Šukasz Czech

6 maja 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 23

Zadanie 1 Znajd¹ U

1

+ U

2

, je»eli:

a) U

1

=

lin((1, 1)), U

2

=

lin((1, −1));

b) U

1

=

lin((1, 1, −1, −1), (−2, −1, 0, 2)), U

2

=

lin((2, 2, −1, 0), (−1, −2, −3, −4));

c) U

1

= {t(−1, 1, 0, 0) + s(0, 0, 1, −1)}

, U

2

= {p(−1, 1, −1, 1) + q(1, 0, 0, 1)}

;

d) U

1

= {(x, y, z) : z = 0}

, U

2

= {(x, y, z) : x + y = 0, x + z = 0}

.

Zadanie 2 Niech U = lin((0, 1, 1), (0, 1, 0)), V = lin((1, 1, 1)), W = lin((1, 0, 1)). Czy
R

3

= U + V + W

? Czy R

3

= U ⊕ V ⊕ W

? Znajd¹ U ∩ V ∩ W , U ∩ V , U ∩ W oraz V ∩ W .

Zadanie 3 Udowodnij, »e je»eli U ∩ V = {0} oraz (U + V ) ∩ W = {0}, to U + V + W =
U ⊕ V ⊕ W

.

Zadanie 4 W przestrzeni R

4

dana jest baza (e

1

, e

2

, e

3

, e

4

)

. Niech V

1

=

lin(e

1

, e

1

+ e

2

)

,

V

2

=

lin(e

1

+ e

2

+ e

3

+ e

4

, e

3

)

oraz V

3

=

lin(e

2

+ e

3

, e

4

)

. Udowodnij, »e R

4

= V

1

⊕ V

2

=

V

1

⊕ V

3

= V

2

⊕ V

3

.

Zadanie 5 Rozªó» R

3

na sum¦ prost¡ U ⊕ V tak, aby U = lin((1, 2, −1), (−1, 1, 2)).

Zadanie 6 Niech f, g : U → V . Udowodnij, »e Im(f + g) ⊂ Imf+ Img.

Zadanie 7 Sprawd¹, czy (U

1

+ . . . + U

k

) ∩ V = (U

1

∩ V ) + . . . + (U

k

∩ V )

. Odpowied¹

uzasadnij.

Zadanie 8

a) Niech R

n

= U ⊕ W

. Niezerowe wektory u

1

, . . . , u

k

∈ U

oraz w

1

, . . . , w

l

∈ W

. Udowod-

ni¢:
(u

1

, . . . , u

k

, w

1

, . . . , w

l

)

baza U ⊕ W

⇔

(u

1

, . . . , u

k

)

baza U i (w

1

, . . . , w

l

)

baza

W

.

b) Czy U + W = U ⊕ W je»eli U = lin((1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)), W = lin((0, −1, 1, 1),

(1, 0, 0, 0), (1, −1, 1, 1))

.