1

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

EKONOMETRIA

Wykład 5: Dynamiczne modele ekonometryczne.

dr Dorota Ciołek

Katedra Ekonometrii

Wydział Zarządzania UG

http://wzr.pl/dc

[e-mail]

2

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Dynamiczny model ekonometryczny

Modele statyczne opisują relację miedzy zmienną

endogeniczną

y

t

a zmiennymi egzogenicznymi

x

w tym

samym okresie czasu – natychmiastowa reakcja zmiennej

y

t

na zmianę zmiennej

x

.

W rzeczywistości gospodarczej spotykamy się z różnego typu

odroczonymi w czasie reakcjami pomiędzy zmiennymi
ekonomicznymi.

Model dynamiczny - w zbiorze zmiennych objaśniających

występują opóźnione zmienne endogeniczne, opóźnione
zmienne egzogeniczne lub zmienna czasowa

t

.

Nie wszystkie wymienione kategorie zmiennych muszą
występować jednocześnie.

3

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Rodzaje modeli dynamicznych

1. Model tendencji rozwojowej:

w roli zmiennej objaśniającej występuje zmienna czasowa t –

trend deterministyczny.

2. Model z rozłożonymi opóźnieniami

DL(q)

(ang.

distributed lags model)

(np. z jedną zmienną egzogeniczne):

opisuje zależność zmiennej endogenicznej

y

t

od bieżących i

przeszłych zmian zmiennej (zmiennych) egzogenicznych

x

.

t

t

t

t

y

















2

2

1

0

t

q

t

q

t

t

t

t

x

x

x

x

y

































...

2

2

1

1

0

0

4

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Rodzaje modeli dynamicznych

3. Model autoregresyjny

AR(p)

:

bieżące wartości zmiennej

y

zależą od realizacji tej zmiennej w

przeszłości.

4. Model autoregresejnymi z rozłożonymi opóźnieniami

ADL(p,q)

:

w roli zmiennych objaśniających występuje zmienna endogeniczna z

okresów poprzednich oraz zmienna egzogeniczna z tego samego
okresu i z okresów poprzednich.

t

p

t

p

t

t

t

y

y

y

y





























...

2

2

1

1

0

t

q

t

q

t

t

t

p

t

p

t

t

t

x

x

x

x

y

y

y

y























































...

...

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

5

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Interpretacja w modelach dynamicznych

Modele dynamiczne nie mogą być interpretowane w taki sam

sposób jak modele statyczne.

Przeprowadza się tzw. analizę mnożnikową:

-

mnożnik natychmiastowy,

-

mnożniki opóźnione indywidualne,

-

mnożniki opóźnione skumulowane,

-

mnożnik długookresowy.

Analiza mnożnikowa opisuje zawsze wpływ zmiennej

egzogenicznej na zmienną endogeniczną.

Dla każdej zmiennej egzogenicznej wyznacza się oddzielną grupę

mnożników.

6

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Ogólny zapis modelu:

Parametry są indywidualnymi mnożnikami

opóźnionymi rzędu

i

.

Parametr nazywany jest mnożnikiem krótkookresowym

(natychmiastowym, bezpośrednim).

Informuje, o ile średnio zmieni się zmienna

y

w okresie bieżącym,

jeżeli zmienna

x

w tym samym okresie wzrośnie o jednostkę,

przy założeniu, że w pozostałych okresach wartość

x

nie

zmieniła się.

t

q

t

q

t

t

t

t

x

x

x

x

y

































...

2

2

1

1

0

0

)

...,

,

1

,

0

(

;

q

i

i





0



7

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik indywidualny opóźniony rzędu

i

:

określa, jak zmieni się zmienna

y

w okresie bieżącym jeżeli

i

okresów wcześniej (w okresie (

t - i

)) zmienna

x

wzrosła o

jednostkę i w kolejnych okresach powróciła do poprzedniego
poziomu.

Mnożnik skumulowany opóźniony rzędu

i

jest sumą

i

mnożników indywidualnych:

i



































i

j

i

i

j

i

s

s

s

s

s

s

s

0

1

2

1

2

1

0

2

1

0

1

0

1

0

0























8

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik skumulowany opóźniony rzędu

i

:

określa, jak zmieni się zmienna

y

w okresie bieżącym jeżeli

i

okresów wcześniej (w okresie (

t - i

)) zmienna

x

wzrosła o

jednostkę i w kolejnych okresach utrzymała się na nowym
poziomie (utrwalona zmiana zmiennej egzogenicznej).

Do wszystkich interpretacji mnożników:

Jeżeli w modelu występuje więcej zmiennych egzogenicznych w
interpretacji musimy dodać założenie, że w tym samym czasie
pozostałe zmienne pozostaną na niezmienionym poziomie.

i

s

9

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model z rozłożonymi opóźnieniami

W długim okresie relacje ekonomiczne dążą do stanu równowagi,

w którym wartości zmiennych ustalają się na pewnym stałym
poziomie, który możemy określić, jako:

wówczas model:

możemy zapisać jako:

czyli:

)

(

...

)

(

)

(

1

q

t

t

t

x

E

x

E

x

E

x













t

q

t

q

t

t

t

t

x

x

x

x

y

































...

2

2

1

1

0

0



























x

x

x

x

y

q

...

2

1

0

0



























x

y

q

)

...

(

2

1

0

0

10

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik długookresowy – parametr równowagi długookresowej:

Jeśli długookresowy poziom zmiennej egzogenicznej

x

wzrasta o

jednostkę, to odpowiada temu zmiana długookresowego poziomu
zmiennej endogenicznej

y

o

δ

jednostek.

Relacja długookresowa – długookresowa postać modelu:

Podstawowy problem w modelach

DL

polega na ustaleniu

właściwego stopnia maksymalnego opóźnienia w modelu – czyli
określenie rzędu

q

.







q

i

i

0

















x

y

0

11

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami
ADL(p, q):

ADL(1, 0):

Jeżeli model określimy jako stacjonarny.

Interpretacja modelu polega na wyliczeniu mnożników.

t

q

t

q

t

t

t

p

t

p

t

t

t

x

x

x

x

y

y

y

y























































...

...

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

1

|

|

1





)

,....,

2

(

;

0

1

1

0

T

t

x

y

y

t

t

t

t





















12

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik krótkookresowy:

Pokazuje jak w bieżącym okresie zmienna endogeniczna zależy od

jednostkowej zmiany zmiennej egzogenicznej, przy założeniu
stałości pozostałych czynników.

Mnożniki indywidualne opóźnione:

mnożnik

i

-tego rzędu.

Jeżeli w okresie

t - i

(

i

okresów przed okresem bieżącym) zmienna

x

wzrośnie o jednostkę i w kolejnych okresach powróci do

poprzedniego poziomu, to zmienna endogeniczna

y

w okresie

bieżącym będzie wyższa o

π

i

jednostek.

0

0







0

1







i

i



13

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożniki skumulowane opóźnione:

Jeżeli w okresie

t - i

(

i

okresów przed okresem bieżącym) zmienna

x

wzrośnie o jednostkę i w kolejnych okresach utrzyma się na

tym nowym poziomie, to zmienna endogeniczna

y

w okresie

bieżącym będzie wyższa o

π

i

jednostek.

















i

j

j

i

i

s

0

2

1

0













14

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

Zakładamy, że istnienie równowaga długookresowa, czyli:

Model

ADL(1,0)

zapiszemy następująco:

zatem:

 

 





1









t

t

t

y

E

y

E

y

x

E

x

















x

y

y

0

1

0

















x

y

0

0

1

)

1

(













1

1

0

1

0

1

1

1

1













x

y

15

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

Długookresowa postać modelu – relacja długookresowa:

Długookresowy wyraz wolny:

Mnożnik długookresowy:

Jeśli długookresowy poziom zmiennej egzogenicznej

x

wzrasta o

jednostkę, to odpowiada temu zmiana długookresowego poziomu
zmiennej endogenicznej

y

o

δ

jednostek.

*

*

0













x

y

1

0

1











1

0

*

0

1











16

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami
ADL(1, 1):

Mnożnik krótkookresowy:

Mnożniki indywidualne opóźnione:

Mnożnik długookresowy:

)

,....,

2

(

;

1

1

0

1

1

0

T

t

x

x

y

y

t

t

t

t

t



























0

0







;

1

1

1

0

1

















i

i

i

1

1

0

1















17

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Celem badania jest analiza konsumpcji globalnej w Polsce w

latach 1970-2000. Znane są wartości konsumpcji globalnej
(w mld $) oraz dochodu globalnego (w mld $) w tych latach.
Dane pochodzą z Penn World Tables i wyrażone są w cenach
stałych z roku 1996. W badaniu opieramy się na ekonomicznej
teorii konsumpcji: C = f (Y).

18

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Model makroekonomicznej funkcji konsumpcji wynikający z teorii

trwałego dochodu (teorii permanentnego dochodu):

Przy pomocy MNK oszacowano parametry strukturalne powyżego

modelu dla 31 obserwacji rocznych z okresu 1970-2000:

Wyznaczone zostały również następujące miary i statystyki testów:

JB = 4,56 [0,522]

W = 3,52 [0,080]

DW = 1,4597

t

t

t

t

C

Y

C

















 1

2

1

0

t

t

t

t

C

Y

C



ˆ

70360

,

0

2398

,

0

7334

,

9

1

)

09078

,

0

(

)

0794

,

0

(

)

574

,

13

(



















944

,

0

2



R

939

,

0

2



R

29

,

12

ˆ 





92

,

221



C

%

538

,

5

100

92

,

221

29

,

12

%

100

ˆ











C

V







19

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Badanie autokorelacji składników losowych:
Test h-Durbina:

czyli

Wartość krytyczna:











0

:

0

:

1

1

0





A

H

H

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

1

2

1

1







T

T

h









1

ˆ

1

2







DW

27015

,

0

2

4597

,

1

1

2

1

ˆ

1











DW



 

00824

,

0

)

09078

,

0

(

ˆ

ˆ

2

1

2









74

,

1

00824

,

0

31

1

31

27015

,

0









h

96

,

1

05

,

0



z

z



20

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Mnożnik krótkookresowy:

Mnożniki indywidualne opóźnione:

Mnożniki skumulowane opóźnione:

2398

,

0

0





1687

,

0

7036

,

0

2398

,

0

1









1187

,

0

7036

,

0

2398

,

0

2

2









0838

,

0

7036

,

0

2398

,

0

3

3









2398

,

0

0

0







s

4085

,

0

1687

,

0

2398

,

0

1







s

5272

,

0

1187

,

0

1687

,

0

2398

,

0

2









s

611

,

0

0838

,

0

1187

,

0

1687

,

0

2398

,

0

3











s

21

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Postać długookresowa modelu:

Mnożnik długookresowy:

Model jest stacjonarny, ponieważ .

*

1

0

1

0

1

1





















Y

C

*

7036

,

0

1

2398

,

0

7036

,

0

1

7334

,

9















Y

C

*

809

,

0

8387

,

32













Y

C

809

,

0





1

ˆ

1





22

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 5

Na co należy zwrócić szczególną uwagę (podsumowanie):



Kiedy model ekonometryczny jest modelem dynamicznym?



Jakie mamy rodzaje modeli dynamicznych?



Jak interpretuje się wpływ zmiennej objaśniającej na

objaśnianą w modelach dynamicznych?



Wymień rodzaje mnożników i wyjaśnij w jaki sposób je

interpretujemy.



Co to jest postać długookresowa modelu?



Jak w modelach dynamicznych weryfikujemy hipotezę o braku

autokorelacji zakłóceń losowych?