1

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

EKONOMETRIA

Wykład 7: Liniowe modele decyzyjne.

dr Dorota Ciołek

Katedra Ekonometrii

Wydział Zarządzania UG

http://wzr.pl/dc

[e-mail]

2

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Badania operacyjne

Nauka wykorzystująca modelowanie matematyczne do

wspierania procesu podejmowania decyzji, przede
wszystkim w zarządzaniu.

Wspieranie podejmowania decyzji oparte jest na zasadach

racjonalnego działania:

zasada największego efektu – przy danych

nakładach środków osiągnąć maksymalny efekt,
zasada najmniejszych nakładów środków – określony
efekt osiągnąć najmniejszymi nakładami środków.

Strategia działania – metoda postępowania przynosząca

określony efekt.

Decydent – osoba podejmująca decyzję o wyborze strategii i

ponosząca odpowiedzialność za efekty realizacji.

3

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Badania operacyjne

Zastosowania:
- Wojskowość - rozmieszczenie systemów obrony, analiza

niezawodności sprzętu wojskowego, poszukiwanie i
udzielanie pomocy, symulacja gier wojennych.

- Decyzje dotyczące produkcji – wybór optymalnego

asortymentu produkcji, sterowanie zapasami, zarządzanie
jakością.

- Marketing - wybór mediów w kampanii reklamowej, ocena

konkurencyjności strategii marketingowych, przydział
personelu do sprzedaży, umiejscowienie centrów
dystrybucji, prognozowanie sprzedaży.

- Analiza (zarządzanie) portfelem papierów wartościowych
-

Planowanie diety.

- Zarządzanie personelem.

4

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Metody badań operacyjnych



Programowanie liniowe,



Programowanie całkowitoliczbowe,



Zagadnienia transportowe,



Zagadnienia przydziału,



Programowanie nieliniowe,



Programowanie wielokryterialne,



Programowanie dynamiczne,



Programowanie sieciowe,



Teoria masowej obsługi,



Itd..

5

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Linowy model decyzyjny

Model decyzyjny – matematyczny zapis sytuacji decyzyjnej.

Na model decyzyjny składają się:



jednoznacznie zdefiniowane zmienne decyzyjne –
informują, o czym powinien zdecydować decydent,



warunki ograniczające (warunki wewnętrznej zgodności)
– odzwierciedlają ograniczoność zasobów lub minimalne
wymagania, które należy spełnić,



funkcja kryterium (funkcja celu) – definiuje cel, który
przyświeca decydentowi – np. maksymalizacja zysku
(przychodu) lub minimalizacja kosztów,



warunki nieujemności (warunki brzegowe) – ograniczają
zbiór dopuszczalnych rozwiązań zmiennych decyzyjnych do
liczb nieujemnych.

6

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego

Rozwiązanie modelu decyzyjnego polega na znalezieniu

rozwiązania optymalnego, czyli najlepszego z punktu
widzenia określonego celu, możliwego do uzyskania w danych
okolicznościach (przy danych ograniczeniach).

Rozwiązanie dopuszczalne – takie wartości zmiennych

decyzyjnych, które możliwe są do uzyskania przy danych
ograniczeniach.

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych – obszar (lub przestrzeń) do

którego należą wszystkie punkty (kombinacje zmiennych
decyzyjnych), które spełniają wszystkie ograniczenia
równocześnie (warunki ograniczające i warunki brzegowe).

7

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego

Metody rozwiązywania:



metoda graficzne – tylko do modeli z dwiema zmiennymi

decyzyjnymi,



metoda simplex – metoda uniwersalna dla liniowych modeli

decyzyjnych.

Rozwiązanie metodą graficzną:

1) Szukamy obszaru rozwiązań dopuszczalnych – obszaru w którym

spełnione są wszystkie warunki ograniczające.

2) W wierzchołkach obszaru rozwiązań dopuszczalnych szukamy

rozwiązania najlepszego z punktu widzenia funkcji celu –

rozwiązanie optymalne.

Rozwiązanie optymalne reprezentuje taka kombinację zmiennych

decyzyjnych x

1

i x

2

, która daje optymalne, najlepsze z punktu

danego celu, rozwiązanie.

8

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

(A.C. Chiang „Podstawy ekonomii matematycznej”, PWE, Warszawa 1994)

Fabryka złożona z trzech zakładów produkcyjnych, w których
odbywa się krojenie, mieszanie i paczkowanie, produkuje dwa
rodzaje herbaty: I i II. Maszyny w każdym wydziale mogą pracować
po 8 godzin dziennie.

Proces produkcji można w skrócie opisać w następujący sposób:
Pierwszy rodzaj herbaty najpierw jest krojony, a potem paczkowany.
Wytworzenie każdej tony tej herbaty zajmuje ½ godziny krojenia i
1/3 godziny paczkowania. Herbata drugiego rodzaju jest najpierw
mieszana, a następnie paczkowana. Na każdą tonę tej herbaty
przypada 1 godzina mieszania i 2/3 godziny paczkowania.

Herbata pierwsza może być sprzedawana za 800 $ za tonę,
natomiast herbata druga za 600 $ za tonę.

Dyrektor produkcji musi zdecydować jaki poziom produkcji obu
rodzajów herbaty powinna należy produkować, jeżeli celem jest
maksymalizacja całkowitego przychodu?

9

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

10

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

11

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

12

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

13

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

14

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

8

0

2

1

:

2

1









x

x

krojenie

15

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

8

0

2

1

:

2

1









x

x

krojenie

8

1

0

:

2

1









x

x

mieszanie

16

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana,

x

2

– liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana.

2) Warunki ograniczające:

8

0

2

1

:

2

1









x

x

krojenie

8

1

0

:

2

1









x

x

mieszanie

8

3

2

3

1

:

2

1









x

x

e

paczkowani

17

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

3) Funkcja kryterium:

Maksymalizacja całkowitego przychodu:

4) Warunki brzegowe:

18

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

3) Funkcja kryterium:

Maksymalizacja całkowitego przychodu:

4) Warunki brzegowe:

max

600

800

)

,

(

2

1

2

1







x

x

x

x

F

19

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

3) Funkcja kryterium:

Maksymalizacja całkowitego przychodu:

4) Warunki brzegowe:

max

600

800

)

,

(

2

1

2

1







x

x

x

x

F

20

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1.

3) Funkcja kryterium:

Maksymalizacja całkowitego przychodu:

4) Warunki brzegowe:

max

600

800

)

,

(

2

1

2

1







x

x

x

x

F

0

0

2

1





x

x

21

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Pewna osoba, aby zachować dobre zdrowie, musi przyjmować w
codziennym pożywieniu określone ilości substancji odżywczych.
Przyjmijmy, że są to trzy typy substancji: wapń, proteiny i witamina
A. Załóżmy, że dieta tej osoby składa się z dwóch rodzajów żywności
I i II, których ceny i zawartości składników odżywczych podano w
tabeli. Określone zostało również minimalne dzienne
zapotrzebowanie na poszczególne składniki.

Należy zdecydować Jaka kombinacja dwóch rodzajów żywności
będzie zaspokajała dzienne zapotrzebowanie na substancje
odżywcze najmniejszym kosztem?

Żywność I

Żywność II

Minimalne dzienne

Cena

0,6 $

1 $

zapotrzebowanie

Wapń
Proteiny
Witamina A

10

5
2

4
5
6

20
20
12

22

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– ilość jednostek I rodzaju żywności,

x

2

– ilość jednostek II rodzaju żywności.

2) Warunki ograniczające:

23

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– ilość jednostek I rodzaju żywności,

x

2

– ilość jednostek II rodzaju żywności.

2) Warunki ograniczające:

24

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– ilość jednostek I rodzaju żywności,

x

2

– ilość jednostek II rodzaju żywności.

2) Warunki ograniczające:

20

4

10

:

2

1









x

x

wapń

25

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– ilość jednostek I rodzaju żywności,

x

2

– ilość jednostek II rodzaju żywności.

2) Warunki ograniczające:

20

4

10

:

2

1









x

x

wapń

20

5

5

:

2

1









x

x

proteiny

26

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

Model decyzyjny:

1) Zmienne decyzyjne:

x

1

– ilość jednostek I rodzaju żywności,

x

2

– ilość jednostek II rodzaju żywności.

2) Warunki ograniczające:

20

4

10

:

2

1









x

x

wapń

20

5

5

:

2

1









x

x

proteiny

12

2

6

:

.

2

1









x

x

A

wit

27

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

3) Funkcja kryterium:

Minimalizacja łącznego kosztu zakupu żywności:

4) Warunki brzegowe:

min

1

6

,

0

)

,

(

2

1

2

1







x

x

x

x

F

28

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 2.

3) Funkcja kryterium:

Minimalizacja łącznego kosztu zakupu żywności:

4) Warunki brzegowe:

min

1

6

,

0

)

,

(

2

1

2

1







x

x

x

x

F

0

0

2

1





x

x

29

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Liniowy model decyzyjny

Zapis ogólny – postać standardowa (dla maksymalizacji)

0

,

,

,

max

2

1

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

2

2

1

1



































n

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

n

n

x

x

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

c

x

c

x

c















30

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Liniowy model decyzyjny

Zapis ogólny – postać standardowa (dla minimalizacji)

0

,

,

,

min

2

1

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

2

2

1

1



































n

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

n

n

x

x

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

c

x

c

x

c















31

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Liniowy model decyzyjny

Zapis macierzowy:

- wektor współczynników funkcji celu,

- wektor zmiennych decyzyjnych,

- macierz współczynników z

warunków

ograniczających,

- wektor wyrazów wolnych (zasobów, wymogów).

0

)

(

(min)

max









x

b

x

A

x

c

T

]

,

,

,

[

2

1

n

T

c

c

c

c





]

,

,

,

[

2

1

n

T

x

x

x

x





]

[

ij

a

A 

n

j

m

i

,

,

2

,

1

;

,

,

2

,

1









]

,

,

,

[

2

1

m

b

b

b

b





32

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 1:

Przykład 2:















2

1

x

x

x















2

1

x

x

x





600

800



T

c































3

2

3

1

1

0

0

2

1

A























8

8

8

b





1

6

,

0



T

c























6

2

5

5

4

10

A























12

20

20

b

33

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Liczba rozwiązań optymalnych

Liniowy model decyzyjny może mieć:



jedno rozwiązanie optymalne – tylko w jednym
wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych znajduje
się największa (najmniejsza) wartość funkcji celu.



nieskończenie wiele rozwiązań – gdy optymalna wartość
funkcji celu znajduje się równocześnie w dwóch
wierzchołkach zbioru rozwiązań dopuszczalnych.



brak rozwiązań optymalnych – gdy zbiór rozwiązań
dopuszczalnych jest zbiorem pustym.

34

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Postać kanoniczna LMD

Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego – postać

gdzie warunki ograniczające mają postać równań.

W warunkach ograniczających uwzględniamy tzw. zmienne

dodatkowe

s

.

Przykład 1.

8

0

2

1

:

1

2

1











s

x

x

krojenie

8

1

0

:

2

2

1











s

x

x

mieszanie

8

3

2

3

1

:

3

2

1











s

x

x

e

paczkowani

max

0

0

0

600

800

)

,

,

,

,

(

3

2

1

2

1

3

2

1

2

1



















s

s

s

x

x

s

s

s

x

x

F

0

;

0

;

0

;

0

;

0

3

2

1

2

1











s

s

s

x

x

35

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Postać kanoniczna LMD

Przykład 2.

min

0

0

0

1

6

,

0

)

,

,

,

,

(

3

2

1

2

1

3

2

1

2

1



















s

s

s

x

x

s

s

s

x

x

F

0

;

0

;

0

;

0

;

0

3

2

1

2

1











s

s

s

x

x

20

4

10

:

1

2

1











s

x

x

wapń

20

5

5

:

2

2

1











s

x

x

proteiny

12

2

6

:

.

3

2

1











s

x

x

A

wit

36

D. Ciołek

EKONOMETRIA – wykład 7

Przykład 3.

Lokalna firma planuje reklamowanie pewnego towaru w ciągu
określonego tygodnia w i radiu i w telewizji. Przeznaczyła na
ten cel maksymalny budżet w wysokości 16000 dolarów.

30-sekundowa reklamówka radiowa (oznaczmy ją symbolem

x

1

) kosztuje 800 dolarów, a minimalny kontrakt obejmuje

pięciokrotne nadawanie. Reklamy telewizyjne (oznaczmy je
symbolem

x

2

) kosztują 4000 dolarów. W wybranym tygodniu

wolne są jeszcze tylko cztery odcinki reklam telewizyjnych.

Ocenia się, że ze względu na wielkość audytorium i inne
czynniki, reklama telewizyjna jest sześciokrotnie
efektywniejsza niż reklama radiowa. Jak firma powinna
zaplanować kampanię reklamową, aby dotrzeć do
największej liczby potencjalnych odbiorców?