Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
1
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
Z8/5.1. Zadanie 5
Rysunek Z8/5.1 przedstawia wykresy naprężenia normalnego σX oraz stycznego τXZ w pięciu punktach przekroju prostokątnego. W punktach tych należy wyznaczyć naprężenia i kierunki główne.
1
σ
τ
X
15,26
XZ
0,0
2
7,629
2,163
Y=Ygl
3=sc
0,0
2,885
4
7,629
2,163
0,0
5
15,26 [MPa]
[MPa]
Z=Zgl
Rys. Z8/5.1. Wykresy naprężeń normalnego i stycznego w przekroju prostokątnym X
15,26 MPa
15,26 MPa
Z
Rys. Z8/5.2. Stan naprężenia w punkcie 1
Z8/5.2. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 1
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/5.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/5.1)
=15,26 MPa ,
(Z8/5.2)
X
=0,0 MPa .
(Z8/5.3)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
2
=[15,26 0 0
0
0 0] .
(Z8/5.4)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/5.4) przedstawia rysunek Z8/5.2. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/5.4) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/5.3 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 1.
X=Xgl
15,26 MPa
15,26 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/5.3. Naprężenia główne w punkcie 1
Z8/5.3. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 2
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/5.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/5.5)
=7,629 MPa ,
(Z8/5.6)
X
=−2,163 MPa .
(Z8/5.7)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 7,629 0 −2,163
0
0
0
] .
(Z8/5.8)
−2,163 0
0
2,163 MPa
X
7,629 MPa
7,629 MPa
2,163 MPa
Z
Rys. Z8/5.4. Stan naprężenia w punkcie 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
3
Graficzną interpretację tensora (Z8/5.8) przedstawia rysunek Z8/5.4. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi
2⋅−2,163
tg 2⋅ =
=0,5670 .
(Z8/5.9)
gl
0,0−7,629
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=14,78 ° .
(Z8/5.10)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,07,629 0,0−7,629
=
⋅ cos 2⋅14,78 °−2,163⋅ sin 2⋅14,78°=−0,5706 MPa , (Z8/5.11)
Zgl
2
2
0,07,629
0,0−7,629
=
−
⋅ cos 2⋅14,78 °−−2,163⋅ sin 2⋅14,78°=8,200 MPa .
(Z8/5.12)
Xgl
2
2
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12)
0,07,629
=
±
2−2,1632=
.
(Z8/5.13)
1/2
0,0−7,629
2
2
{ 8,200 MPa
−0,5706 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,07,629=7,629 MPa
1
.
(Z8/5.14)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =8,200−0,5706=7,629 MPa
1
.
(Z8/5.15)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
oraz w układzie osi głównych wynosi
I =0,0⋅7,629−−2,1632=−4,679 MPa 2 .
(Z8/5.16)
2
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =8,200⋅
2
−0,5706=−4,679 MPa 2 .
(Z8/5.17)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
4
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
=[8,200 0 0
0
0
0
] .
(Z8/5.18)
0
0 −0,5706
Rysunek Z8/5.5 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 2.
0,5706 MPa
Xgl
X
8,200 MPa
8,200 MPa
14,780
0,5706 MPa
Z
Zgl
Rys. Z8/5.5. Naprężenia główne w punkcie 2
Z8/5.4. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 3
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/5.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/5.19)
=0,0 MPa ,
(Z8/5.20)
X
=−2,885 MPa .
(Z8/5.21)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 0 0 −2,885
0
0
0
] .
(Z8/5.22)
−2,885 0
0
Graficzną interpretację tensora (Z8/5.22) przedstawia rysunek Z8/5.6. Stan naprężenia na rysunku Z8/5.6
jest czystym ścinaniem, w którym wartość bezwzględna naprężeń głównych równa się wartości bezwzględnej naprężenia stycznego. Osie główne są nachylone pod kątem 450 w stosunku do układu ZX.
Wykorzystując mechanizm na rysunku 8.14 c) graficzna interpretacja naprężeń głównych będzie taka jak przedstawiona na rysunku Z8/5.7.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
5
2,885 MPa
X
2,885 MPa
Z
Rys. Z8/5.6. Stan naprężenia w punkcie 3
2,885 MPa
2,885 MPa
X
Pa
2,885 M
2,885 M
P
450
a
Z
Rys. Z8/5.7. Naprężenia główne w punkcie 3
Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[2,885 0 0
0
0
0
] .
(Z8/5.23)
0
0 −2,885
W tensorze (Z8/5.23) nie będziemy określać, które naprężenie główne ma indeks Zgl a które indeks Xgl.
Z8/5.5. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 4
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/5.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/5.24)
=−7,629 MPa ,
(Z8/5.25)
X
=−2,163 MPa .
(Z8/5.26)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−7,629 0 −2,163
0
0
0
] .
(Z8/5.27)
−2,163 0
0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
6
2,163 MPa
X
7,629 MPa
7,629 MPa
2,163 MPa
Z
Rys. Z8/5.8. Stan naprężenia w punkcie 4
Graficzną interpretację tensora (Z8/5.27) przedstawia rysunek Z8/5.8. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅−2,163
tg 2⋅ =
=−0,5670 .
(Z8/5.28)
gl
0,0−−7,629
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=−14,78 ° .
(Z8/5.29)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,0−7,629 0,0−−7,629
=
⋅ cos 2⋅−14,78 °−2,163⋅ sin 2⋅−14,78°
Zgl
2
2
,
(Z8/5.30)
=0,5706 MPa
Zgl
0,0−7,629
0,0−−7,629
=
−
⋅ cos 2⋅−14,78 °−−2,163⋅ sin 2⋅−14,78°
Xgl
2
2
.
(Z8/5.31)
=−8,200 MPa
Xgl
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12)
0,0−7,629
=
±
2−2,1632=
.
(Z8/5.32)
1/2
0,0−−7,629
2
2
{0,5706 MPa
−8,200 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX oraz w układzie osi głównych wynosi I =0,0−7,629=−7,629 MPa
1
.
(Z8/5.33)
I =−8,2000,5706=−7,629 MPa
1
.
(Z8/5.34)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
7
I =0,0⋅−7,629−−2,1632=−4,679 MPa 2 .
(Z8/5.35)
2
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =
2
−8,200⋅0,5706=−4,679 MPa 2 .
(Z8/5.36)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
=[−8,200 0 0
0
0
0
] .
(Z8/5.37)
0
0 0,5706
Rysunek Z8/5.9 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 4.
0,5706 MPa
X
8,200 MPa
Xgl
14,780
8,200 MPa
0,5706 MPa
Zgl
Z
Rys. Z8/5.9. Naprężenia główne w punkcie 4
X
15,26 MPa
15,26 MPa
Z
Rys. Z8/5.10. Stan naprężenia w punkcie 5
X=Xgl
15,26 MPa
15,26 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/5.11. Naprężenia główne w punkcie 5
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
8
X
X=Xgl
1
15,26 MPa
15,26 MPa
15,26 MPa
15,26 MPa
Z
Z=Zgl 0,5706 M
2,163 MPa
P
X
X
a
gl
2
7,629 MPa
7,629 MPa
X
8,200 MPa
2,163 MPa
8,200 MPa
0
14,780
,570
Z
6 M
Z
Zgl
P
2,
a
885
Pa
2,885 MPa
MP
X
a
2,885 M
3
X
Pa
2,8
2,885 MPa
85 M
2,885 M
Pa
450
a
Z
P
Z
2,163 MPa
0,5706 M
X
X
8
4
,200 MPa
7,629 MPa
7,629 MPa
Xgl
14,780
8,20
2,163 MPa
0 MPa
aP
Z
Zgl
Z
0,5706 M
X
X=Xgl
5
15,26 MPa
15,26 MPa
15,26 MPa
15,26 MPa
Z
Z=Zgl
Rys. Z8/5.12. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/5. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 5
9
Z8/5.6. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 5
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/5.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/5.38)
=−15,26 MPa ,
(Z8/5.39)
X
=0,0 MPa .
(Z8/5.40)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−15,26 0 0
0
0 0] .
(Z8/5.41)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/5.41) przedstawia rysunek Z8/5.10. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/5.41) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/5.11 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 5.
Z8/5.7. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju Rysunek Z8/5.12 przedstawia rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego. Jak widać na tym rysunku główne naprężenia rozciągające od punktu 1 do punktu 5 obracają się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponadto ich wartości bezwzględne są coraz mniejsze. Naprężenia główne ściska-jące także kręcą się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara a ich wartości bezwzględne rosną od punktu 1 do punktu 5.
Dr inż. Janusz Dębiński