Wykªad 9
Funkcjonaªy liniowe c.d.
Przykªady funkcjonaªów liniowych oraz przestrzeni sprz¦»onych Przykªady
1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ sko«czenie wymiarow¡, dim V = n, a B = {¯e1, ..., ¯en}
jej baz¡ Hamela. Mówili±my na wykªadzie z algebry liniowej, »e ka»dy funkcjonaª
liniowy na V jest postaci
n
n
X
X
F (¯
v) =
αivi
gdzie ¯v = (v1, ..., vn) =
vi¯
ei.
i=1
i=1
W szczególno±ci funkcjonaª liniowy jest jednoznacznie zadany przez swoje warto±ci na bazie B: αi = F (¯ei). Mo»na pokaza¢, »e ka»dy funkcjonaª liniowy na sko«czenie wymiarowej przestrzeni jest ci¡gªy. Istotnie, n
n
X
X
kF (x)k =
|αixi| ≤ sup |αi|
|xi| = sup |αi|kxk.
i=1,...,n
i=1,...,n
i=1
i=1
Zatem funkcjonaªy liniowe ograniczone tworz¡ przestrze« n-wymiarow¡. Wszystkie przestrzenie n-wymiarowe s¡ algebraicznie izomorczne, a wszystkie normy na przestrzeni n-wymiarowej s¡ równowa»ne. Mo»emy wi¦c okre±li¢ przeksztaªcenie V → V ∗
przypisuj¡ce elementowi ¯w = (α1, ..., αn) funkcjonaª F (¯v) = Pn α
i=1
ivi i oka»e si¦,
»e to jest homeomorzm, co oznacza, »e V ∗ jest (topologicznie) izomorczna z V .
Przymykaj¡c oko mo»na powiedzie¢, »e V jest sprz¦»ona sama do siebie, tzn. V = V ∗, gdzie przez = rozumiemy równo±¢ z dokªadno±ci¡ do izomorzmu.
2. Podobnie mo»na pokaza¢, »e wszystkie funkcjonaªy na l1 s¡ postaci
∞
X
F (x) =
αnxn
gdzie x = (xn)n∈ ,
N
n=1
a (αn)n∈ jest ci¡giem ograniczonym (znów α
N
n s¡ warto±ciami F na bazie standar-
dowej ¯ei = (0, ..., 0, 1, 0, ...)). Na odwrót, ka»dy ci¡g ograniczony (αn)n∈ deniuje N
funkcjonaª liniowy na l1 powy»szym wzorem. Jest to funkcjonaª ograniczony, bo
∞
∞
X
X
kF (x)k =
|αnxn| ≤ sup |αn|
|xn| = sup |αn|kxk.
n=1
n∈N
n=1
n∈N
St¡d kF k ≤ sup
|
n∈
α
N
n|. W istocie zachodzi nawet równo±¢.
Deniuj¡c homeomorzm podobnie jak w poprzednim przykªadzie uzyskujemy l1∗ = l∞.
Uwaga. l∞∗ zawiera l1, ale nie ma równo±ci. S¡ jeszcze inne funkcjonaªy ograniczone na l∞ i» te zadane przez ci¡gi sumowalne.
1
3. Mo»na pokaza¢, »e dla kazdego p > 1 zachodzi lp∗ = lq, gdzie 1 + 1 = 1. Równie» dla p
q
przestrzeni funkcyjnych mamy L1(µ)∗ = L∞(µ), Lp(µ)∗ = Lq(µ), gdzie 1 + 1 = 1.
p
q
4. Przykªad funkcjonaªu na C ([0, 1]): niech g : [0, 1] →
R
R b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡.
Deniujemy
Z
1
F (f ) =
f (t)g(t) dt.
0
atwo pokaza¢, »e F jest liniowy, a ci¡gªo±¢ wynika z rachunku: Z 1
Z
1
|F (f )| =
f (t)g(t) dt ≤
|f (t)g(t)| dt
0
0
Z
1
≤
g(t) · sup |f (t)| dt = kf k∞ · kgk1.
0
t
St¡d w szczególno±ci, kF k ≤ kgk1 (w istocie zachodzi nawet równo±¢).
2