SIMR 2011/12, Analiza Zespolona, Przykładowe zadania do kolokwium 2
Zadanie 1: Rozwiązać równanie różniczkowe: y00 + 4 y = 26 e 3 t , y(0) = − 1 , y0(0) = 10
Obliczamy transformatę Laplace’a obu stron równania. Oznaczmy L {y( t) } = Y ( s) . Wtedy L {y0( t) } = sY ( s) − y(0+) = sY ( s) + 1
L {y00( t) } = s 2 Y ( s) − sy(0+) − y0(0+) = s 2 Y ( s) + s − 10
1
L {e 3 t} = s − 3
Dostajemy równanie:
26
s 2 Y ( s) + s − 10 + 4 Y ( s) = s − 3
rozwiązujemy równanie:
26
( s 2 + 4) Y ( s) =
− s + 10
s − 3
26 + ( −s + 10)( s − 3)
−s 2 + 13 s − 4
( s 2 + 4) Y ( s) =
=
s − 3
s − 3
−s 2 + 13 s − 4
Y ( s) = ( s − 3)( s 2 + 4) Szukane rozwiązanie jest transformatą odwrotną Laplace’a : y( t) = L − 1 {Y ( s) }
−s 2 + 13 s − 4
y( t) = L − 1 {
}
( s − 3)( s 2 + 4)
−s 2 + 13 s − 4
A
Bs + C
=
+
( s − 3)( s 2 + 4)
s − 3
s 2 + 4
−s 2 + 13 s − 4 = A( s 2 + 4) + ( Bs + C)( s − 3) 26 = 13 A
podstawiamy s = 3
A = 2
− 4 = 4 A − 3 C = ⇒ − 4 = 8 − 3 C = ⇒ C = 4
podstawiamy s = 0
8 = 5 A − 2 B − 2 C = ⇒ 8 = 10 − 2 B − 8 = ⇒ B = − 3
podstawiamy s = 1
stąd:
1
s
1
y( t) = 2L − 1 {
} − 3L − 1 {
} + 4L − 1 {
} = 2 e 3 t − 3 cos 2 t + 2 sin 2 t s − 3
s 2 + 4
s 2 + 4
Zadanie 2: Rozwiązać równanie całkowe: t
Z
y( t) = et +
( t − u) y( u)d u , t > 0
0
Rozwiązanie:
Całka w równaniu jest splotem funkcji: t
Z
( t − u) y( u)d u = t ∗ y( t) 0
Obliczamy transformatę Laplace’a obu stron równania. Oznaczamy L {y( t) } = Y ( s) . Wtedy 1
L {t ∗ y( t) } = L {t) } · L {y( t) } =
· Y ( s)
s 2
1
L {et} = s − 1
Dostajemy równanie:
1
Y ( s)
Y ( s) =
+
s − 1
s 2
rozwiązujemy równanie:
1
1
(1 −
) Y ( s) =
s 2
s − 1
1
Y ( s) =
s 2
s − 1
s 2
Y ( s) = ( s − 1)( s 2 − 1) Szukane rozwiązanie jest transformatą odwrotną Laplace’a : y( t) = L − 1 {Y ( s) }
(
s 2
)
y( t) = L − 1
( s − 1)( s 2 − 1) Rozkładamy funkcję Y ( s) na ułamki proste: ( s − 1)( s 2 − 1) = ( s − 1)( s − 1)( s + 1) = ( s − 1)2( s + 1) rozkładamy mianownik na czynniki s 2
A
B
C
=
+
+
( s − 1)2( s + 1)
s − 1
( s − 1)2
s + 1
s 2 = A( s − 1)( s + 1) + B( s + 1) + C( s − 1)2
1 = 2 B = ⇒ B = 1
podstawiamy s = 1
2
1 = 4 C = ⇒ C = 1
podstawiamy s = − 1
4
0 = −A + B + C
podstawiamy s = 0
0 = −A + 1 + 1 = ⇒ A = 3
2
4
4
stąd:
1
1
1
1
1
3
1
1
y( t) = 3 L − 1 {
} + L − 1 {
} + L − 1 {
} =
et +
tet +
e−t
4
s − 1
2
( s − 1)2
4
s + 1
4
2
4