5.
FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
5.1. FUNKCJA WYKŁADNICZA
Funkcję
x
y = a ,
gdzie a oznacza liczbę dodatnią (podstawę), a x zmienną, nazywamy funkcją wykładniczą.
Funkcja wykładnicza jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości x i przyjmuje tylko wartości dodatnie.
W przypadku gdy 0 < a < 1 , funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, a jej wykres ma następujący kształt:
W przypadku gdy a > 1 , funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą, a jej wykres ma następujący kształt:
W przypadku gdy a = 1 , funkcja wykładnicza jest stała. Dla każdej wartości x wartość funkcji jest równa 1.
48
LOGARYTMY I FUNKCJA LOGARYTMICZNA
Logarytmem liczby x (dodatniej) przy podstawie a (dodatniej i różnej od 1) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x.
y = log x oznacza, że a y = x , a
x − liczba logarytmowana, dodatnia, a − podstawa logarytmu, dodatnia i różna od 1, y − logarytm liczby x przy podstawie a.
Logarytm o podstawie a = 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym. Piszemy przy tym log
x = log x .
10
Dla logarytmów prawdziwe są wzory:
log
⋅ = log
+ log
,
a ( x
y)
x
y
a
a
x
log
= log x − log y ,
a y
a
a
log x n = n ⋅ log x ( n − liczba dodatnia), a
a
log x
log x
b
=
( a ≠ 1 , b ≠ 1, a > 0 , b > 0 ).
a
log a
b
Funkcję
y = log x ,
a
gdzie a jest liczbą dodatnią różną od 1, nazywamy funkcją logarytmiczną.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, a zbiorem wartości zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Jeżeli a > 0 , to funkcja logarytmiczna y = log x jest rosnąca, a jej wykres ma a
następujący kształt:
49
Jeżeli 0 < a < 1 , to funkcja logarytmiczna y = log x jest malejąca o następującym a
kształcie:
Każda para wykresów funkcji
x
y = a i y = log x dla każdego a > 0 , a ≠ 1 , jest a
położona symetrycznie względem prostej y = x .
50
5.3.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE
Równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi, nazywamy równaniem wykładniczym.
Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z następującego twierdzenia.
Twierdzenie
Jeżeli x
y
a = a , przy czym a > 0 i a ≠ 1 , to x = y .
Równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu lub w podstawie logarytmu, nazywamy równaniem logarytmicznym.
Wiadomości podane przez nas przy omawianiu nierówności i równań wystarczają do rozwiązywania pewnych nierówności wykładniczych i logarytmicznych.
51