Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna

1. Pokazać, że 6

e e

.

ikm ikm =

2. Pokazać, że e e

= 2δ .

ikm

jkm

ij

3. Dana jest macierzowa reprezentacja tensora

3 5 7

7 3 7

3 5 4

a)





σ

, b)





σ

, c)





σ

kl =

5 6 2

kl =

3 4 2

kl = 5

4 2









7 2 5





7 2 5





4 2 3





1

Podać dziewięć składowych d zdefiniowanych związkiem: d = σ − σ δ .

ij

ij

ij

kk

ij

3

4. Warunki nierozdzielności można zapisać tak

e

e

ε

pnr lsm rs mn = 0

'

Rozpisać je w notacji tradycyjnej dla

a) p =3 i l = 3, b) p =1 i l = 2, c) p =2 i l = 3.

5. Uogólnione prawo Hooke’a ma postać następującą: σ = λε δ + µσ

2

. Wyprowadzić

ij

kk

ij

ij

zależność pomiędzy γ i s , jeśli wiadomo, że ij

ij

γ = ε − 1 ε δ

1

, s = σ − σ δ .

ij

ij

kk

ij

ij

ij

kk

ij

3

3

6. Tensor stałych materiałowych materiału Hooke’a ma postać C

= λδ δ + µ δ δ + δ δ

pqkl

pq kl

( pl qk pk qkl)

Wykorzystując to wyrażenie zapisać związek konstytutywny σ

= C ε .

pq

pqkl kl

7. Pokazać, że drugi niezmiennik tensora naprężenia, definiowany tak: σ

σ

σ

σ

σ

σ

11

12

11

13

22

23

I =

+

+

,

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

21

22

31

33

32

33

1

można przedstawić w postaci: I = (σ σ

− σ σ ) .

2

2

kk

mm

ij

ij

Stan odkształcenia i stan naprężenia

1. Składowe tensora naprężenia transformują się zgodnie ze wzorem σ ' = α

' α ' σ

ij

i k

j l

kl

Wyznaczyć tensor '

σ jeśli znany jest tensor σ i kosinusy kierunkowe osi ' x . Sprawdzić ij

kl

i

niezmienniki.





'

3 1

x :

, , 0

1





2

2





3 0 0

0 0 0

0 0 0





'

1

3

a)





σ

b)





σ

c)





σ

, x : − ,

, 0





kl =

0 0 2

kl =

0 5 0

kl = 0

4 0









2



2

2

0 0 0









0 0 4





0 2 5





'

x :

3

[0, 0, ]1

2. Obliczyć niezmienniki, naprężenia główne i kierunki główne dla podanego tensora naprężenia.

10 − 6 0

− 2 0 0

a)





σ

, b)





σ

.

ij =

0

6 7

ij = − 6 10

0





 0

0

1

 0 7 6

3. Obliczyć niezmienniki, naprężenia główne i kierunki główne dla podanego tensora naprężenia. Podać wartość maksymalnych naprężeń stycznych.

0 0 3

0 1 1

a)





σ

, b)





σ

ij =

1 0 1

ij = 0 0 3





3 3 0

1 1 0

4. Składowe stanu naprężenia wyrażają się tak (przypadek płaski):

3 1

5 1

a) σ

, b) σ

.

ij =

ij = 



1 4





1 7

Wyznaczyć składowe stanu naprężenia w układzie obróconym.

x

'

2

x

2

x1'

α=30o

α

x1

5. Składowe stanu naprężenia wyrażają się tak (przypadek płaski):

− 3 2

4 2 

a) σ

, b) σ

ij =

ij = 



 2 6





2 − 

8

Wyznaczyć składowe stanu naprężenia w układzie obróconym.

x

'

2

x

2

x1'

α=60o

α

x1

6. Wyznaczyć kierunki i wartości główne danego stanu naprężenia (przypadek płaski).

Zadanie rozwiązać analitycznie korzystając z równania sekularnego dla przypadku trójwymiarowego stanu naprężenia.

a)

b)

20

10

5

6

5

6

15

25

Proste zadania teorii sprężystości

1. W pręcie walcowym jak na rysunku σ = − Ax , σ =

, pozostałe 0

σ

.

ij =

13

2

23

1

Ax

Wyznaczyć składowe sił objętościowych X , , i znaleźć obciążenia powierzchni 1 X2 X3

zewnętrznych walca.

x3

x2

x1

2. W pewnym ośrodku składowe stanu naprężenia przyjmują wartości: σ

Az σ

σ

τ

τ

τ

.

x =

,

y =

z =

xy =

xz =

yz = 0

Wyznaczyć siły objętościowe działające w tym ośrodku.

3. W pręcie przedstawionym na rysunku naprężenia wynoszą odpowiednio: σ

Az σ

σ

τ

τ

τ

.

x =

, y = z = xy = xz = yz = 0

Jak są obciążone powierzchnie boczne pręta ?

x

y

z

4. W pręcie przedstawionym na rysunku jedyną niezerową składową stanu naprężenia jest σ . Znaleźć jej wartość wiedząc, że wektor sił objętościowych { X}= {γ

}

0

,

0

,

.

11

L

x2

x3

x1

ν

ν

5. W pręcie jak na rysunku, u = x , u = − x , u = 0 . Wyznaczyć funkcję 1

'

1

2

'

1 2

1

'

1 3

ρ

ρ

u ( x , x , x ) zakładając, że 0

u ( ,

0 ,

0 0) = .

1

1

2

3

1

x

x

2

2

x3

x1

ν

ν

ν

6. W pręcie jak na rysunku, u = x , u = − x ,

= −

. Wyznaczyć funkcję

2 1

'

1

2'2

2

u 2'3

x 3

ρ

ρ

ρ

u ( x , x , x ) zakładając, że 0

u ( ,

0 ,

0 )

0 = .

2

1

2

3

2

x

x2

2

x3

x1

1

1

7. W pręcie jak na rysunku, u = ,

0 u

= x ,

=

. Wyznaczyć funkcję

1

'

3

'

3 2

3

u 3'3

x 2

ρ

ρ

u ( x , x , x ) zakładając, że 0

u ( ,

0 ,

0 )

0 = .

3

1

2

3

3

x

x2

2

x3

x1

8. W pręcie zginanym jak na rysunku

−1 2

2

2

1

u ( x , x , x ) =

[ x − ν( x − x )], u ( x , x , x ) =

. Pokazać, że spełniona jest

2

1

2

3

3

1

2

3

1

2

3

x 2 x 3

2ρ

ρ

hipoteza o zachowaniu odcinka normalnego.

x

x2

2

x3

x1

Pokazać, że spełniona jest hipoteza o zachowaniu odcinka normalnego.

9. W pewnym ciele

− ν

−1 2

2

2

1

u ( x , x , x ) =

x x , u ( x , x , x ) =

[ x − ν( x − x )], u ( x , x , x ) =

.

1

1

2

3

2 3

2

1

2

3

3

1

2

3

1

2

3

x 2 x 3

ρ

2ρ

ρ

Wyznaczyć składowe stanu odkształcenia w tym ciele.

10. W pewnym ciele

− γ

νγ

νγ

2

2

2

2

u ( x , x , x ) =

[ (

ν x + x ) − L + x ], u ( x , x , x ) =

x x , u ( x , x , x ) =

1

1

2

3

2

3

1

2

1

2

3

2 1

3

1

2

3

x 3 1

x

2 E

E

E

Wyznaczyć składowe stanu odkształcenia w tym ciele.

− γ

− γ

− γ

11. W pręcie przedstawionym na rysunku u =

x ,

v

u

=

x ,

v

=

.

1

'

1

1

'

1 2

2

u '13

x 3

E

E

E

Wyznaczyć funkcję u ( x , x , x ) zakładając, że 0

u ( ,

0 ,

0 0) = .

1

1

2

3

1

L

x2

x3

x1

12. Wyznaczyć siły objętościowe w ciele, w którym: 2

h 2

P( x −

)

− Px x

3

1 3

4

σ =

, σ =

, pozostałe 0

σ

, oraz P, J, b – const.

ij =

11

13

J

2 Jb

Skręcanie prętów pryzmatycznych

1. Omówić postulowaną postać deformacji prętów skręcanych (założenia dotyczące funkcji przemieszczeń).

2. Składowe stanu przemieszczenia w pręcie skręcanym mają postać: x3

x2

u =

−γ

1

x 2 3

x

x

u

=γ

1

2

1

x 3

x

u

= γ ϕ x ,

3

( 1 2 x)

Podać wyrażenia na składowe stanu odkształcenia i składowe stanu naprężenia.

3. Składowe stanu przemieszczenia w pręcie skręcanym mają postać: x3

x2

u =

−γ

1

x 2 3

x

x1

u

=γ

2

1

x 3

x

u

= γ ϕ x ,

3

( 1 2 x)

Rozpisać różniczkowe równania równowagi przy założeniu, że pręt jest nieważki.

4. Wyprowadzić związek pomiędzy funkcją Prandtla, a momentem skręcającym.

 2

2

x

x



5. Funkcja φ( x ,

jest funkcją Prandtla dla przekroju eliptycznego jak na 1 x ) =

 1

2

A

+ 2 −

2

2



1

 a

b



rysunku. Wyznaczyć stałą A.

x2

b

-a

a

x1

-b

6. Funkcja Prandtla dla przekroju eliptycznego ma postać: φ( x ,

M

x

s

1 x

x

1

)



2

2 

=

 − 1

2

− 2

2

2 

π ab  a b 

Policzyć naprężenia w punkcie o współrzędnych

a) (-0,8 ; 0,8) [m], b) (0,8 ; 0,8) [m], c) (0,8 ; -0,8) [m],

jeśli wiadomo, że Ms = 3,14 kNm, a = b = 2 m. Wrysować je symbolicznie na przekroju.

7. Funkcja Prandtla dla przekroju eliptycznego ma postać: 2 2

a b



2

2

x

x 

φ = Gγ

1

2

2  − 1 − 2

2

2 

a + b 

a

b 

Wyrazić kąt γ przez znany moment skręcający Ms i podać wzór na kąt skręcania ϕ

przekrojów odległych o lo.

1

1

Wskazówka:

2

3

2

3

dF = π ab ,

x dF = π a b ,

x dF = π

.

1

2

ab

∫∫

∫∫

∫∫

4

4

F

F

F

M 

2

2

x

x 

8. Wychodząc z funkcji Prandtla dla przekroju eliptycznego φ =

s

1− 1

− 2

pokazać,

2

2 

π ab  a b 

że w przekroju kołowym wypadkowe naprężenia styczne są liniową funkcją ρ. Podać ich wartość maksymalną.

9. Pochodne przemieszczenia u dla skręcanego pręta eliptycznego są postaci: 3

u

= γ

= γ

1

,

3

C x 2 ,

u ,32 C 1

x

Znaleźć funkcję u przyjmując u (0,0) = 0.

3

3

10. Składowe stanu przemieszczenia skręcanego pręta eliptycznego mają następującą postać:

x3

x2

x1

u x , x , x =

− γ

1( 1

2

3 )

2

x 3

x

u x , x , x

= γ

2 ( 1

2

3 )

1

x 3

x

−

u x , x , x

b

a

=

γ

3 ( 1

2

3 )

2

2

x x

2

2

1 2

b + a

Podać wyrażenia na składowe stanu odkształcenia i naprężenia w tym pręcie.

11. Sprawdzić czy funkcja φ = C

( x

1 − a )( x 1 + a )( x 2 − b)( x 2 + b) może być funkcją Prandtla dla przekroju takiego jak na rysunku.

x2

b

-a

a

x1

-b

12. Pokazać, że wypadkowe naprężenia od skręcania

2

2

τ = σ + σ

31

32 są zawsze styczne do

konturu skręcanego pręta eliptycznego.

 2

2

x

x



Wskazówka: Funkcja Prandtla: φ( x ,

.

1 x ) =

 1

2

A

+ 2 −

2

2



1

 a

b



Styczna do elipsy w punkcie x

xx

yy

o

o

o,yo wyraża się równaniem:

+

= 1.

2

2

a

b





 8 2



γ

π

π

13. Wykazać, że funkcja φ( x ,

a G

n x

n x

= − ∑ 

 + γ

−

1 x 2 )

ch

sin

G x( a

x)

π

jest

n= ,

1 ,

3 5...

3 3

 n π ch n b

a

a 



2 a



funkcją Prandtla dla pręta skręcanego o przekroju jak na rysunku.

y

x

b

a

14. Dla przekroju prostokątnego funkcję Prandtla przyjmuje się w postaci: x2

b

x

φ = ∑

nπ x

1

f x

n (

)

1

cos

2

a

n= ,

1 3,5,...

a

Pokazać, że φ = 0

dla x = a

±

1

.

2

Wyprowadzić równanie różniczkowe na funkcję f

.

n ( x 2 )

Płaski stan naprężenia

1. Podać przykłady konstrukcji, w których występuje płaski stan odkształcenia oraz przykłady konstrukcji, w których występuje płaski stan naprężenia.

3. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest postaci: 3

F =

1

cx x 2 ?

4. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest postaci: 2

F =

1

dx x ?

2

5. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest

postaci:

2

F = c

?

2 x 2

6. Jak są obciążone krawędzie AB i CD tarczy jak

y

na rysunku, jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy

A

B

jest postaci:

c

x



2

3

2

3

xy

xy

xy

Ly

Ly 

F = s −

−

+

+

?

2

2 

c

 4

4 c

4 c

4 c

4 c 

C

D

L

7. Jak są obciążona tarcza jak na rysunku,

y

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy

A

B

jest postaci:

c

x

3

2

b xy

F =

−

c

2

b xy

?

2

3 c

C

D

L

8. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest postaci:

3

3

F ( x, y) = a

+

3 x

d 3 y ?

4c

y

x

3c

9. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

y

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest

postaci:

2

F ( x, y) = d

?

2 y

a 2

x

a 1/ 2

9. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest

y

postaci:

2

a a

F ( x, y) = a 2 x ?

x

a 2

y

10. Jak jest obciążona tarcza jak na rysunku,

h

jeśli funkcja Airy’ego dla tej tarczy jest

x

postaci:

4

4

F ( x, y) = a

−

h

4 x

a 4 y ?

L L

11. Funkcja Airy'ego dla tarczy jak a rysunku jest postaci: 2

2

3

2 3

5

F ( x, y) = a

+

+

+

+

2 x

3

b x y

d 3 y

d 5 x y

f 5 y

a) dobrać współczynniki tak, aby funkcja ta spełniała równanie tarczy, b) korzystając z naprężeniowych warunków brzegowych wyznaczyć stałe a 2, b 3, d 3, d 5, f 5.

y

q

h/2 qL/2 qL/2

x

h/2

L/2 L/2

12. W belce wspornikowej (tarczy):

2

P

σ = x ,

P

x

σ =

( h

2

− x ), a pozostałe σ

.

ij = 0

11

1 2

12

J

2 J 4

2

Wyznaczyć przemieszczenia u1, u2, korzystając z warunku, że w punkcie (L,0): u1 = u2 = u2,1 = 0.

x2

x

1

h

L

Płyty kołowe

1. Wyznaczyć funkcję ugięcia płyty jak na rysunku.

1



 −

Wskazówka: Wykorzystać równanie płyty w postaci: d d

dw

t

 r

 =





dr r dr  dr 

D





q q

a

a

2. Wyznaczyć funkcję ugięcia płyty jak na rysunku.

1



 −

Wskazówka: Wykorzystać równanie płyty w postaci: d d

dw

t

 r

 =





dr r dr  dr 

D





q

a

3. Funkcja ugięcia płyty jak na rysunku jest postaci 4

qr

2

q

(

w r) =

+

+

1

C r

C 2

64 D

a

Znaleźć maksymalne ugięcie płyty.

4. Dla płyty jak na rysunku podać wyrażenie na siłę poprzeczną i sformułować warunki brzegowe.

q

b

a