
a ą
'
-q
V = = V1 + V2 ,
"V
i
i
�ł - q r2 - r1
�ł
q
�ł �ł
V = k�ł + = kq ,
r1 r2 �ł r1 �" r2
�ł łł
2104
dla r>>2a i ą'H" ą
r2 - r1 H" 2a cosą , oraz r2 �" r1 H" r2 ,
2a cosą
V = kq ,
r2
pcosą
V = k
r2 .
o
Przeanalizujmy warunki kąto-
ą=0
we: V >0
V > 0
max
dla ą: (0o  90o) V>0,
ą = 0o V = Vmax oraz V>0
ą: (90o  180o) V<0,
V = 0
o
ą: (0o  90o) V>0,
ą=90
ą = 90o V = 0,
ą = 180o V = Vmax oraz
V<0.
V < 0
V <0
max
ą=180o
2105
ZACHOWAWCZOŚĆ POLA EL
Pole el. (podobnie jak pole grawitacyjne) jest polem za-
chowawczym.
q
+ 0
+
q
E
Praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.
r
r
Wo = �" dr = 0
+"F
�ł �ł
WAB 1 1
�ł
VB - VA = = kq�ł - �ł
,
q0 rB rA �ł
�ł łł
�ł �ł
1 1
�ł
WAB = q0(VB - VA )= kqq0�ł - �ł
rB rA �ł .
�ł łł
Powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną).
Praca nie zależy od wyboru drogi, a zależy od różnicy po-
tencjałów.
2106
POTENCJAA POLA EL. JEDNORODNEGO
Przesuwajmy ładunek q0 ruchem jednostajnym na drodze
d od A
B w jednorodnym polu el. E. Obl. "V = ?


z def.:
-
+
WAB
VB - VA =
-
+
q
q E
0
F=-q E
0
0
B
+
-
r
+
A r
B
dr
WAB = �" dr ,
+"F
-
+
A
r r
-
F = -q0 �" E ,
+
-
+
E
B
r
1 r
VB - VA = -
+"q �" E �" dr
q0 A 0
B
r
r
VB - VA = - �" dr
, warto zapamiętać!
+"E
A
r r r
r r
E �! .a...dr ę!, E �" dr = -E �" dr , E = Const ,
B B
VB - VA = E , = d ,
+"dr +"dr
A A
VB - VA = E �" d ,
"V = Ed
.
"V
V N
E =
, [E] = =
d
m C
2107
POTENCJAA POLA EL. NIEJEDNORODNEGO
(Związek pomiędzy E a V)
Przesuwajmy ładunek q0 ruchem jednostajnym od A B



w niejednorodnym polu el. E. Obl. "V = ?
Z poprzedniego:
E
B
r
r
VB - VA = - �" dr ,
+"E
A
B
Tym razem E nie jest
jednorodne,
A
r
E `" Const
a zatem nie możemy
wyłączyć E przed cał-
kę.
Jeśli równocześnie:
A " to VA = V" = 0:
B
r
r
VB = V(r) = - �"dr ,
+"E
"
r
r
r
V(r) = -
.
+"E(r) �" dr
"
V r
dV r
V = = �" dr ,
r
+"dV +"
dr
0 "
r r
r
dV r r
�" dr = - �" dr .
r
+" +"E
dr
" "
2108
+
+
+
F
=
-
q
0
E
+
q
q
+
0
E
r
d
Identyczne zmienne i granice całkowania, więc
wyrażenia podcałkowe są sobie równe:
r r
dV dV
= -E , a = gradV = "V.
r r
dr dr
r
d " " "
Ćj Ć
{ = grad = " = � + + k }
r
dr "x "y "z
r r
E = -gradV = -"V
.
"V
r
"V wskazuje kierunek wzrostu V. Ma zwrot przeciwny
do E.
2109
E
E
E
E
+
+
V
+
+
+
+
+
V
+
+
+
+
V
V
Przykład
Obl. V na zewnątrz i wewnątrz kulistej chmury ładunku o
promieniu R naładowanej ładunkiem o gęstości obj. �, je-
żeli znane są zależności E(r):
� R3 �
Ez (r) = dla r>R, oraz Ew (r) = r dla r3�0 r2 3�0
r
r
r
r
r
V(r) = - �"dr
+"E(r) , E dr .
"
E
E dr
II
dr
+
+
r
+
�
+
R
+
Ez
Ew
+
r
�
+
+
+
R
+
V
�
~ a - r2
R2
2�0
�
R2
3�0
1
~
r
r
R
2110
I
Dla r>R (na zewn.):
r
r
r
V(r) = - (r)�"dr
z
+"E
"
r
� R3 �R3 r dr dx 1
V(r) = - , { = - }
+"3� r2 �"dr = - 3�0 +" +"
r2 x2 x
" 0 "
� R3
V(r) =
3�0 r
Dla rr r
r r
�łR r łł
r r r
.
V(r) = - �"dr = -�ł z (r)�" dr + (r) �"drśł
w
+"E(r) +"E +"E
" �ł" R �ł
Z powyższego (dla r>R) mamy
R
R
r
r � R3 �
- (r) �"dr = = R2 .
z
+"E
3�0 r 3�0
"
"
z kolei
r r r
r
r � �
w
+"E (r)�"dr = +"3� r �"dr = 3�0 +"r �"dr
R R 0 R
x2
+"xdx = 2
r
r
r
�ł
r � r2 � r2 R2 �ł
w
+"E (r)�" dr = 3�0 2 = 3�0 �ł 2 - 2 �ł.
�ł �ł
R �ł łł
R
�ł łł
�ł �ł
� �ł r2 R2 � 2R2 r2 R2 łł
2
V(r) = - �ł - �łśł = - + ,
śł
�ł
3�0 �łR �ł 2 2 3�0 �ł 2 2 2
�ł łł �ł �ł
�ł �ł
2111
�
V(r) = (3R2 - r2)
.
6�0
� �
dla r=0 ,
V = (3R2 - 02)= R2
6�0 2�0
dla r� �
dla r=R ,
V = (3R2 - R2)= R2
6�0 3�0
1
dla r>R V(r) ~ ,
r
dla r " V 0.
2112
POTENCJALNA ENENRGIA EL.
Def.:
Potencjalna En. El. układu ładunków jest równoważna
pracy, jaka jest potrzebna do utworzenia tego układu ła-
dunków przemieszczając je z " do danego punktu pola.
W
r
V(r)
+
r
+
q
q0
E a" W"r a" q (Vr - V" )
p 0 ,
V" = 0,
Ep = V(r) �" q0 .
Dla układu dwóch ładunków punktowych q i q0:
q
V = k
r
q �"q0
Ep = k
.
r
2113
ZESTAWIENIE:
r
q �"q0 W"r
q �"q0 r F
W"r a" Ep ~ , V a"
F ~ , E =
r q0
r2 q0
q q
E ~ V ~
r2 r
2114
Przykład
Obl. potencjalną enenrgię el Ep układu trzech ładunków
punktowych +q, +2q, -4q znajdujących się w narożach
trójkąta równobocznego o boku a.
-4q
Ep a" W"r ,
3
q �" q0
Epqq = k ,
0
r
Ep = Ep12 + Ep23 + Ep31,
a
a
2
1
a
+q
+2q
q �" 2q 2q �" (-4q) (-4q) �" q
�ł łł
Ep = k + + =
�ł śł
a a a
�ł �ł
k q2
= (2q2 - 8q2 - 4q2)= -10k ,
a a
q2
Ep = -10k
.
a
Ep<0 tzn. wykonaliśmy pracę ujemną przy konstruowaniu
układu tych ładunków (praca wykonana przez układ),
Ep<0 odpowiada siłom przyciągającycm (ładunki uwolnio-
ne zaczną się do siebie zbliżać).
2115
RÓWNANIE LAPLACE'A
r r r
E = -"V / ",
r r
�
" �" E = ,
�0
r r r r
" �" E = -" �" "V,
r r
�
" �" E =
�0
r r
ńł "2 "2 "2 �ł
�ł" �" " = "2 = " = + + żł
"x2 "y2 "z2
ół �ł
�
"V = -
�0
Potencjał el. V powstaje dzięki rozkładowi ładunków
w próżni �=0 (brak ładunków
"V = 0
.
2116
NAPICIE I POTENCJAA
"V = VB - VA = UBA ,
Def: Napięcie pomiędzy punktami A i B równa się różni-
cy potencjałów tych punktów.
WAB
VB - VA = ,
q0
WAB
UBA =
q0 .
Def:
Napięciem UBA punktu B względem punktu A nazywamy
iloraz pracy WAB wykonanej przy przemieszczeniu ładun-
ku q0 z punktu A do B i wielkości tego ładunku.
Potencjał el. określonego punktu przedstawia napięcie
tego punktu względem 0 (punktu w nieskończoności).
B
r
r
V = VB = VB" = VB - V" = VB - 0 = - �" dr .
+"E
"
Np. napięcie 220V jest równoważne różnicy potencjałów
220V - 0V.
2117


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(21 Potencjał zakłócający i anomalie)
Analiza Wykład 3 (21 10 10)
wyklad 21
Wykład 4 21 03 2013
Metodyka WF studia I stopnia wyklad 21
21 mechanika budowli wykład 21 drgania wymuszone nietlumione
Wykład 8 (21 XI 2011) zagadnienia
KPC Wykład (21) 26 03 2013
(Komentarz do wykładu 21)
FM wyklad 3 21 10 2010
Wyklad 21
Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 21
Wykład 8 21,4,12

więcej podobnych podstron