POTENCJAA
ELEKTRYCZNY
POTENCJAA
ELEKTRYCZNY
POTENCJAA
ELEKTRYCZNY
POTENCJAA
ELEKTRYCZNY
r
E charakteryzowało pole z punktu widzenia oddziaływań,
r
czyli miało sens taki, że znając wartość E(r) można było
r r r
obliczyć F(r) = q0 Å" E(r) . E jest wektorem.
Z punktu widzenia możliwości wykonania pracy w polu
el. wielkością fiz. charakteryzującą tę możliwość jest V.
Aby wyznaczyć różnicę potencjałów elektrycznych po-
między punktami pola A i B przesuwamy ładunek próbny
q0 z A do B mierząc jednocześnie pracę WAB, którą w tym
celu trzeba wykonać (lub wykonuje pole).
q0
+V Def. różnicy potencjał.:
WAB
A
A
"V = VB - VA =
q0 ,
gdzie WAB a" WAB .
1J
[V] =1V = .
1C
B
A jak zdefiniować V?
VB
q
Umowa: A wybiera siÄ™ w "
+
czyli VA=0, a więc:
++ Å‚adunek
W"B
wytwarzajÄ…cy
VB = , lub ogólniej:
pole
q0
r W".r
V(r) =
DEF:
q0
2101
r
Potencjał V(r) w danym punkcie jest równoważny
pracy, jaką należy wykonać, aby ładunek próbny q0
r
przesunąć z " do danego punktu pola r .
Potencjał jest skalarem!!
Notacja: potencjał ładunku dodatniego jest dodatni V>0,
potencjał ładunku ujemnego jest ujemny V<0.
POTENCJAA
A
ADUNKU PUNKTOWEGO
Przesuwajmy Å‚adunek q0 z punktu A do B w polu el. wy-
tworzonym przez Å‚adunek punktowy q.
dr
q
VB
r
V
q
A
0
+
++
+
A
B
q E
F
WAB
"V = VB - VA = ,
q0
B
r
r
+"F Å" dr
A
VB - VA = ,
q0
r r
F = -q0 Å" E ,
2102
B
r
r
VB - VA = - Å"dr
(zapamiętaj!).
+"E
A
r
q
Ć
Dla Å‚adunku punktowego E = k r ,
r2
rB
dr dx 1
VB - VA = -kq = -
, { },
+" +"
r2 x2 x
rA
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
VB - VA = -kqìÅ‚ - ÷Å‚
rB rA ÷Å‚ .
íÅ‚ Å‚Å‚
Gdy rA " to VA 0; VB = Vr = V(r)
Dla Å‚adunku punktowego:
V
q
V(r) = k
.
1
r
V ~
r
1
V ~ q , oraz V ~ ,
r
r
V=0
V
V
V 1
V ~
r
V
+
++ Å‚adunek
wytwarzajÄ…cy
+q
pole
2103
V
POTENCJAA
UKA
ADU A
ADUNKÓW PUNKTOWYCH
Potencjał jest skalarną wielkością addytywną:
n n
i
V =
"V = k"q .
i
ri
i=1 i=1
POTENCJAA
A
ADUNKU ROZCI
GA
EGO
dq
V =
.
+"dV = k+"
r
POTENCJAA
DIPOLA
Przykład
Obliczyć potencjał V w odległości r od dipola ustawio-
nego pod kÄ…tem Ä… do osi obserwacji (r>>2a, p = 2aq).
P
Z
r1
r
+q
r2
a Ä…
a Ä…
'
-q
V = = V1 + V2 ,
"V
i
i
ëÅ‚ - q r2 - r1
öÅ‚
q
ìÅ‚ ÷Å‚
V = kìÅ‚ + = kq ,
r1 r2 ÷Å‚ r1 Å" r2
íÅ‚ Å‚Å‚
2104
dla r>>2a i Ä…'H" Ä…
r2 - r1 H" 2a cosÄ… , oraz r2 Å" r1 H" r2 ,
2a cosÄ…
V = kq ,
r2
pcosÄ…
V = k
r2 .
o
Przeanalizujmy warunki kÄ…to-
Ä…=0
we: V >0
V > 0
max
dla Ä…: (0o  90o) V>0,
Ä… = 0o V = Vmax oraz V>0
Ä…: (90o  180o) V<0,
V = 0
o
Ä…: (0o  90o) V>0,
Ä…=90
Ä… = 90o V = 0,
Ä… = 180o V = Vmax oraz
V<0.
V < 0
V <0
max
Ä…=180o
2105
ZACHOWAWCZOŚĆ POLA EL
Pole el. (podobnie jak pole grawitacyjne) jest polem za-
chowawczym.
q
+ 0
+
q
E
Praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.
r
r
Wo = Å" dr = 0
+"F
ëÅ‚ öÅ‚
WAB 1 1
ìÅ‚
VB - VA = = kqìÅ‚ - ÷Å‚
,
q0 rB rA ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
WAB = q0(VB - VA )= kqq0ìÅ‚ - ÷Å‚
rB rA ÷Å‚ .
íÅ‚ Å‚Å‚
Powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną).
Praca nie zależy od wyboru drogi, a zależy od różnicy po-
tencjałów.
2106
POTENCJAA
POLA EL. JEDNORODNEGO
Przesuwajmy Å‚adunek q0 ruchem jednostajnym na drodze
d od A
B w jednorodnym polu el. E. Obl. "V = ?


z def.:
-
+
WAB
VB - VA =
-
+
q
q E
0
F=-q E
0
0
B
+
-
r
+
A r
B
dr
WAB = Å" dr ,
+"F
-
+
A
r r
-
F = -q0 Å" E ,
+
-
+
E
B
r
1 r
VB - VA = -
+"q Å" E Å" dr
q0 A 0
B
r
r
VB - VA = - Å" dr
, warto zapamiętać!
+"E
A
r r r
r r
E “! .a...dr Ä™!, E Å" dr = -E Å" dr , E = Const ,
B B
VB - VA = E , = d ,
+"dr +"dr
A A
VB - VA = E Å" d ,
"V = Ed
.
"V
V N
E =
, [E] = =
d
m C
2107
POTENCJAA
POLA EL. NIEJEDNORODNEGO
(Związek pomiędzy E a V)
Przesuwajmy Å‚adunek q0 ruchem jednostajnym od A B



w niejednorodnym polu el. E. Obl. "V = ?
Z poprzedniego:
E
B
r
r
VB - VA = - Å" dr ,
+"E
A
B
Tym razem E nie jest
jednorodne,
A
r
E `" Const
a zatem nie możemy
wyłączyć E przed cał-
kÄ™.
Jeśli równocześnie:
A " to VA = V" = 0:
B
r
r
VB = V(r) = - Å"dr ,
+"E
"
r
r
r
V(r) = -
.
+"E(r) Å" dr
"
V r
dV r
V = = Å" dr ,
r
+"dV +"
dr
0 "
r r
r
dV r r
Å" dr = - Å" dr .
r
+" +"E
dr
" "
2108
+
+
+
F
=
-
q
0
E
+
q
q
+
0
E
r
d
Identyczne zmienne i granice całkowania, więc
wyrażenia podcałkowe są sobie równe:
r r
dV dV
= -E , a = gradV = "V.
r r
dr dr
r
d " " "
Ćj Ć
{ = grad = " = î + + k }
r
dr "x "y "z
r r
E = -gradV = -"V
.
"V
r
"V wskazuje kierunek wzrostu V. Ma zwrot przeciwny
do E.
2109
E
E
E
E
+
+
V
+
+
+
+
+
V
+
+
+
+
V
V
Przykład
Obl. V na zewnÄ…trz i wewnÄ…trz kulistej chmury Å‚adunku o
promieniu R naÅ‚adowanej Å‚adunkiem o gÄ™stoÅ›ci obj. Á, je-
żeli znane są zależności E(r):
Á R3 Á
Ez (r) = dla r>R, oraz Ew (r) = r dla r3µ0 r2 3µ0
r
r
r
r
r
V(r) = - Å"dr
+"E(r) , E dr .
"
E
E dr
II
dr
+
+
r
+
Á
+
R
+
Ez
Ew
+
r
Á
+
+
+
R
+
V
Á
~ a - r2
R2
2µ0
Á
R2
3µ0
1
~
r
r
R
2110
I
Dla r>R (na zewn.):
r
r
r
V(r) = - (r)Å"dr
z
+"E
"
r
Á R3 ÁR3 r dr dx 1
V(r) = - , { = - }
+"3µ r2 Å"dr = - 3µ0 +" +"
r2 x2 x
" 0 "
Á R3
V(r) =
3µ0 r
Dla rr r
r r
îÅ‚R r Å‚Å‚
r r r
.
V(r) = - Å"dr = -ïÅ‚ z (r)Å" dr + (r) Å"drśł
w
+"E(r) +"E +"E
" ðÅ‚" R ûÅ‚
Z powyższego (dla r>R) mamy
R
R
r
r Á R3 Á
- (r) Å"dr = = R2 .
z
+"E
3µ0 r 3µ0
"
"
z kolei
r r r
r
r Á Á
w
+"E (r)Å"dr = +"3µ r Å"dr = 3µ0 +"r Å"dr
R R 0 R
x2
+"xdx = 2
r
r
r
ëÅ‚
r Á r2 Á r2 R2 öÅ‚
w
+"E (r)Å" dr = 3µ0 2 = 3µ0 ìÅ‚ 2 - 2 ÷Å‚.
ìÅ‚ ÷Å‚
R íÅ‚ Å‚Å‚
R
îÅ‚ Å‚Å‚
öÅ‚ îÅ‚
Á ëÅ‚ r2 R2 Á 2R2 r2 R2 Å‚Å‚
2
V(r) = - ìÅ‚ - ÷łśł = - + ,
śł
÷Å‚
3µ0 ïÅ‚R ìÅ‚ 2 2 3µ0 ïÅ‚ 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2111
Á
V(r) = (3R2 - r2)
.
6µ0
Á Á
dla r=0 ,
V = (3R2 - 02)= R2
6µ0 2µ0
dla rÁ Á
dla r=R ,
V = (3R2 - R2)= R2
6µ0 3µ0
1
dla r>R V(r) ~ ,
r
dla r " V 0.
2112
POTENCJALNA ENENRGIA EL.
Def.:
Potencjalna En. El. układu ładunków jest równoważna
pracy, jaka jest potrzebna do utworzenia tego układu ła-
dunków przemieszczając je z " do danego punktu pola.
W
r
V(r)
+
r
+
q
q0
E a" W"r a" q (Vr - V" )
p 0 ,
V" = 0,
Ep = V(r) Å" q0 .
Dla układu dwóch ładunków punktowych q i q0:
q
V = k
r
q Å"q0
Ep = k
.
r
2113
ZESTAWIENIE:
r
q Å"q0 W"r
q Å"q0 r F
W"r a" Ep ~ , V a"
F ~ , E =
r q0
r2 q0
q q
E ~ V ~
r2 r
2114
Przykład
Obl. potencjalną enenrgię el Ep układu trzech ładunków
punktowych +q, +2q, -4q znajdujących się w narożach
trójkąta równobocznego o boku a.
-4q
Ep a" W"r ,
3
q Å" q0
Epqq = k ,
0
r
Ep = Ep12 + Ep23 + Ep31,
a
a
2
1
a
+q
+2q
q Å" 2q 2q Å" (-4q) (-4q) Å" q
îÅ‚ Å‚Å‚
Ep = k + + =
ïÅ‚ śł
a a a
ðÅ‚ ûÅ‚
k q2
= (2q2 - 8q2 - 4q2)= -10k ,
a a
q2
Ep = -10k
.
a
Ep<0 tzn. wykonaliśmy pracę ujemną przy konstruowaniu
układu tych ładunków (praca wykonana przez układ),
Ep<0 odpowiada siłom przyciągającycm (ładunki uwolnio-
ne zaczną się do siebie zbliżać).
2115
RÓWNANIE LAPLACE'A
r r r
E = -"V / ",
r r
Á
" Å" E = ,
µ0
r r r r
" Å" E = -" Å" "V,
r r
Á
" Å" E =
µ0
r r
Å„Å‚ "2 "2 "2 üÅ‚
òÅ‚" Å" " = "2 = " = + + żł
"x2 "y2 "z2
ół þÅ‚
Á
"V = -
µ0
Potencjał el. V powstaje dzięki rozkładowi ładunków
w próżni Á=0 (brak Å‚adunków
"V = 0
.
2116
NAPI
CIE I POTENCJAA

"V = VB - VA = UBA ,
Def: Napięcie pomiędzy punktami A i B równa się różni-
cy potencjałów tych punktów.
WAB
VB - VA = ,
q0
WAB
UBA =
q0 .
Def:
Napięciem UBA punktu B względem punktu A nazywamy
iloraz pracy WAB wykonanej przy przemieszczeniu Å‚adun-
ku q0 z punktu A do B i wielkości tego ładunku.
Potencjał el. określonego punktu przedstawia napięcie
tego punktu względem 0 (punktu w nieskończoności).
B
r
r
V = VB = VB" = VB - V" = VB - 0 = - Å" dr .
+"E
"
Np. napięcie 220V jest równoważne różnicy potencjałów
220V - 0V.
2117