Demografia
Wykład 4, 09.03.2012
Dr Anna Matysiak
Dr Anita Abramowska-Kmon
Plan
" Modele wzrostu ludności
" Modele ludności (maltuzjańska, zastojowa,
ustabilizowana)
" Prawo Lotki
Współczynnik przyrostu
Zmiany liczby ludności mogą być wyrażone poprzez
współczynnik przyrostu (rate of increase)
lub
Nt+1 - Nt
Nt+1 = Nt (1+ r)
r =
Nt
W demografii współczynnik przyrostu oznacza
przyrost geometryczny.
Nie mówi nic o przyszłości. Jest tylko opisem
przeszłości i teraz
niejszości.
Może być dodatni, ujemny lub zerowy.
Co więcej, wartości pozytywne tego współczynnika
obecnie nie wykluczają wartości ujemnych w
kolejnym roku (okresie).
Współczynnik przyrostu
Jeśli r=0.02, liczba ludności rośnie 2 procent na
rok.
Jeśli utrzymałby się w przyszłości na tym
poziomie, ogólna liczba ludności za 10 lat
1.0210 = 1.219
mogłaby wzrosnąć razy
(w porównaniu do obecnego poziomu) oraz
mogłaby być większa za 1000 lat
1.021000 = 398,000,000 razy niż obecnie.
Współczynnik przyrostu
Obecnie współczynnik przyrostu waha się od -1% rocznie
do +3,5% między różnymi krajami/ regionami.
Nawet wewnątrz danego kraju współczynnik ten może
znacząco się różnić z wielu powodów.
Czasami kryzysy prowadzÄ… do istotnego spadku liczby
ludności i długi czas ich trwania może prowadzić do
znaczÄ…cego zmniejszenia siÄ™ populacji.
Lub ostatnio niektóre kraje rozwijające się doświadczyły
okresu bardzo dużego przyrostu ludności ze
współczynnikiem powyżej 4% rocznie.
Jednak, z powodu migracji, które w tym przypadku są
znaczącym czynnikiem wzrostu, współczynniki
przyrostu mogą być lokalnie dużo większe.
Czas podwojenia liczby ludności w modelu
wykładniczym (doubling time)
Wyrażenie dla wzrostu geometrycznego daje
projekcję liczby ludności do momentu t
N = N0(1+ r)t
t
Jednostką czasu może być miesiąc, rok, dekada
itd.
Jeśli r jest ujemny  liczba ludności maleje,
Jeśli t jest ujemne  według tego wzoru
prognozujemy wstecz.
Czas podwojenia liczby ludności w modelu
wykładniczym
Czas podwojenia jest taką wartością n, która spełnia
relacjÄ™:
(1+r)n =2
RozwiÄ…zanie:
0,693
n =
r
Dla wartości r między 0 i 0,04 (obserwowane dla większości
populacji ludzkich) można zapisać:
0,7
n =
r
Czas podwojenia liczby ludności w modelu
wykładniczym
Wykładniczy wzrost ludności tego typu doprowadził
Thomasa Roberta Malthusa (1798) do stwierdzenia, że
populacja charakteryzuje siÄ™ naturalnÄ… tendencjÄ…
wzrostową w postępie geometrycznym (wykładniczym),
przewyższając środki utrzymania jej (pożywienie), które
rosną w postępie arytmetycznym (liniowym).
Ale populacje nigdy nie doświadczają stałych
współczynników przyrostu w długim okresie.
Zatem inne modele wzrostu ludności (np. model logistyczny)
są bardziej odpowiednie do obecnych zmian liczby ludności.
Logistyczny model wzrostu ludności
Zaproponowano zastąpienie wykładniczego
modelu wzrostu modelem zakładającym, że
populacja doświadcza przyśpieszonego w czasie
wzrostu, który stopniowo zmniejsza się i zmierza
do 0. Równanie tzw. funkcji logistycznej jest
następujące:
k
Pt =
z b<0
1+ ea+bt
gdzie k, a i b są stałe.
Logistyczny model wzrostu ludności
Jeśli mamy trzy obserwacje w czasie równo
oddalone od siebie, możemy obliczyć wartości
stałych k, a oraz b odzwierciedlających funkcję
logistyczną dopasowaną do tych trzech punków
w czasie.
Logistyczny wzrost ludności prawdopodobnie
bardziej odpowiada zrównoważonemu rozwojowi
gospodarczemu niż model wykładniczy, który
prowadzi do nierealnych wyników w długim
okresie.
Czas podwojenia dla wybranych regionów dla rzeczywistych
średniorocznych zmian liczby ludności
Czas Czas
podwojenia podwojenia
(lata) (lata)
1950-55 2005-2010
Åšwiat 0,0177 39,2 0,0118 58,6
Regiony
0,01213 57,1 0,0034 205,6
wysoko
rozwinięte
Regiony
0,02029 34,2 0,0137 50,5
słabo
rozwinięte
Regiony
0,0201 34,5 0,0230 30,1
najsłabiej
rozwinięte
y
ródło: obliczenia własne na podstawie danych z World Population Prospects 2008
PodsumowujÄ…c&
Współczynnik przyrostu jest użytecznym
syntetycznym wskaz
nikiem dynamiki populacji,
gdyż pokazuje różnice w zmianach liczby
ludności w czasie i przestrzeni.
Jednakże, wzrost ludności wynika z połączenia
różnych  napływów do i  odpływów z
populacji, które powinny być analizowane
osobno, by poszerzać wiedzę o zmianach
demograficznych i o rozwoju nowych modeli
ludnościowych.
y
ródło: Marcu 2011, s.3.
Z drugiej strony...
Można użyć wzoru:
0,693
n =
r
By znalez
ć r, kiedy znane jest n.
Jeśli wiemy, że liczba ludności podwoiła się w ciągu
n=100 lat, jej roczny współczynnik wzrostu wynosi:
0,693
r = = 0,00693
100
0,693
Ogólniej:
r =
n
Średnioroczny współczynnik przyrostu potrzebny do
podwojenia wybranych populacji w przeszłości
poczÄ…tek koniec Liczba lat r
1950 1988 38 0,018237
Åšwiat
Regiony
1950 jeszcze nie
wysoko
rozwinięte
Regiony
1950 1981 31 0,022355
słabo
rozwinięte
Regiony
1950 1980 30 0,0231
najsłabiej
rozwinięte
0,693
r =
n
y
ródło: obliczenia własne na podstawie danych z World Population Prospects 2008
Depopulacja (spadek liczby ludności)
Dość znaczny ubytek ludności danego regionu
odnotowany w długim okresie.
Przyczyny:
" Demograficzne (spadek płodności => ujemny
przyrost naturalny, migracje => ujemny
przyrost rzeczywisty)
" Gwałtowne wydarzenia (katastrofy naturalne,
epidemie, głód, wojny)
Depopulacja (spadek liczby ludności)
Obecne przyczyny spadku liczby ludności to:
Spadek płodności i migracje.
Depopulacja jest ściśle związana z przemianami
opisanymi w koncepcji I i II przejścia
demograficznego => nadwyżka zgonów
Modele ludności
Modele ludności to konstrukcje formalne opisujące (przy
pewnych założeniach) zależności między dwiema
składowymi dynamiki demograficznej (płodności i
umieralności) a liczbą ludności i strukturami wieku
ludności.
" Model populacji maltuzjańskiej (Malthusian
population)
" Model populacji zastojowej (Stationary population)
" Model populacji ustabilizowanej (Stable population)
Model populacji maltuzjańskiej
Thomas Malthus (1766-
1834)
W 1798: Essay on the
Principle of Population
(An Essay on the Principle
of Population as it affects
the Future Improvement
of Society)
Skrócona wersja polska
 Prawo ludności
Model populacji maltuzjańskiej
Opisuje wzrost ludności przy założeniach:
 Stała umieralność (stałe natężenie zgonów według
wieku)
 Stała struktura ludności według wieku (udział
ludności w wieku x oznaczony jako c(x) jest stały)
 Populacja zamknięta
W wyniku tych założeń niezmienne w czasie są:
" Współczynnik urodzeń CBR (crude birth rate)
" Współczynnik zgonów CDR (crude death rate)
" Współczynnik przyrostu naturalnego (rate of
natural increase)
Model populacji maltuzjańskiej
Zmiany liczby ludności można przedstawić za pomocą funkcji
wykładniczej:
r  stały współczynnik przyrostu
L(t) = L0ert
naturalnego
Liczba urodzeń zmienia się też według funkcji wykładniczej:
U (t) = U0ert
Liczba ludności w wieku x:
L(x,t) = L0ertc(x)
Wskaz
nik struktury c(x) ludności maltuzjańskiej można
wyrazić jako
c(x) = BRe-rx p(x)
gdzie p(x)  prawdopodobieństwo dożycia wieku x przez
noworodka
Model ludności zastojowej
Model ludności zastojowej jest szczególnym
przypadkiem bardziej ogólnego modelu ludności
ustabilizowanej.
W modelu tym zakłada się, że:
" Współczynniki cząstkowe zgonów według wieku
są stałe w czasie (ale zwykle nie są stałe według
wieku)
" Liczba urodzeń jest stała w czasie (ta sama liczba
urodzeń jest dodawana w każdej jednostce czasu)
" Współczynniki migracji netto są równe zero dla
każdego wieku (populacja zamknięta)
" Stała struktura wieku populacji
" CBR=CDR
Model ludności zastojowej
Zatem, współczynnik przyrostu naturalnego r=0.
Ogólna liczba ludności jest stała L(t):
L(t) = L = Ue0
Liczba ludności w wieku x jest stała: L(x,t)=const
Wskaz
nik struktury c(x) ludności zastojowej:
p(x)  prawdopodobieństwo dożycia wieku x
c(x) = CBRp(x)
przez noworodka
CBR  crude birth rate (współczynnik urodzeń)
Współczynniki urodzeń i zgonów:
1
CBR = CDR
CBR =
e0
Prawo Lotki (1939)
Alfred Lotka (1880-1949) był pierwszym
demografem, który zdefiniował równanie łączące
strukturę wieku ludności, płodność i umieralność.
Urodził się 2 marca 1880 w
Lemberg, Austria (teraz Lwów,
Ukraina), ale jego rodzice byli
Amerykanami.
Prawo Lotki (1939)
Pokazał, że niezależnie od swojej początkowej
struktury wieku, populacja zamknięta ze stałą
płodnością i umieralnością według wieku w
nieskończenie długim okresie dąży do stałej
struktury wieku i stałego współczynnika
przyrostu.
Badanie Lotki dało początek koncepcji
ludności ustabilizowanej.
Model ludności ustabilizowanej
" Populacja zamknięta (brak migracji)
" Stały wzorzec umieralności według wieku (p(a)
 prawdopodobieństwo dożycia wieku a przez
noworodka)
" Stała struktura wieku c(a)
" Ogólna liczba ludności i liczba urodzeń rośnie
(lub maleje), zgodnie z prawem Malthusa, ze
stałym współczynnikiem r,
" Współczynniki urodzeń i zgonów znane jako
współczynniki właściwe (istotne) (intrinsic
rates) są stałe.
Równanie Lotki
Ta formuła nie jest
wystarczajÄ…ca by
Właściwy (istotny) współczynnik urodzeń:
wyznaczyć wartości b i r
raz na zawsze. Zatem
1
potrzebne jest drugie
b =
równanie, które jest
É
- ra niezależne od pierwszego
e p ( a ) da
i które włącza uwzględnia
+"
0
płodność.
Wskaz
nik struktury c(a) populacji dla danego wieku a wynosi:
p(a)  prawdopodobieństwo
dożycia wieku a przez
c(a) = be-ra p(a) noworodka
Te dwa równania nie są niezależne i są zatem nieodpowiednie, by
w pełni wyznaczyć wielkości b i r.
Równanie Lotki
Ale najpierw:
Liczba ludności w wieku a - N(a) jest równa w każdym czasie:
N(a) = Be-ra p(a)
p(a)  prawdopodobieństwo
dożycia wieku a przez
urodzenia
noworodka
Jest to zasadnicza (fundamentalna) funkcja ludności
ustabilizowanej (lub populacji maltuzjańskiej, jak
nazywa jÄ… Lotka)
Równanie Lotki
Dziewczynki
Tutaj pojawia się duży problem: znalez
ć kompletne
wyrażenie płodności, które pozwoli na wprowadzenie
urodzone w
dwupłciowego modelu reprodukcji związanego z
momencie t z
gatunkiem ludzkim.
matek w
Zatem, podobnie jak Lotka ograniczamy naszÄ… analizÄ™
wieku a
do kobiet.
É
Współczynnik
B(t) = B(t - a) p(a)m(a)da
+"
dziewczynek
0
urodzonych przez
matkÄ™ w wieku a
Z kolei te matki urodziły
siÄ™ w roku (t - a), kiedy
p(a)  prawdopodobieństwo
liczba urodzeń wyniosła
dożycia wieku a przez
B(t - a).
noworodka
Z definicji, funkcja macierzyństwa m(a) jest, podobnie jak
funkcja przeżycia p(a), niezależna od czasu.
Równanie Lotki
Żeby znalez
ć współczynnik przyrostu naturalnego
populacji ustabilizowanej, Lotka rozwiązał to
równanie stosując szereg wykładniczy:
É
t
i
B(t) =
"Q er
i
i=0
Pokazał, że każde ri spełnia relację:
É
-ria
1 =
+"e p(a)m(a)da
0
Równanie Lotki
I że współczynniki ri są pierwiastkami równania:
É
-ra
1 =
+"e p(a)m(a)da
0
Współczynniki ri są niezależne od warunków
początkowych, natomiast współczynniki Qi są.
Równanie Lotki
Nie wszystkie pierwiastki podstawowego równania
Lotki są rzeczywiste, ale oczywiście funkcja p(a)m(a),
iloczyn prawdopodobieństwa i współczynnika, może
przyjmować tylko rzeczywiste, dodatnie wartości.
W konsekwencji, to równanie ma tylko jeden
rzeczywisty pierwiastek, Á, który jest dodatni, jeÅ›li
współczynnik reprodukcji netto (net reproduction
rate  NRR) (R0) jest większy niż 1
É
R0 = p (a )m (a )da >1
+"
0
Ujemny dla R0 < 1 i zerowy dla R0 = 1.
Innymi słowy, jego znak zależy od tego, czy liczba urodzeń z jednej
generacji na drugą rośnie, maleje czy pozostaje stała.
Równanie Lotki
Liczba ludności
É
N(t) = B(t - a) p(a)da
+"
0
N(a)  liczba urodzonych w
momencie t-a, którzy dożyli
wieku a w momencie t
Równanie Lotki
Dla rzeczywistego pierwiastka Á, równanie
B(t) = QÁeÁt
Pozwala na przekształcenie równania:
É
N(t) = B(t - a) p(a)da
+"
0
na następujące:
É
-Áa
N(t) = QÁeÁt
+"e p(a)da
0
Równanie Lotki
Innymi słowy:
N(t) = KeÁt
Istotny właściwy współczynnik
stała
przyrostu naturalnego w populacji
(the population s intrinsic rate of
natural increase (or intrinsic
growth rate)).
Populacja ustabilizowana
W rezultacie, ten jedyny rzeczywisty pierwiastek
fundamentalnego równania Lotki pozwala nam w
pełni określić charakterystyki populacji
ustabilizowanej
1
Współczynnik
b =
Á
É
urodzeń
- Á a
e p ( a ) da
+"
0
cÁ (a) = bÁe-Áa p(a)
Struktura populacji
É
-Áa
1 =
+"e p(a)m(a)da
0
Istotny współczynnik przyrostu (współczynnik Lotki)
W celu otrzymania konkretnych oszacowań tych charakterystyk z
danej funkcji umieralności (mortality function) p(a) i danej funkcji
płodności (macierzyństwa) (fertility function) m(a), należy
rozwiązać ostatnie z tych trzech równań, które da wartość
istotnego współczynnika przyrostu (intrinsic growth rate) (Á).
É
-Áa
1 =
+"e p(a)m(a)da
0
Zaproponowane zostały różne metody, jedna z nich jest
następująca:
R0  współczynnik reprodukcji
loge R0
r E"
netto
µ1
ź1  średni wiek urodzenia
dziecka
Przykład Płodność (Polska 2008)
Grupa Cząstkowe p(a) - m(a)- funkcja macierzyństwa
wieku współczynniki prawdopodobieńst (współczynnik urodzonych
płodności wo dożycia danej dziewczynek przez matki w
(ASFRs) grupy wieku przez danej grupie wieku)
noworodka
0,016 0,9921 0,00784
15-19
0,061 0,9907 0,02989
20-24
0,096 0,9894 0,04704
25-29
0,073 0,9875 0,03577
30-34
0,028 0,9847 0,01372
35-39
0,006 0,9796 0,00294
40-44
0 0,9704 0
45-49
X X
0,280
suma
49
Udział dziewczynek wśród
TFR = 5 ASFR = 5*0,28 = 1,4
"
15
noworodków = 0,49
49 49
GRR =
"m(a) = "0,49ASFR =0,49TFR = 0,686
15 15
Przykład Płodność (Polska 2008)
p(a)m(a)
Grupa m(a)- funkcja macierzyństwa p(a) -
wieku (współczynnik urodzonych prawdopodobieństwo
dziewczynek przez matki w dożycia danej grupy
danej grupie wieku) wieku przez noworodka
0,00784 0,9921 0,0159
15-19
0,02989 0,9907 0,0604
20-24
0,04704 0,9894 0,0950
25-29
0,03577 0,9875 0,0721
30-34
0,01372 0,9847 0,0276
35-39
0,00294 0,9796 0,0059
40-44
0 0,9704 0
45-49
X X 0,6782
suma
49
R0 = NRR = p(a)m(a)
"
15
Przykład Płodność (Polska 2008)
Grupa Åšrodek CzÄ…stkowe
o
wieku przedziału współczynniki
a* ASFR * 5
płodności
o
(ASFRs)
a
TFR=1,4
17,5 0,016 1,400
15-19
22,5 0,061 6,863
20-24
27,5 0,096 13,200
25-29
32,5 0,073 11,863
30-34
37,5 0,028 5,250
35-39
42,5 0,006 1,275
40-44
47,5 0 0
45-49
0,280 39,85
suma X
39,85
49 49
µ1 = = 28,46
"age* ASFR 5"age* ASFR
1,4
15 15
µ1= =
49
TFR
Åšredni wiek w momencie urodzenia
ASFR
"
dziecka
15
Współczynnik przyrostu naturalnego
Lotki (Polska 2008)
loge R0
R0 = 0,6782
r E"
µ1
µ1 = 28,46
loge 0,6782
r E" = -0,0136
28,46
Porównanie struktury populacji w 2008 i
struktury populacji ustabilizowanej
Polska 2008 Populacja ustabilizowana
Grupa
wieku
ogółem M K ogółem M K
15,38% 16,33% 14,49% 11,94% 13,04% 10,97%
0-14
71,15% 73,15% 69,29% 59,16% 62,79% 55,96%
15-64
13,47% 10,52% 16,22% 28,90% 24,17% 33,07%
65 i +
Median
37,47 35,49 39,50 49,59 46,55 52,48
a wieku
Indeks
87,56 242,07
starości
Indeks starości (ageing index)  liczba osób w wieku 65 lub więcej
na 100 osób młodych (w wieku poniżej 15 lat).
Literatura
" J.Z.Holzer, Demografia, PWE, Warszawa 2003 (rozdział 11).
" J. Kurkiewicz, 2010, Procesy demograficzne i metody ich
analizy, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Kraków
(rozdział 8).
" Caselli, G., J. Vallin, G. Wunsch, 2006, Demography. Analysis
and Synthesis, Elsevier, vol. 1, rozdziały 3 i 20.
" Preston, S., P. Heuveline, M. Guillot. 2001. Demography.
Modeling and Measuring Population Processes, Blackwell
Publishing (rozdział 7).
" Marcu M., 2011, Population grows in twenty EU Member
States, Statistics in focus 38/2011.
Reklama :&
:&
:&
:&
Zapraszamy na wykłady:
Metody analizy demograficznej
oraz
Społeczno-ekonomiczne
konsekwencje zmian demograficznych
Ogłoszenie/ Reklama
Koło Statystyki i Demografii  reaktywacja.
Kontakt:
Anna Rybińska
mail: [e-mail]
W wolnej chwili&
http://www.ined.fr/en/everything_about_popul
ation/animations/world_population/