SIMR 2010/2011, Analiza 2, wykład 1, 2010-02-21
Przestrzeń wektorowa
Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę rzeczywistą. Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy wektorami.
Definicja: Przestrzenią wektorową nazywamy trójkę ( V, + , ·), gdzie
V - zbiór
+ : V × V → V
· : R × V → V
są działaniami spełniającymi warunki:
1. Istnieje wektor 0 ∈ V taki, że ∀ ( u ∈ V )
u + 0 = u
: wektor zerowy
2. ∀ ( u ∈ V ) ∃! ( v ∈ V )
u + v = 0
: wektor v jest tylko jeden i oznaczmy go v = −u
3. ∀ ( u, v ∈ V )
u + v = v + u
: przemienność
4. ∀ ( u, v, w ∈ V )
u + ( v + w) = ( u + v) + w
: łączność
5. ∀ ( u ∈ V )
1 · u = u
6. ∀ ( u, v ∈ V ) ( ∀λ ∈ R)
λ · ( u + v) = λ · u + λ · v
: rozdzielność
7. ∀ ( λ, r ∈ R) ∀ ( u ∈ V )
λ · ( r · u) = ( λr) · u
8. ∀ ( λ, r ∈ R) ∀ ( u ∈ V )
( λ + r) · u = λ · u + r · u
: rozdzielność
Przykłady przestrzeni wektorowych
1. V = R 3 działania są określone w następujacy sposób:
u = ( u 1 , u 2 , u 3) ∈ V , v = ( v 1 , v 2 , v 3) ∈ V , λ ∈ R
u + v = ( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3) λ · u = ( λu 1 , λu 2 , λu 3)
Analogicznie można zdefiniować przestrzeń Rk o dowolnym wymiarze skończonym.
2. Przestrzeń V =
k
k
R . W R działania na wektorach są określone w następujacy sposób:
x = ( x
k
k
1 , x 2 , . . . , xk ) ∈ R
, x = ( x 1 , x 2 , . . . , xk) ∈ R , λ ∈ R
x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , xk + yk) λ · x = ( λx 1 , λx 2 , . . . , λxk)
3. Przestrzeń V = Mm×n macierzy o wyrazach rzeczywistych. Działania na macierzach są określone w zwykły sposób.
4. V = C, działania są określone w sposób naturalny:
u, v ∈ C , u = u 1 + iu 2 , v = v 1 + iv 2 , u 1 , u 2 , v 1 , v 2 ∈ R , λ ∈ R
u + v = ( u 1 + v 1) = i( u 2 + v 2) λ · u = λu 1 + iλu 2
1
o
5. Przestrzeń ciągów o wyrazach rzeczywistych: V =
xn
, xn ∈ R . Działania na ciągach
n∈ N
(wektorach ) są określone w następujacy sposób:
x = ( x
k
1 , x 2 , x 3 . . . ) , y = ( y 1 , y 2 , y 3 . . . ) ∈ R
, λ ∈ R
x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , . . . ) λ · x = ( λx 1 , λx 2 , λx 3 , . . . )
6. Przestrzeń funkcji f : D → R : o dowolnej dziedzinie o wartościach rzeczywistych. Działania określamy następująco:
u = u( x), v = v( x) , λ ∈ R
( u + v)( x) = u( x) + v( x) , ∀( x ∈ D) ( λu)( x) = λu( x) , ∀( x ∈ D)
Liniowo niezależny układ wektorów
Definicja: Niech dana będzie przestrzeń wektorowa V . Układ wektorów ui ∈ V, i ∈ I nazywamy liniowo niezależnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego podzbioru {i 1 , i 2 , . . . in} zbioru indeksów I i dla dowolnych liczb rzeczywistych λ 1 , λ 2 , . . . λn zachodzi implikacja: λ 1 · ui + λ
+ . . . λ
= 0 = ⇒ λ
1
2 · ui 2
n · uin
1 = λ 1 = . . . λn = 0
Uwaga: Implikacja ta oznacza, że jedyną zerową kombinacją liniową wektorów układu jest kombinacja liniowa z zerowymi współczynnikami.
Twierdzene: Układ wektorów nie jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją indeksy
{i 1 , i 2 , . . . in} ⊂ I i liczby rzeczywiste λ 1 , λ 2 , . . . λn− 1 takie, że: un = λ 1 · ui + λ
+ . . . λ
1
2 · ui 2
n · uin− 1
czyli jeden z wektorów układu jest liniową kombinacją pozostałaych wektorów.
Baza przestrzeni wektorowej
Definicja: Bazą przestrzeni wektorowej nazywamy maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tej przetrzeni.
Uwaga: Układ maksymalny to znaczy taki, że jeżeli dołączymy do układu dowolny wektor, to układ ten przestanie być liniowo niezależny.
Twierdzenie: Układ wektorów ei , i ∈ I jest bazą przestrzeni wektorowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora u ∈ V istnieją indeksy {i 1 , i 2 , . . . in} ⊂ I i liczby rzeczywiste λ 1 , λ 2 , . . . λn takie, że: u = λ 1 · ei + λ
+ . . . λ
oraz indeksy i
1
2 · ei 2
n · ein
k i współczynniki λk są wyznaczone jednoznacznie
przez wektor u (przy dodatkowym założeniu λk 6= 0 , k = 1 , 2 , . . . , n ).
Uwaga: Baza tworzy układ współrzędnych w przestrzeni wektorowej, jej elementy są wektorami jed-nostkowymi osi układu współrzędnych, a liczby λk współrzędnymi wektora u w tym układzie współ-
rzędnych. Wektory jednostkowe nie muszą mieć długości 1 nie muszą być też do siebie prostopadłe.
Samo pojęcie długości wektora i prostopadłości wektorów nie zostało jeszcze zdefiniowane, więc nie możemy go używać.
Twierdzenie: Każda przestrzeń wektorowa ma bazę.
Twierdzenie: Każdy układ wektorów liniowo niezalezny można rozszerzyć do bazy.
Definicja: Wymiar przestrzeni wektorowej jest to liczba elementów bazy tej przetrzeni (moc zbioru elementów). Wymiar przestrzeni V oznaczamy dim V
Uwaga: W przestrzeni wektorowej może być wiele róznych baz, jednak wszystkie mają taką samą liczbę elementów (taką samą moc). Przestrzeń wektorowa może mieć wymiar skończony lub nieskończony.
Twierdzenie: W przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej o wymiarze k każdy układ k wektorów liniowo niezależnych jest bazą tej przestrzeni.
2
3
R jest przestrzenią wektorową 3-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący
układ wektorów:
e 1 = (1 , 0 , 0) , e 2 = (0 , 1 , 0) , e 3 = (0 , 0 , 1) Przykład: Przestrzeń V =
k
R
jest przestrzenią k-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ
wektorów:
e 1 = (1 , 0 , 0 , . . . , 0) , e 2 = (0 , 1 , 0 , . . . , 0) , e 3 = (0 , 0 , 1 , . . . , 0) , ek = (0 , 0 , 0 , . . . , 1) Przykład: Przestrzeń wszystkich ciągów rzeczywistych jest przestrzenią wektorową nieskończeniewy-miarową.
Przykład: Sprawdzić czy wektory
u
3
1 = (1 , 1 , 1) , u 2 = (2 , 1 , − 1) , u 3 = (1 , 1 , 2) tworzą bazę w przestrzeni R . Jesli tak, znaleźć współ-
rzędne wektora v = (4 , 2 , − 3) w tej bazie.
Sprawdzamy liniową niezależność wektorów rozwiązując równanie:
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = (0 , 0 , 0) ( λ 1 + 2 λ 2 + λ 3 , λ 1 + λ 2 + λ 3 , λ 1 − λ 2 + 2 λ 3) = (0 , 0 , 0)
λ
1 + 2 λ 2 + λ 3 = 0
λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0
λ 1 − λ 2 + 2 λ 3 = 0
Układ ten ma tylko rozwiązanie zerowe ( λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy układu równań |A| = 0
1
2 1
|A| = 1
1 1 = 2 + 2 − 1 − 1 + 1 − 4 = − 1 6= 0
1 − 1 2
Ponieważ układ równań ma tylko rózwiązanie zerowe, więc układ wektorów u 1 , u 2 , u 3 jest liniowo niezależny. Ponieważ wymiar przestrzenie
3
R
jest równy 3, a w układzie sa 3 wektory, więc układ
wektorów B = ( u
3
1 , u 2 , u 3) jest bazą przestrzeni R
Znajdujemy współrzędne wektora v w tej bazie:
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v
λ
1 + 2 λ 2 + λ 3 = 4
λ 1 + λ 2 + λ 3 = 2
λ 1 − λ 2 + 2 λ 3 = − 3
Układ równań rozwiązujemy metotdą Cramera.
4
2 1
1
4 1
|A
1 | =
2
1 1
= − 1
;
|A
1
2 1
= − 2
;
2 | =
− 3 − 1 2
1 − 3 2
1
2
4
|A
3 | =
1
1
2
= 1
1 − 1 − 3
Stąd: − 1
2
1
λ 1 =
= 1
,
λ
= − 2
,
λ
= − 1
−
2 =
3 =
1
− 1
− 1
Wektor v ma w bazie B współrzędne: v = (1 , − 2 , − 1) B
Przkształcenie liniowe
Definicja: Niech U, V będą przestrzeniami wektorowymi. Funkcję f : U → V nazywamy przekształceniem liniowym (operatorem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
∀ ( u 1 , u 2 ∈ U )
f ( u 1 + u 2) = f ( u 1) + f ( u 2)
∀( u ∈ U, λ ∈ R) f( λu) = λf( u)
Macierz przekształcenia linowego
Niech U i V będą skończenie wymiarowe: dim U = n , dim V = m . Ustalamy bazy : B 1 : u 1 , u 2 , . . . un
- baza U , B 2 : v 1 , v 2 , . . . vm - baza V . Niech x ∈ U oraz x = x 1 u 1 + x 2 u 2 + . . . xnun . Niech y ∈ V oraz y = y 1 v 1 + y 2 v 2 + . . . ymvm . Niech X i Y będą macierzami kolumnowymi: 3
x
1
y 1
x 2
y 2
X =
.
,
Y = .
..
..
xn
ym
Wtedy istnieje macierz Fm×n taka, że:
y = f ( x) ⇐⇒ Y = F · X
Uwaga 1: Pierwszą kolumnę macierzy F tworzą współrzędne f ( u 1) w bazie B 2 , drugą f ( u 2) w bazie B 2 i.t.d.
x
1
x 2
Uwaga 2: Często stosuje się zapis: X = [ x
1 , x 2 , . . . , xn] T zamiast X = .
..
xn
Wtedy równanie: Y = F · X wygląda tak: [ y 1 , y 2 , . . . , ym] T = F · [ x 1 , x 2 , . . . , xn] T
Uwaga 3: Elementy macierzy F zależą nie tylko od przekształcenia, ale i od wyboru baz B 1 i B 2 .
Przykład: Niech V będzie przetrzenią wektorową wielomianów stopnia niewiększego niż 3 : V =
{W ( x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 } . Niech f : V → V będzie operacją różniczkowania f ( v) = v0 . Jest to przekształcenie liniowe. Znaleźć odpowiadającą mu macierz w bazach B 1 = B 2 : u 1 = 1 , u 2 = x , u 3 =
x 3 , u 4 = x 3 . Korzystając z tej macierzy obliczyć (2 x 3 − x 2 + 3 x + 5) 0
Pierwsza kolumna macierzy F jest równa: f ( u 1) = 1 0 = 0 = (0 , 0 , 0 , 0) Druga kolumna macierzy F jest równa: f ( u 2) = x0 = 1 = (1 , 0 , 0 , 0) Trzecia kolumna macierzy F jest równa: f ( u 3) = ( x 2) 0 = 2 x = (0 , 2 , 0 , 0) Czwarta kolumna macierzy F jest równa: f ( u 4) = ( x 3) 0 = 3 x 3 = (0 , 0 , 3 , 0) Macierz przekształcenia jest więc równa:
0 1 0 0
0 0 2 0
F =
0 0 0 3
0 0 0 0
Wielomian: v = 2 x 3 − x 2 + 3 x + 5 = (5 , 3 , − 1 , 2) B
współrzędne w bazie B
1
1
Odpowiadająca mu macierz V = [5 , 3 , − 1 , 2] T
Iloczyn macierzy jest równy:
0 1 0 0
5
3
0 0 2 0
3
− 2
W = F · V =
·
=
0 0 0 3 − 1
6
0 0 0 0
2
0
Odpowiadający macierzy W wielomian: w = 3 u 1 − 2 u 2+6 u 3+0 u 4 = 3 · 1 − 2 ·x+6 ·x 2+0 ·x 3 = 6 x 2 − 2 x+3
Wniosek: (2 x 3 − x 2 + 3 x + 5) 0 = 6 x 2 − 2 x + 3
Przykład Na płaszczyźnie ( przetrzeni
2
R ) znaleźć macierz obrotu w lewo o kąt α względem początku
układu wpółrzędnych. Znaleźć obraz u0 wektora u(2 , 4) po obrocie o kąt α = π w lewo.
4
Obrót jest przekształceniem liniowym, odpowiada mu więc macierz. Ustalamy bazę w
2
R : e 1 = (1 , 0)
, e 2 = (0 , 1) . Ta sama baza będzie używana dla argumentu i obrazu przekształcenia. Mamy: f ( e 1) = (cos α, sin α)
,
f ( e 2) = ( − sin α, cos α)
Stąd macierz obrotu:
"
#
cos α − sin α
Oα =
sin α
cos α
Dla α = π mamy:
4
√
√
"
#
"
#
cos π
− sin π
2
− 2
O π =
4
4
=
2
√
2
√
4
sin π
cos π
2
2
4
4
2
2
Stąd:
4
√
√
"
2
− 2 # "
#
"
#
2
− 2
U 0 = O π · U =
2
√
2
√
·
=
√
4
2
2
4
3 2
2
2
√
√
Wniosek: u0 = ( − 2 , 3 2)
Twierdzenie Niech U, V, W będą przetrzeniami wektorowymi skończenie wymiarowymi z ustalonymi bazami. Niech f : U → V , g : V → W będą przekształceniami liniowymi, niech F, G będą macierzami odpowiadającymi tym przekształceniom (w ustalonych bazach). Wtedy:
1. złożeniu przekształceń f ( g( u)) (które też jest przekształceniem liniowym) odpowiada iloczyn macierzy F · G
2. przekształceniu odwrotnemu do f ( f − 1 ) , o ile istnieje, odpowiada macierz odwrotna F − 1
Przestrzeń unormowana
Definicja: Przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest to przestrzeń wektorowa V z określoną funkcją || || : V → R nazywaną normą (długością wektora) spełniającą warunki: 1. ∀( u ∈ V )
||u|| 0
2. ∀( u ∈ V )
||u|| = 0 ⇐⇒ u = 0
3. ∀( λ ∈ R) ∀( u ∈ V ) ||λu|| = |λ| · ||u||
4. ∀( u, v ∈ V )
||u + v|| ¬ ||u|| + ||v||
nierówność trójkąta
W przestrzeni wektorowej unormowanej odległość między wektorami jest równa: ||u − v||
Przykłady przestrzeni wektorowych unormowanych:
q
1. V = R 3 , dla u = ( u 1 , u 2 , u 3) ∈ V , ||u|| =
u 2 + u 2 + + u 2
1
2
3
Analogicznie można zdefiniować normę w przestrzeni Rk .
2. Przestrzeń V = C( < a, b > ) - przestrzeń funkcji ciągłych o dziedzinie < a, b > i o wartościach rzeczywistych. Normą określamy następująco:
||u|| = max |u( x) |
x∈<a,b>
Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa.
Przestrzeń R k
Przestrzeń R k jest przestrzenią wektorową k - wymiarową.
W R k działania na wektorach są określone w następujacy sposób:
x = ( x 1 , x 2 , . . . xk) ∈ R k , x = ( x 1 , x 2 , . . . xk) ∈ R k , λ ∈ R
x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . xk + yk) λ · x = ( λx 1 , λx 2 , . . . λxk)
Norma (długość wektora) jest równa:
q
||x|| =
x 2 + x 2 + · · · + x 2
1
2
k
Odległość między elementami (wektorami) jest równa:
q
||x − y|| =
( x 1 − y 1)2 + ( x 2 − y 2)2 + · · · + ( xk − yk)2
Standardową bazą tej przetrzeni jest układ k wersorów jednostkowych:
e 1 = (1 , 0 , 0 , . . . , 0 , 0) , e 2 = (0 , 1 , 0 , . . . , 0 , 0) , . . . , ek = (0 , 0 , 0 , . . . , 0 , 1) W przestrzeni tej definiujemy iloczyn skalarny:
5
x · y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + xkyk Korzystając z niego można okreslać kąty między wektorami, a w szczególności prostopadłość: x ⊥ y ⇐⇒ x · y = 0
Uwaga: Elementy tej przestrzeni czasem będziemy traktować jak punkty, a czasem jak wektory.
Interpretacja geometryczna:
• przestrzeń R1 - prosta
• przestrzeń R2 - płaszczyzna
• przestrzeń R3 - przestrzeń trójwymiarowa
• dla k > 3 interpretacja geometryczna jest bardziej skomplikowana, można natomiast bez proble-mów wykonywać operacje analityczne, a ich sens geometryczny interpretować przez analogię z przestrzeniami o mniejszych wymiarach.
Granica ciągu w przestrzeni unormowanej
Niech będzie dany ciąg ( xn) , xn ∈ V elementów przestrzeni unormowanej V oraz wektor y ∈ V
Definicja granicy ciągu:
Wektor y jest granicą ciągu ( xn) , wtedy i tylko wtedy, gdy lim ||xn − y|| = 0
n→∞
Czyli:
lim xn = y ⇐⇒ lim ||xn − y|| = 0
n→∞
n→∞
Uwaga: Symbol lim z lewej strony oznacza granicę ciągu w przestrzeni V , a symbol lim z prawej n→∞
n→∞
strony oznacza zwykłą granicę ciągu liczb rzeczywistych.
Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ustalimy bazę B tej przestrzeni to granice ciągów w V
mają bardzo ważną własność: zbieżność takiego ciągu jest równoważna zbieżności ciągów po wszystkich współrzędnych. Zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Dany jest ciąg xn = ( xn, 1 , xn, 2 , . . . xn,k) ∈ V , oraz punkt y = ( y 1 , y 2 , . . . yk) ∈ V
Wtedy
lim xn = y ⇐⇒ lim xn,i = yi , dla i = 1 , 2 , . . . k n→∞
n→∞
n + 3
√
Przykład: Obliczyć granicę ciągu:
, n 2 n + 1
∈
2
R
n + 6
n + 3
√
n + 3
√
lim
, n 2 n + 1
=
lim
, lim n 2 n + 1
= (1 , 2)
n→∞
n + 6
n→∞ n + 6
n→∞
Przykład: Obliczyć granicę ciągu:
2 n 2 − 1
(1 + 1 ) n
n 2+1
n
lim
n→∞
√
√
n n
n 7
2 n 2 − 1
2 n 2 − 1
(1 + 1 ) n
lim
lim (1 + 1 ) n
n 2+1
n
n→∞ n 2+1
n→∞
n
"
#
2 e
lim
=
=
n→∞
√
√
√
√
1 1
n n
n 7
lim n n
lim n 7
n→∞
n→∞
6
Elementy topologii w przestrzni unormowanej
Niech U będzie przestrzenią unormowaną. Wtedy:
Kulą otwartą o środku w u 0 ∈ U i promieniu r > 0 nazywamy zbiór: K( u 0 , r) = {u ∈ U : ||u − u 0 || < r}
Zbiór A ⊂ U jest otwarty ⇐⇒ ∀( u ∈ A) ∃( K( u, r)) K( u, r) ⊂ A
Zbiór A ⊂ U jest domknięty ⇐⇒ U \ A jest otwarty
Definicje wnętrza, domknięcia, brzegu i puntku skupienia oraz własności tych pojęć są analogiczne do przypadku U = R
Granica funkcji
Definicja granicy funkcji:
Niech będzie dana funkcja f : D → V , gdzie D ⊂ U , U, V są przestrzeniami unormowanymi oraz punkt x 0 ∈ U będący punktem skupienia zbioru D i punkt y ∈ V . Wtedy lim f ( x) = y
⇐⇒
lim f ( xn) = y dla każdego ciągu punktów xn ∈ D takiego, że xn 6= x 0 i x→x 0
n→∞
lim xn = x 0
n→∞
Uwaga: Granicę funkcji dla U =
2
3
R nazywa się też granicą podwójną, a dla U = R nazywa się granicą
potrójną.
Przykład obliczania granicy funkcji dla U =
2
3
R , V = R
2 + x
1 x 2
lim
x 2 + cos x
=
1
2 , e 2 x 1+ x 2 ,
( x 1 ,x 2) →(0 , 0)
1 + x 1 − x 2
2 + x
!
1 x 2
lim
x 2 + cos x
e 2 x 1+ x 2 ,
lim
= (1 , 1 , 2)
1
2 ,
lim
( x 1 ,x 2) →(0 , 0)
( x 1 ,x 2) →(0 , 0)
( x 1 ,x 2) →(0 , 0) 1 + x 1 − x 2
Granica kierunkowa
Niech x będzie punktem skupienia D ⊂ U . Niech f : D → W , gdzie U, W - przestrzenie unormowana.
Niech v ∈ U , v 6= 0. Wtedy granicą kierunkową funkcji f w kierunku wektora v w punkcie x nazywamy ( o ile istnieje) granicę:
lim g( t) , gdzie g( t) = f ( x + vt) t→ 0
Uwaga: Takie podejście stosuje się bardzo często dla funkcji wielu zmiennych. Ustalając kierunek v możemy badać funkcję jednej zmiennej co jest znacznie prostsze. Należy jednak zachować ostrożność przy wyciąganiu wniosków o własnościach funkcji wielu zmiennych.
Twierdzenie: Niech f : D → W , x 0 ∈ int( D ∪ {x 0 }) i niech istnieje granica lim f ( x) . Wtedy dla x→x 0
każdego v ∈ U , v 6= 0 istnieje granica kierunkowa w kierunku tego wektora i jest równa lim f ( x).
x→x 0
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Z istnienia i równości granic kierunkowych we wszystkich kierunkach nie wynika jeszcze istnienie granicy w przestrzeni wektorowej. Np. funkcja x 2 y
f ( x, y) =
w punkcie (0 , 0)
x 4 + y 2
Przykład: Obliczyć granicę
x 1 x 2
lim
f ( x 1 , x 2) , gdzie f ( x 1 , x 2) =
( x 1 ,x 2) →(0 , 0)
x 2 + x 2
1
2
Pokażemy, że ta funkcja nie ma granicy. Wybieramy dowolny wektor v = ( v 1 , v 2) 6= (0 , 0) i obliczamy granicę w kierunku wektora v.
v 1 tv 2 t
v 1 v 2
lim g( t) , gdzie g( t) =
=
t→ 0
v 2 t 2 + v 2 t 2
v 2 + v 2
1
2
1
2
v 1 v 2
lim g( t) =
t→ 0
v 2 + v 2
1
2
7
Widać, że granica ta zależy od wyboru wektora v . Np. dla v = (1 , 0) jest równa 0, a dla v = (1 , 1) jest 1
równa
. Wynika stąd, że granica
lim
f ( x 1 , x 2) nie istnieje.
2
( x 1 ,x 2) →(0 , 0)
Ciągłość funkcji
Definicja:
Funkcja f : D → W , gdzie D ⊂ U , oraz U, W są przstrzeniami unormowanymi jest ciągła w punkcie x 0 ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy lim f ( x) = f ( x 0) lub x 0 jest punktem izolowanym D.
x→x 0
Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła dla każdego x 0 ∈ D.
Przykłady funkcji ciągłych na całej dziedzinie:
f ( x, y) = x + y
f ( x, y) = x − y
f ( x, y) = xy
x
f ( x, y) = y
f ( x, y) = xy , x > 0
f ( x 1 , x 2 , . . . xk) = x 1
f ( x 1 , x 2 , . . . xk) = x 2
f ( A, B) = A · B , A, B są macierzami
f ( A, B) = A + B , A, B są macierzami
f ( x, A) = x · A , A jest macierzą, a x ∈ R
f : U → V , U, V unormowane, f liniowa, U -skończenie wymiarowa Twierdzenie:
Niech f : Df → V , gdzie Df ⊂ W oraz g : Dg → Df , gdzie Dg ⊂ U będą funkcjami ciągłymi ( U, W, V
są przestrzeniami unormowanymi). Wtedy funkcja f ( g( x)) : Dg → V jest też funkcja ciągłą.
Twierdzenie:
Niech f : Df → W , gdzie Df ⊂ U , U, W są przestrzeniami unormowanymi. Niech W będzie skończenie wymiarowa. Ustalamy bazę BW tej przestrzeni. Wtedy możemy zapisać f ( x) w tej bazie: f ( x) =
( f 1( x) , f 2( x) , . . . , fn( x)) . Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy są ciągłe wszystkie funkcje fi , i = 1 , 2 , . . . , n.
Przykład: Poniższa funkcja jest funkcją ciągłą na swojej dziedzinie:
x 2 y
!
q
f ( x, y) =
, xyex−y , y 2 + x ln( y −
3 x − 5 y)
x + cos( xy)
Pochodna
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Definicja: Niech f : D → W , D ⊂ R i x ∈ int D . Wtedy pochodną f nazywamy granicę ( o ile istnieje): f ( x + h) − f ( x)
f 0( x) = lim
h→ 0
h
Twierdzenie: Jeżeli W jest skończeni wymiarowa i f ( x) = ( f 1( x) , f 2( x) , . . . , fk( x)) w pewnej bazie, to pochodna f 0( x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją f 0( x) , i = 1 , 2 , . . . , k i jest równa: i
f 0( x) = ( f 0 ( x) , f 0 ( x) , . . . , f 0 ( x)) 1
2
k
Przykład 1: Niech położenie ciała w chwili t będzie równe: ~
r( t) = (cos 3 t , sin 3 t , t 2) . Obliczyć
prędkość i przyśpieszenie tego ciała.
~
v( t) = ~
r( t) 0 = ((cos 3 t) 0 , (sin 3 t) 0 , ( t 2) 0) = ( − 3 sin 3 t , 3 cos 3 t , 2 t) .
~a( t) = ~
v( t) 0 = (( − 3 sin 3 t) 0 , (3 cos 3 t) 0 , (2 t) 0) = ( − 9 cos 3 t , 9 sin 3 t , 2) .
8