FdI - Relatywistyka









Fizyka dla
informatyków - Notatki w Internecie

Relatywistyka

[Transformacja
Galileusza] [Postulaty
Einsteina] [Transformacja
Lorentza] [Kontrakcja
długości] [Dylatacja
czasu] [Efekt
Dopplera] [Zadania]



TRANSFORMACJA GALILEUSZA
Rozważmy dwa układy U i U' poruszające się względem siebie ruchem
jednostajnym prostoliniowym z prędkością v. Dla uproszczenia przyjmijmy, że ruch
ten odbywa sie równolegle do osi OX. Rozważmy punkt P o współrzędnych
(x,y,z) w układzie U. Jeżeli punkt ten pozostaje w układzie U w spoczynku to
jego współrzędne w układzie U' są dane następującymi wzorami:
x' = x -vt y' = y z' = z t' = t
Przy czym, za rzecz oczywistą przyjmujemy, że czas w obu układach mija
jednakowo. Powyższe związki między współrzędnymi nazywamy transformacją
Galileusza.
Jeżeli zastosujemy to przekształcenie do praw Newtona
to okaże się, że otrzymamy te same prawa tylko w układzie primowanym. Oznacza
to, ze prawa mechaniki sa takie same we wszystkich układach inercjalnych. Nie
można więc poprzez dokonywanie doświadczeń mechanicznych stwierdzić, czy układ
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, czy pozostaje w spoczynku.
Wraz z rozwojem badań nad zjawiskami elektromagnetycznymi, które
znalazły swe ukoronowanie w sformułowanych przez J.
C. Maxwella równaniach, powstało pytanie czy i nowo odkryte prawa spełniają
zasadę względności. Otóż okazuje się, że kiedy przekształcimy równania
Maxwella w transformacji Galileusza to nie pozostaną one niezmienione.
Oznaczałoby to, iż jest możliwe stwierdzenie za pomocą doświadczeń
elektromagnetycznych czy układ porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
czy pozostaje w spoczynku.Jednak wszystkie doświadczenia, w których
starano się ten fakt wykorzystać dawały wyniki negatywne - nie wykryto ruchu
Ziemi.Ponieważ wszystko wskazywało na to, że równania Maxwella są poprawne,
błąd musiał leżeć gdzie indziej.
POSTULATY EINSTEINA
W tym czasie H.
A. Lorentz zaobserwował rzecz dziwną i godną uwagi. Mianowicie, gdy dokonał
w równaniach Maxwella podstawienia:
x' = (x -
ut)y' = yz' = zt' = (t - xu/c2)postać tych równań nie
uległa zmianie! To niezwykle ciekawe spostrzeżenie właściwie wykorzystał
jednak dopiero A.
Einstein.Sformułował on teorię, którą oparł na dwóch postulatach:
I. Prawa fizyki mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ
odniesienia. II. Prędkość światła jest jednakowa we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia. Okazuje się, że transformacje Lorentza można
łatwo wyprowadzić korzystając z drugiego postulatu, co pokażemy później.
Skoro transformacja Lorentza wynika z drugiego postulatu, Einstein
najwyraźniej uważa ją za poprawną. Jak jednak należy zmodyfikować prawa Newtona,
aby ich postać nie zmieniała się pod wpływem transformacj Lorentza, czyli by był
spełniony postulat pierwszy ? Okazuje się, że wystarczy w równaniach Newtona
zastąpić masę m wyrażeniem:
Jest to wzór na masę relatywistyczną. Jak widać masa
relatywistyczna nie jest stała lecz zależy od prędkości.Powstają oczywiście
wątpliwości jak ten wzór może być prawdziwy skoro w życiu codziennym nie
obserwujemy zmian masy.Jednak prędkości z jakimi mamy do czynienia na
codzień są na tyle małe w stosunku do prędkości światła, że przyrost masy jest
niedostrzegalny.

TRANSFORMACJA LORENTZA
Zacznijmy może od wyprowadzenia samej transformacji Lorentza. Ponieważ
oczekujemy, że będzie przekształcała prostą w prostą, zakładamy że jest ona
postaci liniowej.
x' = Ax + Btt' = Mx + Ntdx' = Adx + Bdt dt' = Mdx +
Ndt
gdzie v to prędkość ciała dla obserwatora z układu U, a v' to prędkość tego
ciała dla obserwatora z układu U' Rozważmy teraz trzy przypadki szczególne:

v = 0
v' = 0
v = v' = c
Otrzymujemy wówczas:

v' = B/N = -u
gdzie u - prędkość względna układów U i U'
Av + B = 0 v = -B/A = -u Z 1. i
2. wynika że N = A






Mc2 + Ac = Ac + BB =
Mc2M = B/c2 = -Au/c2
Czyli:
N = AM = -Au/c2B = -Au
Współczynnik A otrzymamy korzystając z symetrii problemu:
x' = Ax - Autt' = -Axu/c2 + Atx = Ax' +
Aut't = Ax'u/c2 + At'
(W równaniach na x i t wystarczy zmienić znak przy u)Podstawiając do
trzeciego wzoru za x' z pierwszego równania otrzymujemy:
x = A(Ax - Aut) + Au(-Axu/c2 + At)
Po dalszych przekształceniach znajdujemy A:
Za ułamek ten podstawmy . Wówczas układ
równań przyjmie postać:
x' = (x - ut)t' = (t - xu/c2)x = (x' + ut)t = (t' +
xu/c2)
KONTRAKCJA DŁUGOŚCIPorównajmy teraz niektóre wyniki
obserwacji prowadzonych z dwóch układów U i U'Wyobraźmy sobie punkt P',
którego współrzędna x' jest różna od zera, natomiast y' oraz z' są równe 0.
Punkt ten jest nieruchomy względem układu współrzędnych.Jaką odległość O'P'
między punktami O' i P' zmierzą obserwatorzy O i O' ?Wyobraźmy sobie
układy U i U', i odcinek o końcach x1' i x2' w układzie
U'. Długość tego odcinka dla obserwatora O' wynosi:
x2' - x1' = l0Jaką
długość ma ten sam odcinek dla obserwatora O ?
x2' - x1' = (x2 -
ut2) -
(x1 - ut1) Ponieważ t2 =
t1(obserwacji obu końców odcinka dokonujemy w tej samej
chwili)
x2' - x1' = (x2 -
x1)l0 =
lCzyli odległości są największe w układzie własnym obserwatora
(w układzie, w którym obserwator pozostaje w spoczynku).
DYLATACJA CZASU
Wyobrażmy sobie, że w początku O' układu U' zachodzą dwa zdarzenia (np.
początek i koniec jakiegoś procesu). Jakie odstępy czasu między tymi zdarzeniami
zmierzą w swoich układach obserwatorzy O i O' ?Przyjmijmy, że odstęp między
tymi zdarzeniami wynosi:
t2' - t1' =
t0Wnioskując analogicznie jak w przykładzie
powyższym - tym razem pamiętając, że zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w
układzie primowanym (x2'=x1') - otrzymamy zależność:

t = t0Oznacza to, że czas mija najszybciej
w układzie własnym obserwatora, czyli w układzie w którym obserwator pozostaje w
spoczynku
RELATYWISTYCZNE ZJAWISKO DOPPLERA
Oprócz wymienionych wyżej zjawisk występujących przy prędkościach
porównywalnych z prędkością światła, zachodzą także inne, jak chociażby efekt
Dopplera.Zjawisko to pierwotnie zostało odkryte w przypadku fal dźwiękowych
i zinterpretowano jako konsekwencję ruchu zródła lub obserwatora względem
powietrza - ośrodka, w którym rozchodzą się fale dźwiękowe. Jakkolwiek
rozchodzenie się światła w próżni zachodzi bez udziału takiego przenoszącego
fale ośrodka, to jednak ze względu na dylatację czasu oraz kontrakcję długości
występuje w przypadku światła relatywistyczne zjawisko Dopplera. W przypadku
gdy źródło i obserwator poruszają się względem siebie po tej samej prostej ze
względną prędkością v mamy do czynienia z podłużnym relatywistycznym
efektem Dopllera. Wówczas związek między emitowaną (f0) a
rejestrowaną (f) częstotliwością fali wyraża się poprzez:
w
przypadku gdy źródło i obserwator oddalają się od siebie, oraz:
gdy
zbliżają się do siebie, i jest konsekwencją zastosowania wzorów transformacji
Lorentza na pęd i energię, do opisu zachowania fotonu.


Autorzy: Jacek Nowak, Krzysztof Kusiak