5.

FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

5.1. FUNKCJA WYKŁADNICZA

Funkcję

x

y = a ,

gdzie a oznacza liczbę dodatnią (podstawę), a x zmienną, nazywamy funkcją wykładniczą.

Funkcja wykładnicza jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości x i przyjmuje tylko wartości dodatnie.

W przypadku gdy 0 < a < 1 , funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, a jej wykres ma następujący kształt:

W przypadku gdy a > 1 , funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą, a jej wykres ma następujący kształt:

W przypadku gdy a = 1 , funkcja wykładnicza jest stała. Dla każdej wartości x wartość funkcji jest równa 1.

48

5.2.

LOGARYTMY I FUNKCJA LOGARYTMICZNA

Logarytmem liczby x (dodatniej) przy podstawie a (dodatniej i różnej od 1) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x.

y = log x oznacza, że a y = x , a

x − liczba logarytmowana, dodatnia, a − podstawa logarytmu, dodatnia i różna od 1, y − logarytm liczby x przy podstawie a.

Logarytm o podstawie a = 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym. Piszemy przy tym log

x = log x .

10

Dla logarytmów prawdziwe są wzory:

log

⋅ = log

+ log

,

a ( x

y)

x

y

a

a

x

log

= log x − log y ,

a y

a

a

log x n = n ⋅ log x ( n − liczba dodatnia), a

a

log x

log x

b

=

( a ≠ 1 , b ≠ 1, a > 0 , b > 0 ).

a

log a

b

Funkcję

y = log x ,

a

gdzie a jest liczbą dodatnią różną od 1, nazywamy funkcją logarytmiczną.

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, a zbiorem wartości zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Jeżeli a > 0 , to funkcja logarytmiczna y = log x jest rosnąca, a jej wykres ma a

następujący kształt:

49

Jeżeli 0 < a < 1 , to funkcja logarytmiczna y = log x jest malejąca o następującym a

kształcie:

Każda para wykresów funkcji

x

y = a i y = log x dla każdego a > 0 , a ≠ 1 , jest a

położona symetrycznie względem prostej y = x .

50

5.3.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE

Równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi, nazywamy równaniem wykładniczym.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z następującego twierdzenia.

Twierdzenie

Jeżeli x

y

a = a , przy czym a > 0 i a ≠ 1 , to x = y .

Równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu lub w podstawie logarytmu, nazywamy równaniem logarytmicznym.

Wiadomości podane przez nas przy omawianiu nierówności i równań wystarczają do rozwiązywania pewnych nierówności wykładniczych i logarytmicznych.

51