FdI - Relatywistyka









Fizyka dla
informatyków - Notatki w Internecie

Mechanika
- zadania



Punkt materialny porusza siÄ™
w ten sposób, że jego położenie jest następującą funkcją czasu:
Wyrazić
prędkość i przyspieszenie tego punktu materialnego jako funkcje czasu. Jaki jest
kształt drogi tego punktu materialnego?





Ciało wyrzucono pod kątem
do poziomu z prędkością
v0. Zaniedbując opór powietrza i przyjmując wartość
przyspieszenia ziemskiego g, znaleźć:

równanie ruchu,
równanie toru ciała,
maksymalny zasięg i wysokość na jaką wzniesie się ciało.

Odpowiedź:





Pokazać, że w ruchu
jednostajnie przyspieszonym droga przebyta przez ciało wyraża się znanym wzorem:

s(t) = 1/2 at2 +
v0t + s0





Pokazać, że pod wpływem siły
proporcjonalnej do wychylenia ale przeciwnie skierowanej położenie ciała zmienia
siÄ™ sinusoidalnie w czasie.
Wskazówka:





Rozwiązać problem wahadła
matematycznego dla małych wychyleń. W szczególności rozwiązać równanie ruchu i
znaleźć okres drgań wahadła.
Odpowiedź:
gdzie:
l - długość wahadła, m - masa ciała zawieszonego na końcu nici,
F - siła działająca na ciało (styczna do toru)




Po rzece płynie łódka ze
stałą względem wody prędkością v1, prostopadłą do kierunku
prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej
prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem:
gdzie
v0, L - stałe (L jest szerokością rzeki).
Znaleźć:

wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych brzegów,
kształt toru łódki.

Odpowiedź:





Znaleźć składowe
przyspieszenia w
biegunowym układzie współrzędnych , gdzie:
Odpowiedź:





Znaleźć tor po jakim w
płaszczyźnie xy leci ze stałą prędkością v samolotem ponaddźwiękowym
pilot, który chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym
samolocie huk silnika z całego toru. W chwili t=0 samolot znajdował się w
odległości r0 od punktu, w którym stoją jego koledzy a wektor
położenia tworzył
kąt z płaszczyzną
poziomÄ….
Odpowiedź:





Punkt o masie m porusza siÄ™
pod wpływem siły centralnej po torze w kształcie okręgu o promieniu R
który przechodzi przez centrum działania siły (rysunek). Jak zależy wartość tej
siły od odległości od centrum?


Wskazówka: ogólna metoda rowiązywania tego typu problemów
polega na skorzystaniu z faktu, że siła F jest siłą centralną
oraz z tego,
że moment pędu przy ruchu pod wpływem siły centralnej jest zachowany
Z równania
tego wynika, że
StÄ…d
otrzymujemy wzór Bineta:
Aby obliczyć
wartość siły należy znać równanie toru . W tym przypadku:





Kula o masie m uderza
w nieruchomą kulę o masie M i pozostaje w niej. Jaka część energii
kinetycznej kuli zamieni się w energię wewnętrzną (zakładamy zderzenie idealnie
niesprężyste)?
Odpowiedź:





Kula o masie m
poruszająca się z prędkością v0 zderza się sprężyście ze
spoczywającą kulą o masie M. Przy założeniu, że zderzenie jest centralne,
obliczyć prędkość i energię kinetyczną kuli o masie m po zderzeniu. Kiedy
strata energii jest największa?
Odpowiedź:
Strata jest
największa, gdy m=M.




Piłeczka pingpongowa po
uderzeniu o podłoge traci 1/k część swojej energii kinetycznej. Znaleźć
całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h, aż do
chwili zatrzymania się. Współczynik k>1.
Odpowiedź: h(2k - 1)




Na gładkim stole leży sznur,
1/4 długości sznura zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas, po którym cały sznur
spadnie ze stołu na podłogę, jeżeli w chwili t = 0 jego predkość równa
się zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.
Odpowiedź: Należy rozwiązać równanie różniczkowe postaci:
m -
masa całego sznura, mh - masa odcinka h, przy
warunkach poczÄ…tkowych h(0)=1/4·l i h'(0)=0.





Kamień o masie m
puszczono swobodnie (v0=0) do studni, w której poziom wody
znajduje się na głębokości d. Zakładamy, że kamień w powietrzu spada
swobodnie, natomiast w wodzie działa na niego siła oporu proporcjonalna do
prędkości: .
Znaleźć zależność położenia, prędkości i przyspieszenia kamenia od czasu.
Odpowiedź:





Samochód o masie m
hamowany jest siłą oporu F = kv2. Jaką drogę przebędzie
samochód, zanim jego prędkość zmaleje do połowy?
Odpowiedź: (m/k)ln2




W kabinie windy zawieszono
lekki bloczek przez który przerzucono nić, na końcach której zawieszono masy
m1 i m2>m1. Z jakim
przyspieszeniem względem windy będą poruszać się ciężarki jeżeli:

winda stoi nieruchomo
winda startuje ku górze
winda startuje ku dołowi
winda jadąca w dół hamuje? Przyspieszenie windy a = g/2.
Opory ruchu zaniedbać.

Wskazówka: należy skorzystać z dynamicznych równań ruchu.





KorzystajÄ…c z definicji
momentu bezwładności:
znaleźć moment
bezwładności

cienkiego pręta o masie m i długości l względem osi
prostopadłej do niego i przechodzącej przez:

koniec pręta
środek pręta
oraz walca (o promieniu R i wysokości H, wykonanego z
materiału o gęstości ) względem jego osi symetrii.

Odpowiedź: 1/3 ml2, 1/12 ml2, 1/2
mR2







Przez nieruchomy
krążek o promieniu R przerzucono nieważką nić, na której końcach
zamocowano masy m1 i m2. Moment
bezwładności krążka względem jego osi obrotu wynosi I. Zakładamy,
że nić nie może ślizgać się po krążku oraz że nie ma tarcia w jego osi.
Znaleźć przyspieszenie kątowe krążka oraz siły naciągu działające na
prostoliniowe odcinki.

Odpowiedź:








Na płaszczyźnie
poziomej leży szpula o masie m, promieniu wewnętrznym r i
zewnętrznym R. Moment bezwładności szpulki względem jej osi
symetrii wynosi , zaś współczynik tarcia posuwistego między szpulką a
płaszczyzną jest równy k. Do końca nici przyłożono stałą siłę
F. Znaleźć wartość i kierunek przyspieszenia osi szpulki, gdy toczy
się ona bez poślizgu.



Odpowiedź:








Nieważki krążek
zamocowany jest na końcu stołu. Masy m0,
m1 i m2 połączone są nieważką nicią
przerzuconą przez krążek. Zakładając, że krążek obraca się bez tarcia
oraz, że masa m0 porusza się w dół znaleźć jej
przyspieszenie i siłę działającą na nić łączącą masy m1
i m2, jeżeli współczyniki tarcia miedzy powierzchnią
stołu a masami m1 i m2 są różne i
wynoszÄ… odpowiednio k1 i k2.

Odpowiedź:








W układzie
przedstawionym na rysunku znamy kąt nachylenia względem poziomu oraz
współczynik tarcia k między tą płaszczyzną a ciałem
m1. Masę krążka i nici oraz tarcie w krążku
zaniedbujemy. Przyjmując, że w chwili początkowej obie masy były
nieruchome, wyliczyć stosunek mas
m2/m1, przy którym masa
m2:

zacznie poruszać się w dół,
zacznie poruszać się w górę,
pozostanie w spoczynku.

Odpowiedź:







Autorzy: Marcin Mączka, Wojciech Jurek, Jakub Lipiński,
Grzegorz Maczuga