© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
TERMODYNAMIKA PROCESOWA I
TECHNICZNA
Wykład III
Proste przemiany termodynamiczne
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
TERMODYNAMIKA PROCESOWA I
TECHNICZNA
Wykład III
Proste przemiany termodynamiczne
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
Proste przemiany termodynamiczne
Spośród bardzo wielu możliwych przemian termodynamicznych szczególną
rolę odgrywają przemiany spełniające pewien prosty warunek. Warunek
ten najczęściej określa stałość określonego parametru lub funkcji stanu.
W nazwie stałość ta jest opisana za pomocą przedrostka „izo”.
Mamy zatem następujące przemiany proste:
1. Przemiana izochoryczna – V=const.
2. Przemiana izobaryczna – p=const.
3. Przemiana izotermiczna – T=const.
4. Przemiana izentropowa – S=const. (przemiana adiabatyczna)
5. Przemiana politropowa – C=const.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
Proste przemiany termodynamiczne
Teraz omówimy po kolei poszczególne przemiany.
Przemiany te będziemy ilustrować wykresami
w układzie p – v tzn. ciśnienie – objętość właściwa
oraz w układzie T – s tzn. temperatura - entropia właściwa.
Będziemy zakładać że przemiany zachodzą
w układach zamkniętych czyli n=const.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna
.)
(
0
0
.
1
2
1
2
const
n
dla
v
v
dv
V
V
dV
const
V
Przemiana izochoryczna odbywa się przy stałej objętości:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna
.
0
0
0
0
v
const
dv
w
pdv
w
w
p
v
w
t
v=const.
p
1
,T
1
p
2
,T
2
Praca objętościowa w przemianie
izochorycznej jest równa 0.
)
(
2
1
2
1
p
p
v
w
vdp
w
vdp
w
t
p
p
t
t
Wartość pracy technicznej przemiany izochorycznej
jest równa polu zakreskowanego prostokąta.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
du
q
w
w
q
du
0
Rozpatrzmy teraz pojemność cieplną układu podczas przemiany
izochorycznej. Na mocy I zasady termodynamiki dla różniczkowej
przemiany można napisać:
Przypomnijmy teraz definicję właściwej pojemności cieplnej dla
rozważanej przemiany:
v
v
v
const
v
const
v
v
const
v
T
u
c
T
u
dT
du
dT
q
c
c
.
.
.
)
(
Wzór powyższy dowodzi, że pojemność cieplna w przemianie izochorycznej
jest pochodną funkcji stanu a zatem również jest funkcją stanu.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
2
1
)
(
)
(
)
(
.
.
T
T
v
const
v
v
const
v
dT
T
c
q
dT
c
q
(
)
( )
4.15723
[
/ (
)]
:
2
GD
v
k
c
R
k kJ
kmol K
gdzie
atomowych
gazów
dla
k
1
3
Wielkość c
v
zależy od temperatury, ciśnienia i rodzaju ośrodka. Zależność
od temperatury pozwala na wyznaczenie ciepła przemiany izochorycznej:
Dla gazów doskonałych, z teorii kinetycznej wynika że wielkość c
v
powinna
być stała i równa:
atomowych
gazów
dla
k
2
5
wych
wieloatomo
gazów
dla
k
6
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna gazu doskonałego
2
2
2
2
1
1
1
1
RT
v
p
v
p
RT
v
p
v
p
1
)
(
1
)
(
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
1
2
1
)
(
1
1
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
)
(
.
2
1
p
p
T
c
q
p
p
T
c
T
T
p
p
c
T
T
c
dT
c
q
GD
v
GD
const
v
GD
v
GD
v
GD
v
T
T
GD
v
GD
const
v
Rozpatrzmy jeszcze dokładniej przemianę izochoryczną gazów doskonałych.
W każdy punkcie takiej przemiany musi być spełnione równanie stanu gazu
doskonałego. Dla punktu początkowego i końcowego mamy:
Dzieląc stronami otrzymujemy tzw. równanie
przemiany izochorycznej uzależniające ciśnienie
i temperaturę w skrajnych punktach przemiany:
Dla gazów doskonałych również wzór określający ciepło ma prostą postać:
1
2
1
2
T
T
p
p
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
)
(
.
.
.
.
.
p
p
T
c
q
u
q
u
du
dq
GD
v
GD
const
v
GD
const
v
const
v
const
v
const
v
const
v
Na koniec określimy wzory określające przyrosty (zmiany) najważniejszych
funkcji stanu w przemianie izochorycznej gazów doskonałych.
a) Energia wewnętrzna – u.
Na podstawie I zasady termodynamiki mamy:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
)
(
2
1
1
1
1
2
1
)
(
2
1
1
2
1
)
(
)
(
.
)
(
.
)
(
.
.
.
.
p
p
T
R
c
p
p
p
RT
p
p
T
c
p
p
v
p
p
T
c
w
q
h
vdp
dT
c
w
q
dh
w
q
h
w
q
dh
GD
v
GD
v
GD
v
GD
const
v
t
GD
const
v
GD
const
v
v
const
v
t
const
v
const
v
t
t
b) Entalpia – h.
Na podstawie I zasady termodynamiki mamy:
1
)
(
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
p
p
T
R
c
h
GD
v
GD
const
v
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
1
2
)
(
)
(
)
(
.
.
.
.
ln
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
T
T
c
dT
T
c
s
dT
T
T
c
s
T
dT
c
T
q
ds
GD
v
T
T
GD
v
GD
const
v
T
T
v
const
v
v
const
v
const
v
c) Entropia – s.
Przy założeniu, że nasza przemiana izochoryczna jest odwracalna
można napisać:
Wzór powyższy określający przyrost entropii w przemianie izochorycznej
gazu doskonałego można przekształcić otrzymując zależność temperatury
od entropii. Zależność taką można wykorzystać przy konstrukcji wykresu
przemiany w układzie T – s.
)
(
1
2
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
.
1
2
exp
)
(
ln
GD
v
GD
v
GD
v
GD
const
v
c
s
s
T
T
c
s
s
c
s
T
T
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izochoryczna cd.
2
1
.
)
(
s
s
const
v
Tds
q
T
s
1
2
s
1
s
2
v
v
const
v
c
T
ds
dT
Tds
dT
c
q
.
)
(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna
1
2
0
.
p
p
dp
const
p
.
0
0
0
t
t
p
const
dp
w
vdp
w
Przemiana izobaryczna odbywa się przy stałym ciśnieniu:
Praca techniczna w przemianie izobarycznej jest równa 0.
0
t
w
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna
p
v
p=const.
v
1
,T
1
v
2
,T
2
2
1
v
v
w
pdv
w
pdv
Praca objętościowa przemiany
izobarycznej jest równa polu
zakreskowanego prostokąta.
w
Pracę objętościową w naszej przemianie obliczymy na podstawie
elementarnego wzoru:
2
1
(
)
w
p v
v
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
dh
q
w
w
q
dh
t
t
0
Rozpatrzmy teraz pojemność cieplną układu podczas przemiany
izobarycznej. Na mocy I zasady termodynamiki dla różniczkowej
przemiany można napisać:
Przypomnijmy teraz definicję właściwej pojemności cieplnej dla
rozważanej przemiany:
p
p
p
const
p
const
p
p
const
p
T
h
c
T
h
dT
dh
dT
q
c
c
.
.
.
)
(
Wzór powyższy dowodzi, że pojemność cieplna w przemianie izobarycznej
jest pochodną funkcji stanu (entalpii) a zatem również jest funkcją stanu.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
2
1
)
(
)
(
)
(
.
.
T
T
p
const
p
p
const
p
dT
T
c
q
dT
c
q
Wielkość c
p
zależy od temperatury, ciśnienia i rodzaju ośrodka. Zależność
od temperatury pozwala na wyznaczenie ciepła przemiany izobarycznej:
Dla gazów doskonałych, z teorii kinetycznej wynika że wielkość c
p
powinna
być stała i równa:
wych
wieloatomo
gazów
dla
k
atomowych
gazów
dla
k
atomowych
gazów
dla
k
gdzie
R
k
R
c
c
GD
v
GD
p
6
2
5
1
3
:
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
2
2
2
2
1
1
1
1
RT
pv
v
p
RT
pv
v
p
1
)
(
1
)
(
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
1
2
1
)
(
1
1
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
)
(
.
2
1
v
v
T
c
q
v
v
T
c
T
T
v
v
c
T
T
c
dT
c
q
GD
p
GD
const
p
GD
p
GD
p
GD
p
T
T
GD
p
GD
const
p
Rozpatrzmy jeszcze dokładniej przemianę izobaryczną gazów doskonałych.
W każdy punkcie takiej przemiany musi być spełnione równanie stanu gazu
doskonałego. Dla punku początkowego i końcowego mamy:
Dzieląc stronami otrzymujemy tzw. równanie
przemiany izobarycznej uzależniające objętość
i temperaturę w skrajnych punktach przemiany:
Dla gazów doskonałych również wzór określający ciepło ma prostą postać:
1
2
1
2
T
T
v
v
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
.
.
.
(
)
(
)
(
)
p const
p const
p const
p
du
q
w
u
q
w
du
q
w
c dT
pdv
Na koniec określimy wzory określające przyrosty (zmiany) najważniejszych
funkcji stanu w przemianie izobarycznej gazów doskonałych.
a) Energia wewnętrzna – u.
Na podstawie I zasady termodynamiki mamy:
Dla przemiany całkowej dowolnego ośrodka należy wzór powyższy
scałkować w odpowiednich granicach:
2
2
1
1
.
(
)
( )
( )
T
v
p const
p
T
v
u
c T dT
p v dv
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
.
.
.
1
2
1
1
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
(
)
( )
( )
1
(
)
1
(
)
(
)
1
GD
GD
GD
GD
p const
p const
p const
p
GD
GD
p
p
v
u
q
w
c
T
p v
v
v
v
RT
v
c
T
v
v
c
R T
v
v
v
Dla gazów doskonałych wzór ten przybiera stosunkowo prostą postać:
1
1
)
(
)
(
1
2
1
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
v
v
T
c
v
v
T
R
c
u
GD
v
GD
p
GD
const
p
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
)
(
)
(
.
)
(
.
.
.
.
.
v
v
T
c
q
h
q
h
dh
q
GD
p
GD
const
p
GD
const
p
const
p
const
p
const
p
const
p
b) Entalpia – h:
Na podstawie I zasady termodynamiki mamy:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przemiana izobaryczna cd.
1
2
)
(
)
(
)
(
.
.
.
.
ln
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
T
T
c
dT
T
c
s
dT
T
T
c
s
T
dT
c
T
q
ds
GD
p
T
T
GD
p
GD
const
p
T
T
p
const
p
p
const
p
const
p
c) Entropia – s.
Przy założeniu, że nasza przemiana izobaryczna jest odwracalna
można napisać:
Wzór powyższy określający przyrost entropii w przemianie izobarycznej
gazu doskonałego można przekształcić otrzymując zależność temperatury
od entropii. Zależność taką można wykorzystać przy konstrukcji wykresu
przemiany w układzie T – s.
)
(
1
2
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
.
1
2
exp
)
(
ln
GD
p
GD
p
GD
p
GD
const
p
c
s
s
T
T
c
s
s
c
s
T
T
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
1
.
)
(
s
s
const
p
Tds
q
T
s
1
2
s
1
s
2
p
p
const
p
c
T
ds
dT
Tds
dT
c
q
.
)
(
v=const.
Przemiana izobaryczna cd.
Ale c
p
=c
v
+R>cv
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
23
Zależności między parametrami
i funkcjami stanu
Na pierwszym wykładzie przedstawiłem Państwu listę 8 wielkości określonych
jak parametry lub funkcje stanu: T, p, V, U, H, S, A i G. Przy omawianiu przemian
izochorycznej i izobarycznej stwierdziliśmy, że również pojemności cieplne przy
stałej objętości i pod stałym ciśnieniem C
v
i C
p
również są funkcjami stanu.
Mamy zatem już 10 parametrów i funkcji stanu.
Oczywiście parametry rozpatrywane dla konkretnego układu nie są od siebie
niezależne. Dla układów zamkniętych minimalną liczbę niezależnych parametrów
stanu określa tzw. reguła Duhema mówiąca, że do określenia stanu
układu zamkniętego o określonym składzie wystarczy 2 parametry.
Należy więc wybrać dwie wielkości, które będziemy nazywać parametrami stanu,
natomiast wszystkie pozostałe będą funkcjami tych wybranych i będziemy je
nazywać funkcjami stanu.
Jako parametry najczęściej wybierane są mierzalne wielkości intensywne:
temperatura T, ciśnienie p i objętość właściwa v.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
24
Właściwości cieplne gazów
doskonałych
dT
T
u
dv
v
u
du
T
v
f
u
GD
v
GD
T
GD
GD
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
W ogólnym przypadku zarówno energia wewnętrzna jak i entalpia są
funkcjami stanu. Dla układów zamkniętych gazu doskonałego można
napisać:
dT
T
h
dp
p
h
dh
T
p
f
h
GD
v
GD
T
GD
GD
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
5
Właściwości cieplne gazów
doskonałych
dT
c
dT
T
u
du
v
GD
v
GD
)
(
)
(
Uwzględniając wzory określające c
v
i c
p
otrzymujemy:
dT
c
dT
T
h
dh
p
GD
v
GD
)
(
)
(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
26
Własności cieplne gazów
doskonałych
Czyli:
dT
c
dh
dT
c
du
p
GD
v
GD
)
(
)
(
Wzory powyższe obowiązują dla dowolnej różniczkowej przemiany
gazu doskonałego.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
27
To tyle na dzisiaj
Dziękuję Państwu za uwagę