SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 13, 2014-01-17
Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli g : < a , b >→< g( a) , g( b) > jest klasy C 1 to: b
g( b)
Z
Z
f ( g( x)) · g0( x)d x =
f ( t)d t
a
g( a)
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Uwaga: Twierdzenie to jest prawdziwe zarówno dla g( b) > g( a) jak i w przypadku g( b) ¬
g( a). Jest też prawdziwe dla b ¬ a .
Uwaga: Całkowanie przez podstawienie jest prostsze dla całki Riemanna niż dla całki nie-oznaczonej ponieważ po podstawienie i zmianie granic całkowania nie musimy wracać do zmiennej x.
1
Z
6 x 2
Przykład: Obliczyć
x d x
x 3 + 1
0
Stosujemy podstawienie:
t = x 3 + 1
1
2
Z
6 x 2
d t = 3 x 2d x
Z
2
h
i2
x d x =
=
d t = 2 ln |t|
= 2 ln 2 − 2 ln 1 = 2 ln 2
x 3 + 1
x = 0 = ⇒ t = 1
t
1
0
1
x = 1 = ⇒ t = 2
Całkowanie przez części: Jeżeli f, g : < a , b >→ R są klasy C 1 to: b
b
Z
Z
h
i b
f ( x) · g0( x)d x = f ( x) · g( x)
−
f 0( x) · g( x)d x a
a
a
h
i b
Uwaga: Proszę pamiętać o granicach przy iloczynie funkcji: f ( x) · g( x)
.
a
1
Z
Przykład: Obliczyć
xex d x
0
Całkujemy przez części:
1
1
(
)
Z
f ( x) = x
g0( x) = ex
Z
h
h
xex d x =
= x · ex i1 −
1 · ex d x = e − 0 − ex i1 = e − ( e − 1) = 1
f 0( x) = 1 g( x) = ex 0
0
0
0
Całkowanie po przedziale symetrycznym:
Twierdzenie: Jeżeli f : < −a , a >→ R jest parzysta ( f ( −x) = f ( x)) to: a
a
Z
Z
f ( x)d x = 2 ·
f ( x)d x
−a
0
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Twierdzenie: Jeżeli f : < −a , a >→ R jest nieparzysta ( f ( −x) = −f ( x)) i istnieje całka a
Z
f ( x)d x to:
−a
a
Z
f ( x)d x = 0
−a
1
Z
sin x
Przykład: Obliczyć
d x
ex 2 + cos x
− 1
1
Funkcja f ( x) =
jest nieparzysta (na przedziale < − 1 , 1 > ) : ex 2 + cos x
sin( −x)
− sin x
f ( −x) =
=
= −f ( x)
e( −x)2 + cos( −x)
ex 2 + cos x
Funkcja ta jest ciągła, a więc jest całkowalna. Stąd: 1
Z
sin x
d x = 0
ex 2 + cos x
− 1
1
Z
Przykład: Obliczyć
(10 x 4 − 3 x 2)d x
− 1
Funkcja f ( x) = 10 x 4 − 3 x 2 jest parzysta (na przedziale < − 1 , 1 > ) : f ( −x) = 10( −x)4 − 3( −x)2 = 10 x 4 − 3 x 2 = f ( x). Stąd 1
1
Z
Z
h
(10 x 4 − 3 x 2)d x = 2
(10 x 4 − 3 x 2)d x = 2 2 x 5 − x 3i1 = 2 · (2 − 1) = 2
0
− 1
0
3
Z
Przykład: Obliczyć
(sin3 x + x 2)d x
− 3
Ponieważ funkcja sin3 x jest nieparzysta i ciągłą, a funkcja x 2 jest parzysta, więc: 3
3
3
3
Z
Z
Z
Z
h x 3 i3
(sin3 x + x 2)d x =
sin3 x d x +
x 2d x = 0 + 2
x 2d x = 2
= 2 · (9 − 0) = 18
3 0
− 3
− 3
− 3
0
Wartość średnia funkcji
Definicja wartości średniej: Jeżeli f : < a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy: b
1
Z
f =
f ( x)d x
b − a a
Uwaga 1: Jeżeli podzielimy przedział < a, b > na n równych części, obliczymy średnią arytmetyczną wartości funkcji w punktach podziału i przejdziemy do granicy n → ∞ to dostaniemy tak zdefiniowaną wartość średnią funkcji.
Uwaga 2: Jeżeli f > 0 to wartość średnia jest długością boku prostokąta o polu równym polu pod wykresem funkcji (podstawa jest taka sama - przedział < a, b > ).
Uwaga 3: Widać, że zachodzą nierówności: inf f ¬ f ¬ sup f .
<a,b>
<a,b>
Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f ( x) = x 2 na przedziale < 1 . 4 > 4
1
Z
1 h x 3 i4
f =
x 2d x =
= 7
4 − 1
3 3 1
1
Definicja wartości średniej ważonej: Jeżeli f, g : < a , b >→ R są całkowalne , funkcja b
Z
g 0 oraz
g( x)d x > 0 to wartością średnią funkcji f z wagą g na przedziale < a , b > a
nazywamy:
b
Z
f ( x) g( x)d x f = a
b
Z
g( x)d x
a
2
Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f ( x) = x z wagą g( x) = 1 na przedziale < 1 . 2 > x
2
Z
1
x ·
d x
x
f = 1 2
Z
1 d x
x
1
2
Z
1
h
i2
x ·
d x = x
= 1
x
1
1
2
Z
1
h
i2
d x = ln |x|
= ln 2
x
1
1
1
f = ln 2
Uwaga: Widać, że zachodzą nierówności: inf f ¬ f ¬ sup f .
<a,b>
<a,b>
Definicja wartości średniej kwadratowej: Jeżeli f : < a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią kwadratową funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy: q
fsk =
f 2
Przykład: Obliczyć wartość średnią kwadratową funkcji f ( x) = cos x na przedziale
< 0 , 2 π >
2 π
2 π
1
Z
1 Z 1 + cos 2 x
1 h
sin 2 x i2 π
1
( fsk)2 =
cos2 x d x =
d x =
x +
=
2 π − 0
2 π
2
4 π
2
0
2
0
0
q
f
1
sk =
2
Zastosowanie: Napięcie prądu zmiennego jest równe U ( t) = U 0 cos( ωt) . Napięciem sku-U 0
tecznym nazywamy średnią kwadratową napięcia po pełnym okresie. Stąd U
√
sk =
2
Twierdzenie o wartości średniej: Jeżeli f : < a , b >→ R jest ciągła to istnieje c ∈ ( a, b) takie, że f ( c) = f
3