EKONOMETRIA
WYKA
ADY 2009/2010
Przedmiot i cel ekonometrii
Pawłowski (1978): Ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w
zjawiskach ekonomicznych, za pomocą odpowiednio wyspecjalizowanego aparatu matematyczno-
statystycznego.
Chow (1995): Ekonometria jest nauką i sztuką stosowania metod statystycznych do mierzenia relacji
ekonomicznych.
Z tych definicji wynika, że ekonometria zajmuje się analizą ekonomicznych. Ze względu na złożonośd tych
zjawisk i skomplikowany charakter powiązao między nimi, zachodzi koniecznośd stosowania metod
ilościowych.
Celem ekonometrii jest analiza ilościowa systemu ekonomicznego i w konsekwencji dostarczanie
decydentom informacji potrzebnych do przewidywania i sterowania procesami gospodarczymi.
Model ekonometryczny  jest podstawowym narzędziem w ekonometrii, wykorzystywanym do analizy
zależności zachodzących między zjawiskami. Stanowi on formalną konstrukcję, która za pomocą
pojedynczego równania bądz
układu równao opisuje zasadnicze powiązania
pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi (Pawłowski).
Ogólna postad modelu:
5�L� = 5�S� 5�K�1, 5�K�2, & , 5�K�5�X�, 5��
5�L�  zmienna objaśniana modelu
5�K�1, 5�K�2  zmienne objaśniające
5��  składnik losowy
5�S�  postad analityczna funkcji obrazującej zależnośd pomiędzy zmienną objaśnianą, a zmiennymi
objaśniającymi oraz składnikami losowymi.
Rodzaje danych statystycznych
I. Dane przekrojowe (5�f�5�V�, 5�V� = 1, 2, & , 5�A�). Dotyczą zbioru obiektów ekonomicznych (np. przedsiębiorstw)
w jednej jednostce czasu.
II. Szeregi czasowe (5�f�5�a�, 5�a� = 1, 2, & , 5�G�). Dotyczą zbioru obiektów ekonomicznych w kolejnych
jednostkach czasu z ustalonego przedziału czasowego.
III. Dane panelowe (5�f�5�V�5�a� , 5�V� = 1, 2, & , 5�A�; 5�a� = 1, 2, & , 5�G�). Dotyczą zbioru obiektów w kolejnych jednostkach
czasu.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 1 Wykłady 2009/2010
Rodzaje zmiennych w modelu
Zmienne endogeniczne  zjawisko wyjaśniane przez model
Zmienne egzogeniczne  zjawisko nie wyjaśniane przez model
Zjawiska endogeniczne i egzogeniczne mogą byd opóz
nione lub nieopóz
nione (bieżące).
Zmienne objaśniane  wyjaśniane przez zmienne objaśniające w równaniach modelu, w ich roli występują
nieopóz
nione zmienne endogeniczne.
Zmienne objaśniające  wyjaśniają zmienne objaśniane w równaniach modelu, w ich roli występują
opóz
nione zmienne endogeniczne lub opóz
nione i nieopóz
nione zmienne egzogeniczne.
nieopóz
nione objaśniane
endogeniczne
opóz
nione
zmienne
nieopóz
nione
nieobjaśniane
egzogeniczne
opóz
nione
Składnik losowy i jego własności
Składnik losowy uwzględniany jest w modelu, by wyjaśnid rozbieżnośd pomiędzy zaobserwowanymi
metodami zmiennej objaśnianej, a wartościami teoretycznymi wynikającymi z teoretycznej konstrukcji
modelu.
Składnik zakłócający jest zmienną losową i charakteryzuje się określonym rozkładem prawdopodobieostwa.
Składnik losowy jest ważnym elementem modelu ekonometrycznego, a własności jego rozkładu
prawdopodobieostwa podlegają dokładnemu badaniu.
Przyczyny występowania składnika losowego
ż� błąd specyfikacji, czyli pominięcie istotnej zmiennej lub włączenie zmiennej nieistotnej
ż� błąd aproksymacji, czyli przyjęcie niewłaściwej postaci analitycznej funkcji błąd pomiaru zmiennych
ekonomicznych
ż� czynniki losowe wpływające na zmienną endogeniczną i wynikający z tego losowy charakter
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 2 Wykłady 2009/2010
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
I. Ze względu na liczbę równao w modelu
a. jednorównaniowe
b. wielorównaniowe
II. Ze względu na postad analityczną
a. liniowe
b. nieliniowe, sprowadzalne do liniowych
c. nieliniowe, niesprowadzalne do liniowych
III. Ze względu na udział czynnika czasu
a. statyczne, nie uwzględniające czynnika czasu, w których nie występuje zmienna czasowa ani
zmienne opóz
nione
b. dynamiczne, uwzględniające czynnik czasu, w których występują zmienna czasowa lub
zmienne opóz
nione
IV. Ze względu na charakter poznawczy
a. przyczynowo-skutkowe, opisowe, wyrażające związki przyczynowo-skutkowe pomiędzy
zmiennymi
b. symptomatyczne, równanie lub częśd równania nie ma interpretacji przyczynowo skutkowej,
w której zmiennymi objaśniającymi są zmienne skorelowane w sensie statystycznym ze
zmiennymi objaśniającymi
c. tendencji rozwojowej, trendu, w których rolę zmiennej objaśniającej pełni zmienna czasowa
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
I. Określenie celu i zakresu badania
II. Specyfikacja modelu
a. określenie badanego zjawiska  zmiennej endogenicznej
b. dobór zmiennych objaśniających spośród czynników wpływających na zmienną objaśnianą
c. wybór postaci analitycznej, czyli określonej funkcji matematycznej, wyrażającej zależnośd
między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi
III. Zebranie i opracowanie danych statystycznych
IV. Szacowanie parametrów modelu
V. Weryfikacja modelu pod względem formalnym (spełnienie założeo) oraz merytorycznym
VI. Praktyczne zastosowanie modelu, a więc wykorzystywanie go do analizy ekonomicznej i
prognozowania
Prognozowanie na podstawie modeli ekonometrycznych
Prognozowanie ekonometryczne prowadzone jest na podstawie modelu wyjaśniającego kształtowanie się
badanej zmiennej endogenicznej. Punktem wyjścia jest dobór odpowiedniego modelu. Do najczęściej
wykorzystywanych modeli zaliczamy:
a. klasyczne modele tendencji rozwojowej
b. jednorównaniowe modele typu przyczynowo-skutkowego
c. modele symptomatyczne o charakterze autoregresyjnym
d. adaptacyjne
e. wielorównaniowe
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 3 Wykłady 2009/2010
Zastosowanie klasycznych modeli tendencji rozwojowej polega na ekstrapolacji funkcji trendu 5�S�(5�a�). W tej
metodzie wymagane jest przyjęcie założenia o stabilności przyjętej lub oszacowanej funkcji trendu, tak aby
jej postad analityczna i parametry nie uległy istotnej prognozy obarczone są dużymi błędami.
Jednorównaniowe modele przyczynowo-skutkowe pozwalają na budowę średnio i długookresowych
prognoz. Ich przydatnośd zależy od wyników etapów cząstkowych. Prawidłowo przeprowadzone etapy dają
możliwośd uzyskania trafnych prognoz.
Modele symptomatyczne o charakterze autoregresyjnym wykorzystywane są, gdy występują problemy
związane z doborem zmiennych objaśniających. Są one podstawą budowy prognoz krótkookresowych.
Modele adaptacyjne znajdują zastosowanie w sytuacji, gdy spełnione są założenia o niezmienności
mechanizmu rozwojowego badanych zjawisk dla modeli tendencji rozwojowej i modeli przyczynowo-
skutkowych. Charakteryzują się dużą elastycznością i możliwościami dostosowawczymi.
Modele wielorównaniowe są stosowane w przypadku zjawisk złożonych, które charakteryzują się
wielokierunkowymi powiązaniami. Stanowią one podstawę głównie prognozowania makroekonomicznego.
Linowy model ekonometryczny
5�L� = 5���0 + 5���15�K�1 + 5���25�K�2 + & + 5���5�X�5�K�5�X� + 5��
5�L�  zmienna objaśniana
5�K�1, 5�K�2, & , 5�K�5�X�  zmienne objaśniające
5��  składnik losowy
5���0, 5���5�N�, & , 5���5�X�  parametry strukturalne, wyrażające liniowy wpływ zmiennych objaśniających na zmienną
objaśnianą
Dobór zmiennych objaśniających
W metodach doboru zmiennych punkt wyjścia stanowi zbiór potencjalnych zmiennych objaśniających
(5�K�1, 5�K�2, & , 5�K�5�X�).
Z tego zbioru wybierany jest podzbiór zmiennych, którego elementy będą charakteryzowały się:
ż� wysokim stopniem zmienności
ż� silnym skorelowaniem ze zmienną objaśnianą
ż� słabym skorelowaniem między sobą zmiennych w celu wyeliminowania zjawiska powtarzania się
informacji
ż� silnym skorelowaniem ze zmiennymi nie wchodzącymi do zespołu diagnostycznego, których są
reprezentantami
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 4 Wykłady 2009/2010
Wstępną ocenę przydatności zmiennych stanowi analiza stopnia ich zmienności. Selekcję zmiennych w tym
zakresie przeprowadza się przy pomocy współczynnika zmienności, który obliczany jest zgodnie z
następującym wzorem:
5�F�(5�e�5�V�)
5�I�5�V� = (5�V� = 1, 2, & , 5�Z�)
5�e�5�V�
5�e�5�V�  średnia arytmetyczna
5�F�(5�e�5�V�)  odchylenie standardowe zmiennej 5�e�5�V�
Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się te, dla których wielkośd współczynnika jest
mniejsza od przyjętej z góry wartości krytycznej 5�I�2 . Warunek ten zapisujemy w poniższy sposób:
5�I�5�V� < 5�I�2
Z kolei zmienne, dla których współczynnik jest większy od wartości krytycznej poddawane są dalszej analizie.
Stopieo korelacji pomiędzy zmiennymi ocenia się na podstawie współczynnika korelacji. Wzór na obliczanie
współczynnika korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi 5�K� i 5�L� jest następujący:
5�P�5�\�5�c�(5�e�, 5�f�) (5�e�5�V� - 5�e�)(5�f�5�V� - 5�f�)
5�_�5�e�5�f� = =
5�F� 5�e� 5�F�(5�f�)
(5�e�5�V� - 5�e�)2 (5�f�5�V� - 5�f�)2
Współczynnik korelacji zestawia się w wektor korelacji 5�y�5�\� oraz macierz korelacji 5�y� o postaci
5�_�1
1 5�_�11 �" 5�_�15�[�
5�_�2
5�_�21 1 �" 5�_�25�[�
5�y�5�\� = 5�y� =
�"
�" �" ń" �"
5�_�5�Z�
5�_�5�Z�1 5�_�5�Z�2 �" 1
gdzie:
5�_�5�V�  współczynnik korelacji między zmiennymi 5�K�5�V� i 5�L�
5�_�5�V�5�W�  współczynnik korelacji między zmiennymi 5�K�5�V� i 5�K�5�W�
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 5 Wykłady 2009/2010
Metoda wskaz
ników pojemności informacyjnej Hellwiga
Rozpatruje się wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, których liczba wynosi 2m-1.
Dla każdej kombinacji 5�6�5�`� (5�`� = 1, 2, & , 25�Z� - 1) oblicza się indywidualną pojemnośd informacyjną nośników
wchodzących w jej skład wg wzoru:
5�_�5�W�2 5�_�5�W�2
5�U�5�`�5�W� = lub 5�U�5�`�5�W� =
5�_�5�V�5�W�
1+ 5�_�5�V�5�W�
5�V�5�� 5�6�5�`� 5�V�5�� 5�6�5�`�
5�V�`"5�W�
Następnie wyznacza się integralną pojemnośd informacyjną dla wszystkich kombinacji 5�6�5�`�, zgodnie ze wzorem
5�;�5�`� = 5�U�5�`�5�W�
5�W� "5�6�5�`�
Indywidualne i integralne wskaz
niki pojemności informacyjnej unormowane są w przedziale [0,1]. Ich
wartośd jest tym wyższa, im zmienne objaśniające wchodzące w skład kombinacji są silniej skorelowane ze
zmienną objaśnianą oraz słabiej skorelowane między sobą.
Kryterium doboru kombinacji zmiennych stanowi wartośd integralnej pojemności informacyjnej, który jest
miarą zasobu informacji dostarczanej przez zmienne objaśniające o zmiennej objaśnianej. Do modelu
przyjmuje się tą kombinację, dla której wskaz
nik jest największy, czyli:
5�6�5�\�5�]�5�a� : 5�;�5�\�5�]�5�a� = max {5�;�5�`� = 5�`� = 1, 2, & , 25�Z� - 1}
Jako miarę zasobu informacji brakującej do pełnego wyjaśnienia zachowania zmiennej objaśnianej przez
daną kombinację zmiennych objaśniających można przyjąd dopełnienie integralnego wskaz
nika pojemności
informacyjnej do jedności, co zapisuje się następująco:
5�:�5�`� = 1 - 5�;�5�`�
Zaletą metody Hellwiga jest możliwośd wyboru zmiennych spośród wszystkich możliwych kombinacji. Wadą
jest duża pracochłonnośd, np. przy 6 potencjalnych zmiennych rozpatrywane są 63 kombinacje zmiennych.
Metoda współczynnika korelacji wielorakiej
Współczynnik korelacji wielorakiej wykorzystywany jest jako miara siły zależności liniowej pomiędzy zmienną
objaśniającą a zmiennymi objaśniającymi. Oblicza się go wg następującego wzoru:
det (5��)
5�E� = 1 -
det (5�y�)
gdzie:
1 5�y�5�G�
0
5�~� =
5�y�5��� 5�y�
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 6 Wykłady 2009/2010
Współczynnik korelacji wielorakiej przyjmuje wartości z przedziału *0,1+. Jego wartośd bliska jedności oznacza
silniejszy związek pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą. Jednakże należy pamiętad, że
wartośd WKW nigdy nie spada, jeśli dodawane są nowe zmienne objaśniające, niezależnie od tego czy mają
istotny wpływ na zmienną objaśnianą. Dlatego może byd on wykorzystywany jako kryterium doboru
zmiennych jedynie w przypadku jednakowo licznych kombinacji. Wybiera się kombinacje, dla których jest on
maksymalny.
Estymacja parametrów modelu liniowego
Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów
1) 5�f� = 5�K�5�N� + 5��
5�f�1
1 5�e�11 5�e�12 �" 5�e�15�X�
5�f�2
1 5�e�21 5�e�22 & 5�e�25�X�
5ؚ�[5�[�"1] = 5��[5�[�" 5�X�+1 ] = �" �" �" ń" �"
&
5�f�5�[�
1 5�e�5�[�1 5�e�5�[�2 �" 5�e�5�[�5�X�
5���0 5��1
5���1 5��2
5؂�[(5�X�+1)"1] = 5�:�[5�[�"1] =
& &
5���5�X� 5��5�[�
5ؚ�  wektor obserwacji na zmiennej objaśnianej 5�L�, zarejestrowane wartości są realizacjami zmiennej
losowej co oznacza, że jest to wektor losowy
5��  macierz wartości na zmiennych objaśniających, w kolejnych kolumnach znajdują się wartości
zmiennych objaśniających: 1, x1, x2, & , xk , pierwsza kolumna zawiera same jedynki, co wynika z
uwzględniania wyrazu wolnego
5؂�  wektor parametrów strukturalnych modelu
5�:�  wektor składników losowych
5�[�  liczba obserwacji na zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających
5�X�  liczba zmiennych objaśniających
W zapisie skalarnym model można zapisad w następujący sposób jako układ równao liniowych:
5�L�5�a� = 5���0 + 5���15�e�5�a�1 + �" + 5���5�X�5�e�5�a�5�X� + 5��5�a� (5�a� = 1, 2, & , 5�[�)
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 7 Wykłady 2009/2010
Każda zaobserwowana wartośd 5�f�5�a� (5�a� = 1, 2, & , 5�[�) zmiennej objaśniającej 5�L� jest liniową funkcją
zaobserwowanych wartości 5�e�5�a�1, & , 5�e�5�a�5�X� zmiennych objaśniających 5�e�1, & , 5�e�5�X� z dokładnością do
składnika losowego 5��5�a�.
2) 5�� jest znaną macierzą nielosową
Założenie to oznacza, że zmienne objaśniające nie są zmiennymi losowymi. Dla znanych z góry
wartości 5�e�5�a�1, & , 5�e�5�a�5�X� zmiennych objaśniających 5�e�1, & , 5�e�5�X� dokonuje się obserwacji zmiennej
objaśniającej 5�L�.
3) 5�_�5�g� 5�� = 5�X� + 1 d" 5�[�
Kolumny macierzy 5�� są liniowo niezależne, czyli wartości zmiennych objaśniających nie stanowią
liniowej kombinacji pozostałych zmiennych. Dodatkowo postawiony jest warunek co do liczby
obserwacji, która nie może byd mniejsza od k+1. Przyjęcie tego założenia wymagane jest z uwagi na
potrzebę wielokrotnego odwracania macierzy 5��5�G�5��.
4) 5�8� 5�:� = 0
Wartośd oczekiwana wektora losowego 5�:� jest wektorem zerowym 5���[5�[�"1]. Wartośd oczekiwana
odchyleo spowodowanych oddziaływaniem czynników przypadkowych powinna byd równa zero.
5) 5�7�2 5�� = 5�8� 5�:�5�:�5�{� = 5��25�p�
gdzie:
5�p�  macierz jednostkowa stopnia n (ma na przekątnej 1, a na pozostałych miejscach 0)
5��2  wariancja składnika losowego
5�7�2 5��  macierz wariancji i kowariancji wektora składników losowych (zwana w dalszej części
macierzą kowariancji)
Założenie to można podzielid na dwie części:
2
a) 5�7�2 5��5�V� = 5�8� 5��5�a� = 5��25�p� (5�a� = 1, 2, & , 5�[�)
Założenie o jednorodności wariancji składnika losowego. Jednorodnośd oznacza, że wariancja
składnika losowego jest stała i określona jest jako homoskedastycznośd.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 8 Wykłady 2009/2010
b) 5�P�5�\�5�c� 5��5�a�, 5��5�`� = 5�8� 5��5�a�, 5��5�`� = 0 (5�a� `" 5�`�)
5�P�5�\�5�c� 5��5�a�, 5��5�`� 0
5�]� 5��5�a�, 5��5�`� = = = 0 (5�a� `" 5�`�)
5�7�2 5��5�a� " 5�7�2 5��5�`� 5��2
Założenie o braku autokorelacji składników losowych różnych obserwacji. Kombinacje i
korelacje różnych obserwacji wynoszą zero. Wynika z tego, że pomiędzy składnikami
losowymi poszczególnych obserwacji nie istnieje zależnośd korelacyjna liniowa.
Założenia 1)  5) są założeniami klasycznej metody najmniejszych kwadratów.
Założenia 1)  4) powodują, że estymator otrzymany KMNK jest estymatorem liniowym, nieobciążonym i
zgodnym. Natomiast założenie 5) sprawia, że estymator jest również najefektywniejszy.
Dodatkowo wprowadza się następne założenie:
6) 5�:� ~ 5�A�5�[�(0, 5��25�<�)
Wektor składników losowych 5�:� ma n-wymiarowy rozkład normalny i wartością oczekiwaną będącą
wektorem zerowym oraz macierzą kowariancji 5��25�<�.
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
MNK polega na wyznaczeniu wektora ocen 5؂� parametrów strukturalnych 5���, w taki sposób aby suma
kwadratów odchyleo teoretycznych wartości zmiennej objaśniającej od empirycznych wartości była jak
największa.
5�f�5�a�  empiryczna wartośd zmiennej objaśnianej otrzymana na podstawie badania
5�f�5�a�  teoretyczna wartośd zmiennej objaśnianej obliczana jako:
5�f�5�a� = 5���0 + 5���15�e�5�a�1 + 5���25�e�5�a�2 + �" + 5���5�X�5�e�5�a�5�X� (5�a� = 1, 2, & , 5�[�)
5�R�5�a�  reszta dla obserwacji t, czyli różnica między wartością empiryczną a teoretyczną zmiennej objaśnianej,
szacowana wg wzoru:
5�R�5�a� = 5�f�5�a� - 5�f�5�a� (5�a� = 1, 2, & , 5�[�)
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 9 Wykłady 2009/2010
Zapis macierzowy równania dla wektora wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej oraz wektora reszt:
5ؚ� = 5��5؂� oraz 5�ą� = 5ؚ� - 5ؚ� = 5ؚ� - 5��5؂�
gdzie:
5���0 5�R�1
5�f�1
5���1 5�R�2
5�f�2
5ؚ�[5�[�"1] = 5؂�[(5�X�+1)"1] = 5�ą�[5�[�"1] =
�" �"
�"
5���5�X� 5�R�5�[�
5�f�5�[�
Funkcję celu 5�F�(5؂�) równą sumie kwadratu reszt zapisujemy następująco:
5�{�
5�F� 5؂� = 5�ą�5�G�5�ą� = 5ؚ� - 5��5؂� 5ؚ� - 5��5؂� = 5ؚ�5�{�5ؚ� - 5ؚ�5�{�5��5؂� - 5؂�5�{�5��5�{�5ؚ� + 5؂�5�{�5��5�{�5��5؂� = 5ؚ�5�{�5ؚ� - 25؂�5�{�5��5�{�5ؚ� + 5؂�5�{�5��5�{�5��5؂�
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji jest zerowanie się wektora pierwszych
pochodnych cząstkowych (gradientu):
5��5�F�(5؂�)
= -25��5�{�5ؚ� + 25��5�{�5��5؂� = 0
5��5؂�
Po przekształceniach otrzymujemy układ równao, zwany układem równao normalnych:
5��5�G�5��5؂� = 5��5�{�5ؚ�
Rozwiązując go względem 5؂� otrzymujemy wzór na estymator MNK:
5؂� = (5��5�{�5��)-5���5��5�{�5ؚ�
Warunkiem wystarczającym by uznad go za minimum, jest dodatnio określona macierz drugich pochodnych
(Hessianu):
5��5�F�2(5؂�)
= 25��5�{�5��
5��5؂�5��5؂�5�{�
Ponieważ macierz 5��5�{�5�� jest zawsze dodatnio określona, funkcja 5�F�(5؂�) osiąga w punkcie 5�N� minimum lokalne.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 10 Wykłady 2009/2010
Estymator wariancji składnika losowego
Nieobciążonym i zgodnym estymatorem wariancji składnika losowego 5�H�2 jest wariancja resztowa zadana
wzorem:
5�{� 5�[�
5ؚ� - 5��5؂� (5ؚ� - 5��5؂�) 5ؚ�5�{�5ؚ� - 5؂�5�{�5��5�{�5ؚ� 5�ą�5�G�5�ą� 5�ą�5���
5�a�=1 5�a�
5�F�2 = = = =
5�[� - 5�X� - 1 5�[� - 5�X� - 1 5�[� - 5�X� - 1 5�[� - 5�X� - 1
Odchylenie standardowe składnika resztowego oblicza się jako pierwiastek z wariancji, według wzoru:
5�F� = 5�F�2
Odchylenie standardowe składnika resztowego informuje o poziomie przeciętnego odchylenia
zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych tej zmiennej wyznaczonych z
modelu.
Estymator macierzy kowariancji estymatora 5؂� parametrów strukturalnych modelu
Macierz kowariancji estymatora 5�N�:
5�k�2 5؂� = 5��2(5��5�{�5��)-1
Nieobciążonym i zgodnym estymatorem kowariancji estymatora 5�N� parametrów strukturalnych modelu jest:
5�k�5��� 5؂� = 5�F�2(5��5�{�5��)-5���
W macierzy 5�k�5��� 5؂� elementy na głównej przekątnej są wariancjami estymatorów parametrów strukturalnych
5�k�5��� 5؂�5؊� .
Pierwiastki z wariancji estymatorów parametru:
5�k� 5؂�5؊� = 5�k�5��� 5؂�5؊� (5�V� = 1, 2, & , 5�X�)
są odchyleniami standardowymi estymatorów parametrów. Określa się je mianem średnich błędów
szacunku parametrów modelu i informują one o ile przeciętnie oceny parametrów strukturalnych uzyskane
na podstawie próby różnią się od nieznanych wartości parametrów w populacji.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 11 Wykłady 2009/2010
Średnie błędy szacunku parametrów odnoszą się do wartości bezwzględnej z ocen parametrów i w ten
sposób oblicza się względne błędy szacunku parametrów:
5�k� 5؂�5؊�
5�~� 5؂�5؊� = " 100% (5�V� = 1, 2, & , 5�X�)
5؂�5؊�
Ustalając z góry kryteria można dokonad oceny wielkości błędów i na tej podstawie ocenid jakośd
oszacowania parametrów.
Miary dopasowania modelu do danych empirycznych
1. Współczynnik determinacji, współczynnik zbieżności
Dla każdej obserwacji t (5�a� = 1, 2, & , 5�[�) można zapisad następującą tożsamośd:
5�f�5�a� - 5�f� = 5�f�5�a� - 5�f�5�a� + (5�f�5�a� - 5�f�)
Po odpowiednich przekształceniach można otrzymad
5�[� 5�[� 5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2 = (5�f�5�a� - 5�f�)2 = (5�f�5�a� - 5�f�5�a�)2
5�a�=1 5�a�=1 5�a�=1
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2  całkowita zmiennośd zmiennej objaśnianej, suma kwadratów odchyleo wartości
5�a�=1
empirycznych od siebie
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2  zmiennośd wyjaśniana przez model, suma kwadratów odchyleo wartości teoretycznych
5�a�=1
od średniej
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�5�a�)2  zmiennośd nie wyjaśniana przez model, suma kwadratów reszt
5�a�=1
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2 5�[� (5�f�5�a� - 5�f�5�a�)2
5�a�=1 5�a�=1
+ = 1
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2 5�[� (5�f�5�a� - 5�f�)2
5�a�=1 5�a�=1
5�E�2 5��2
0 d" 5�E�2, 5��2 d" 1
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 12 Wykłady 2009/2010
5�E�2  współczynnik determinacji; informuje jaka częśd całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej jest
wyjaśniana przez zmiennośd zmiennych objaśniających, dopasowanie modelu jest tym lepsze, im
współczynnik jest bliższy 1.
1
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�)2 5؂�5�{�5��5�{�5ؚ� - (5���5�G�5�f�)2
5�a�=1
5�[�
5�E�2 = = = 1 - 5��2
5�[�
1
(5�f�5�a� - 5�f�)2
5�a�=1
5ؚ�5�{�5ؚ� - (5���5�G�5�f�)2
5�[�
5��2  współczynnik zbieżności; informuje jaka częśd całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest
wyjaśniana przez zmiennośd zmiennych objaśniających, dopasowanie modelu jest tym lepsze, im
współczynnik jest bliższy 0.
5�[�
(5�f�5�a� - 5�f�5�a�)2 5�ą�5�{�5�ą� 5ؚ�5�{�5ؚ� - 5؂�5�{�5��5�{�5ؚ�
5�a�=1
5��2 = = = = 1 - 5�E�2
5�[�
1 1
(5�f�5�a� - 5�f�)2
5�a�=1
5ؚ�5�{�5ؚ� - (5���5�G�5�f�)2 5ؚ�5�{�5ؚ� - (5���5�G�5�f�)2
5�[� 5�[�
Suma kwadratów reszt zależy od liczby zmiennych objaśniających w modelu i nigdy nie rośnie (zwykle
maleje) wraz ze wzrostem liczny zmiennych objaśniających. Dlatego wartośd współczynnika determinacji
nigdy nie będzie malała (zwykle będzie rosła) wraz z dodawaniem nowych zmiennych objaśniających,
niezależnie od tego czy dana zmienna istotnie czy nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą.
Dodatkowo w przypadku małej liczby szacowanych parametrów, suma kwadratów jest mała i powoduje,
że obraz dopasowania jest zbyt optymistyczny  w takich sytuacjach stosuje się skorygowane o liczbę
stopni swobody współczynniki zbieżności i determinacji.
5�[� - 1 5�X�
5��2 = 5��2 5�E�2 = 1 - 5��2 = 5�E�2 - (1 - 5�E�2)
5�[� - 5�X� - 1 5�[� - 5�X� - 1
Wadą powyższych współczynników jest brak ich unormowania, co utrudnia ich interpretację i ocenę
dopasowania modelu.
2. Współczynnik zmienności resztowej
5�F�
5�J� = " 100%
5�f�
Informuje jaki procent średniej wartości zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe reszt
modelu. Dopasowanie modelu do danych empirycznych jest tym lepsze, im 5�J� jest bliższy 0.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 13 Wykłady 2009/2010
Predykcja na podstawie liniowego modelu ekonometrycznego
Prognozy ilościowe mogą byd dwojakiego rodzaju: punktowe lub przedziałowe. Prognoza punktowa jest
liczbą uznaną za najwiarygodniejszą ocenę wartości zmiennej w okresie prognozowanym (zasada
największego prawdopodobieostwa) lub jest równa wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej (zasada
predykcji nieobciążonej). Prognoza przedziałowa jest przedziałem liczbowym, który ze z góry zadanym
prawdopodobieostwem (wiarygodnośd prognozy) pokrywa wartośd zmiennej w okresie prognozowanym.
Prognoza punktowa zmiennej endogenicznej w okresie T wyznacza się wg wzoru:
" " " "
5�L�5�G� = 5��� + 5���15�e�15�G� + 5���25�e�25�G� + �" + 5���5�X�5�e�5�X�5�G�
gdzie
" " "
5�e�15�G�, 5�e�25�G�, & , 5�e�5�X�5�G�  wartości zmiennych objaśniających w okresie T.
Prognozę punktową można również wyznaczyd ze wzoru macierzowego
"
5�L�5�G� = 5ؙ�5�G�5؂�
5�G�
gdzie
" " "
1 5�e�15�G� 5�e�25�G� �" 5�e�5�X�5�G�
5ؙ�5�G� =
5�G�
Wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
W przypadku prognoz wyznaczanych na podstawie modelu ekonometrycznego istotną rzeczą jest, by przyjąd
właściwe wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozy, ponieważ przyjęcie trafnych wartości
zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym zapewnia najlepszą prognozę zmiennej prognozowanej
(najbliższą realizacji względnej).
W niektórych przypadkach wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym są zmiennymi
decyzyjnymi. W tej sytuacji ich wartośd zależy od planów przyjętych przez odpowiednie podmioty. Jeżeli
prognozy mają charakter makroekonomiczny, wartości niektórych zmiennych objaśniających ustalane są
przez odpowiednie organy rządowe lub inne instytucje centralne. Natomiast jeżeli prognozowanie odbywa
się na szczeblu mikroekonomicznym, poziom niektórych zmiennych objaśniających przyjmowany jest przez
decydentów odpowiedzialnych za budżetowanie w przedsiębiorstwach.
Wartości zmiennych objaśniających mogą byd również prognozowane za pomocą innych modeli
ekonometrycznych. W tym przypadku najczęściej wykorzystywane są modele autoregresyjne oraz modele
tendencji rozwojowej dla tych zmiennych.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 14 Wykłady 2009/2010
Modele szeregów czasowych
Kształtowanie zjawisk ekonomicznych w czasie jest wypadkową działania przyczyn głównych oraz
przypadkowych. W stosunkowo długim okresie czasu przyczyny główne wpływają na zarysowanie się
tendencji rozwojowej (trendu) badanego zjawiska. W szczególnym przypadku, gdy długookresowa analiza nie
dowodzi zarysowania się wyraz
nej tendencji, mamy do czynienia ze stałym poziomem zjawiska w czasie.
Poza tendencją rozwojową na zmiany w poziomie zjawiska wpływa okresowośd. Wahania okresowe
ujawniają się co pewien okres podobnymi co do wielkości zmianami poziomów badanego zjawiska. Odstęp
czasu, w którym występują wszystkie fazy wahao, określany jest mianem cyklu. Najczęściej występującym
cyklem jest cykl roczny i wtedy wahania nazywane są wahaniami sezonowymi. Z kolei wahania
nieprzypadkowe (losowe) są efektem działania czynników o nieprzewidywalnym charakterze i powodują one
odchylenia w różnych kierunkach z różną siłą.
Równanie opisujące kształtowanie się określonego zjawiska jako funkcję trendu nosi nazwę modelu
tendencji rozwojowej.
Model tendencji rozwojowej
MTR jest modelem, w którym rolę zmiennej objaśniającej pełni zmienna czasowa 5�a�. Znajduje on
zastosowanie, gdy w szeregu czasowym można wyodrębnid tendencję rozwojową oraz wahania
przypadkowe. Postad analityczną tego modelu najczęściej dobiera się na podstawie analizy rozkładu punktów
empirycznych, odpowiadających zaobserwowanym realizacjom zmiennej objaśnianej w kolejnych okresach w
układzie współrzędnych. W ten sposób określa się jej matematyczną funkcję najlepiej pasującą do kształtu
rozkładu punktów empirycznych.
Najprostszą postacią modelu jest postad liniowa:
5�L� = 5���0 + 5���1 " 5�a� + 5��5�a�
Do oszacowania parametrów liniowego modelu tendencji rozwojowej wykorzystuje się następujący
estymator:
5؂� = (5�{�5�{�5�{�)-5���5�{�5�{�5ؚ�
Weryfikacja MTR odbywa się zgodnie z regułami dotyczącymi modelu ekonometrycznego.
Predykcja na podstawie modelu tendencji rozwojowej
Ekstrapolacja funkcji trendu może byd wykorzystywana do sporządzania prognoz w przypadku, gdy postad
analityczna funkcji trendu i wartośd jej parametrów strukturalnych w okresie 5�G�, na której dokonuje się
prognozy, nie mogą ulec istotnej zmianie w porównaniu z okresem, którego dotyczyły informacje liczbowe
służące do oszacowania funkcji trendu. W przypadku istotnych zmian w kształtowaniu się zjawisk,
zastosowanie ekstrapolacji trendu może przynieśd duże błędy.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 15 Wykłady 2009/2010
Prognozę punktową zmiennej endogenicznej w okresie 5�G� wyznacza się wg wzoru:
"
5�f�5�G� = 5���0 + 5���1 " 5�G�
Miary dokładności predykcji ex ante
Ostatnim etapem predykcji jest ocena dokładności prognoz. Ocena taka może byd dokonywana na podstawie
błędów prognozy ex ante. Mierniki te pozwalają na oszacowanie oczekiwanej wielkości odchylenia prognozy
od rzeczywistej wartości zmiennej prognozowanej.
W przypadku modelu ekonometrycznego bezwzględny błąd prognozy punktowej ex ante szacuje się
następująco:
I sposób
5�7�5�G� = 5�F�2 + 5ؙ�5�{�5�k�5��� 5؂� 5ؙ�5�G� = 5�F� 1 + 5ؙ�5�{�(5��5�{�5��)-15ؙ�5�G�
5�{� 5�{�
" " "
1 5�e�15�G� 5�e�25�G� �" 5�e�5�X�5�G�
5ؙ�5�{� =
5�{�
II sposób
5�X� 5�X�-1
2
5�7�5�G� = 5�e�5�V�5�G�5�7�2 5���5�V� + 2 5�e�5�V�5�G�5�e�5�W�5�G� " 5�P�5�\�5�c� 5���5�V� > 5���5�W� + 5�F�2
5�V�=0 5�V�=0 5�W� >5�V�
W przypadku modelu tendencji rozwojowej, bezwzględny błąd prognozy punktowej ex ante wyznacza się
następująco:
I sposób
1 (5�G� - 5�a�)2
5�7�5�G� = 5�F� 1 + +
5�[�
5�[�
(5�a� - 5�a�)2
5�a�=1
II sposób
5�7�5�G� = 5�F�2 + 5�7�2 5���0 + 5�G�25�7�2 5���1 + 25�G� " 5�P�5�\�5�c� 5���5�V� > 5���5�W�
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 16 Wykłady 2009/2010
Ocenę wielkości błędu predykcji przeprowadza się na podstawie względnego błędu prognozy ex ante, który
oblicza się wg wzoru:
5�7�5�G�
5�I�5�G� = " 100%
"
5�f�5�G�
Ustalając z góry kryteria można dokonad oceny wielkości błędów i na tej podstawie ocenid dopuszczalnośd
wyznaczonych prognoz.
Modele optymalizacyjne
Osiągnięcie określonego celu ekonomicznego wymaga podjęcia odpowiednich decyzji odnośnie
zaangażowania określonych zasobów. W przypadku wystąpienia więcej niż jednego wariantu decyzyjnego
mówimy o istnieniu problemu decyzyjnego. Decyzja, która jest najlepsza z punktu widzenia przyjętego celu,
oraz występujących ograniczeo nazywana jest decyzją optymalną.
Model służący do rozwiązywania problemu decyzyjnego, nazywany jest modelem decyzyjnym lub modelem
optymalizacyjnym. Dziedziną zajmującą się rozstrzyganiem problemów decyzyjnych określa się mianem
badao operacyjnych. Ważną klasą modeli optymalizacyjnych są modele programowania matematycznego, a
w szczególności ich podklasa  programy liniowe.
Charakterystyczną cechą programów liniowych jest występowanie w nich liniowych warunków
ograniczających oraz liniowej funkcji celu. Jeżeli w modelach optymalizacyjnych występuje co najmniej jeden
nieliniowy warunek ograniczający lub nieliniowa funkcja celu, taki model określany jest mianem modelu
nieliniowego.
Konstrukcja modeli programowania matematycznego
Zmienne decyzyjne 5�e�1, 5�e�2, & , 5�e�5�[� odpowiadają wielkości ograniczonych zasobów, które mogą zostad
wykorzystane w do osiągnięcia zamierzonego celu. Optymalna wartośd tych zmiennych ustalana jest przy
rozwiązywaniu problemu decyzyjnego. Dowolny wektor n-wymiarowy, którego współrzędnymi są wartości
zmiennych decyzyjnych:
5�e�1 5�e�2 �" 5�e�5�[� 5�G�
5�� =
nazywany jest decyzją.
Warunki ograniczające są restrykcjami nałożonymi na zmienne decyzyjne, które wynikają z ograniczoności
zasobów oraz zobowiązao decydentów. Warunki ograniczające dzielą się na warunki elementarne i
nieelementarne.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 17 Wykłady 2009/2010
Warunki elementarne są to warunki typu:
5�e�5�W� > 0 dla 5�W� = 1, 2, & , 5�[�1
5�e�5�W� < 0 dla 5�W� = 5�[�1 + 1, 5�[�1 + 2, & , 5�[�2
5�e�5�W� " ! dla 5�W� = 5�[�2 + 1, 5�[�2 + 2, & , 5�[�
Pozostałe warunki określane są jako warunki nieelementarne.
Warunki nieelementarne są to warunki typu:
5�T�5�V� 5�e� d" 5�O�5�V� dla 5�V� = 1, 2, & , 5�Z�1
5�T�5�V� 5�e� e" 5�O�5�V� dla 5�V� = 5�Z�1 + 1, 5�Z�1 + 2, & , 5�Z�2
5�T�5�V� 5�e� = 5�O�5�V� dla 5�V� = 5�Z�2 + 1, 5�Z�2 + 2, & , 5�Z�
gdzie:
5�T�5�V� 5�e�  funkcja określona na wektorze zmiennych decyzyjnych 5ؙ�.
Zbiór decyzji 5�� spełniających warunki ograniczające nazywany jest zbiorem decyzji dopuszczalnych 5�7�.
Funkcja celu 5�S�(5�e�) jest sformalizowanym zapisem celu do którego dąży decydent przy użyciu posiadanych
zasobów. W procesie decyzyjnym dokonywana jest optymalizacja funkcji celu, która polega na jej
maksymalizacji lub minimalizacji, co zapisuje się następująco:
5�S�(5�e�) 5�Z�5�N�5�e� lub 5�S�(5�e�) 5�Z�5�V�5�[�
Zadanie programowania matematycznego polega na znalezieniu takiego punktu (punktów) 5ؙ�0 należącego do
zbioru 5�7�, w którym funkcja 5�S� osiąga wartośd maksymalną:
5�7�5ؐ�5�ę�5ؕ� = {5ؙ�0 " 5�7�: 5�S�(5�e�) d" 5�S�( 5ؙ�0)}
5�e�"5�7�
lub minimalną:
5�7�5ؐ�5�ę�5ؕ� = {5ؙ�0 " 5�7�: 5�S�(5�e�) e" 5�S�( 5ؙ�0)}
5�e�"5�7�
Punkt (punkty) tworzy zbiór decyzji optymalnych.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 18 Wykłady 2009/2010
Szczególny przypadek zadao programowania matematycznego stanowią zadania programowania liniowego.
Mamy z nim do czynienia, gdy funkcje 5�S� oraz 5�T�5�V� dla 5�V� = 1, 2, & , 5�Z� są liniowe:
5�[�
5�S� 5�e�1, 5�e� 2, & , 5�e�5�[� = 5�P�5�W� 5�e�5�W�
5�W� =1
5�[�
5�T�5�V� 5�e�1, 5�e� 2, & , 5�e�5�[� = 5�N�5�V�5�W� 5�e�5�V� dla 5�V� = 1, 2, & , 5�Z�
5�W� =1
przy czym 5�N�5�V�5�W� dla 5�V� = 1, 2, & , 5�Z�; 5�W� = 1, 2, & , 5�[� są współczynnikami warunków organizacyjnych, a parametry
5�P�5�W� dla 5�W� = 1, 2, & , 5�[� określane są jako współczynniki funkcji celu.
Każdy program liniowy można sprowadzid do postaci klasycznej
5�P�15�e�1 + 5�P�25�e�2 + �" + 5�P�5�[�5�e�5�[� 5�Z�5�N�5�e�
5�N�115�e�1 + 5�N�125�e�2 + �" + 5�N�15�[�5�e�5�[� d" 5�O�1
5�N�215�e�1 + 5�N�225�e�2 + �" + 5�N�25�[�5�e�5�[� d" 5�O�2
�"
5�N�5�Z�15�e�1 + 5�N�5�Z�25�e�2 + �" + 5�N�5�Z�5�[� 5�e�5�[� d" 5�O�5�Z�
5�e�1 + 5�e�2 + �" + 5�e�5�[� d" 0
Zapis macierzowy postaci klasycznej:
5�j�5�G�5ؙ� 5�Z�5�N�5�e�
5�h�5ؙ� d" 5؃�
5ؙ� e" 5���
gdzie 5ؙ� jest wektorem zmiennych decyzyjnych, 5�h� jest macierzą współczynników warunków ograniczających,
5؃� jest wektorem wyrazów wolnych warunków ograniczających, 5��� jest wektorem zerowym (5؂� d" 5؃� oznacza,
że współrzędne wektora 5؂� są nie większe, niż odpowiadające im współrzędne wektora 5؃�).
Przy kryterium maksymalizacji, nieelementarne warunki ograniczające są nierównościami typu  d"
(nierówności typowe), a przy kryterium minimalizacji nierównościami typu  e" (nierówności typowe).
Natomiast warunki nieelementarne w obydwu przypadkach zakładają nieujemności zmiennych (nierówności
typowe).
Inną ważną postacią zadania programowania liniowego jest postad standardowa, w której wszystkie warunki
mają postad równości i na wszystkie zmienne decyzyjne nałożony jest warunek nieujemności. Każde zadanie
w postaci klasycznej można sprowadzid do postaci standardowej poprzez odpowiednie przekształcenie
warunków nieelementarnych.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 19 Wykłady 2009/2010
Sprowadzanie do postaci standardowej
W przypadku warunku:
5�T�5�V� 5ؙ� d" 5�O�5�V�
Należy do lewej strony dodad zmienną swobodną 5�e�5�[�+1:
5�T�5�V� 5ؙ� + 5�e�5�[�+1 = 5�O�5�V�
W przypadku warunku:
5�T�5�V� 5ؙ� e" 5�O�5�V�
Należy od lewej strony odjąd zmienną swobodną 5�e�5�[�+1:
5�T�5�V� 5ؙ� - 5�e�5�[�+1 = 5�O�5�V�
W pierwszym przypadku zmienną swobodną 5�e�5�[�+1 określa się jako zmienną niedoboru, natomiast w drugim
przypadku zmienną nadmiaru. Zmienna ta również spełnia warunek nieujemności.
Etapy formułowania zadania programowania matematycznego
1. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych
2. Ustalenie wielkości parametrów
3. Sformułowanie funkcji celu
4. Sformułowanie warunków ograniczających
Klasy problemów decyzyjnych
W zależności od rodzaju problemu decyzyjnego, jego funkcji celu oraz warunków ograniczających będziemy
rozpatrywad następujące klasy problemów decyzyjnych:
a) optymalizacja struktury produkcji
b) problem mieszanek
c) wybór procesu technologicznego
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 20 Wykłady 2009/2010
a) optymalizacja struktury produkcji
Optymalizacja struktury produkcji polega na określeniu rodzaju oraz ilości wyrobów jakie powinno
produkowad przedsiębiorstwo przy posiadanych zasobach produkcji oraz innych ograniczeniach, aby
zmaksymalizowad zysk albo przychody ze sprzedaży.
Przykład.
Przedsiębiorstwo MPJ produkuje dwa wyroby 5�J�1 i 5�J�2, do wytwarzania których wykorzystuje dwa
limitowane surowce 5�F�1 i 5�F�2. Limity miesięcznego zużycia surowców wynoszą: 5�F�1  2100 kg , 5�F�2  2600
kg. Jednostkowe zużycie tych surowców do produkcji poszczególnych wyrobów podane są w poniższej tabeli.
wyroby
surowce
5�J�1 5�J�2
5�F�1 6 3
5�F�2 4 4
Zysk osiągany na jednostce wyrobu 5�J�1 wynosi 40 zł, a na jednostce wyrobu 5�J�2 wynosi 50 zł. Ile wyrobów
miesięcznie ma produkowad przedsiębiorstwo, aby osiągnąd maksymalny zysk?
Zmienne decyzyjne:
5�e�1  miesięczna produkcja wyrobu 5�J�1 (w szt.)
5�e�2  miesięczna produkcja wyrobu 5�J�2 (w szt.)
5�S� 5�e�1, 5�e�2 = 405�e�1 + 505�e�2 5�Z�5�N�5�e�
65�e�1 + 35�e�2 d" 2100 ; 45�e�1 + 45�e�2 d" 2600
5�e�1, 5�e�2 e" 0
b) problem mieszanek
Problem mieszanek polega na określeniu rodzaju oraz ilości surowców jakie należy zakupid, aby otrzymad
produkt o podanym składzie przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.
Przykład.
Racjonalne odżywianie wymaga przyjmowania dwóch składników odżywczych w odpowiednich ilościach: 5�F�1
 co najmniej 2 kg miesięcznie oraz 5�F�2  co najmniej 2,5 kg miesięcznie. Zawartośd tych składników w trzech
produktach odżywczych przedstawia tabela:
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 21 Wykłady 2009/2010
Zawartośd składników odżywczych w 1 kg produktu
Składniki odżywcze
5�C�1 5�C�2 5�C�3
5�F�1 0,2 0,15 0,1
5�F�2 0,05 0,1 0,2
Wiedząc, że ceny poszczególnych produktów wynoszą: 5�C�1  30 zł, 5�C�2  50 zł oraz 5�C�3  40 zł dobrad optymalne
ilości produktów, tak aby zminimalizowad koszt stosowania diety.
Zmienne decyzyjne:
5�e�1  waga produktu 5�C�1 (w kg)
5�e�2  waga produktu 5�C�2 (w kg)
5�e�3  waga produktu 5�C�3 (w kg)
5�S� 5�e�1, 5�e�2, 5�e�3 = 305�e�1 + 505�e�2 + 405�e�3 5�Z�5�V�5�[�
0,25�e�1 + 0,155�e�2 + 0,15�e�3 e" 2
0,05 + 0,15�e�2 + 0,25�e�3 e" 2,5
5�e�1, 5�e�2,, 5�e�3 e" 0
c) wybór procesu technologicznego
Wybór procesu technologicznego polega na określaniu skali zastosowania możliwych procesów
wytwórczych, aby wyprodukowad określone ilości produktów przy możliwie najniższych kosztach.
Przykład.
Przedsiębiorstwo MWM produkuje dwa wyroby 5�J�1 i 5�J�2, do wytwarzania których wykorzystuje cztery
rodzaje płyt: 5�C�1, 5�C�2, 5�C�3 i 5�C�4. Ilośd możliwych do uzyskania wyrobów oraz odpad z poszczególnych rodzajów
płyt zawiera poniższa tabela:
Płyty
Wyroby
5�C�1 5�C�2 5�C�3 5�C�4
5�J�1 6 4 3 0
5�J�2 1 2 4 6
Odpad (w m2) 0,3 0,5 0,4 0,6
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 22 Wykłady 2009/2010
Dobrad optymalną dostawę płyt potrzebnych do wyprodukowania co najmniej 1500 szt. wyrobu 5�J�1 oraz co
najmniej 2000 szt. wyrobu 5�J�2, aby zminimalizowad odpad z wykorzystanych płyt.
Zmienne decyzyjne:
5�e�1  liczba płyt 5�C�1
5�e�2  liczba płyt 5�C�2
5�e�3  liczba płyt 5�C�3
5�e�4  liczba płyt 5�C�4
5�S�(5�e�1, 5�e�2, 5�e�3, 5�e�4) = 0,35�e�1 + 0,55�e�2 + 0,45�e�3 + 0,65�e�4 5�Z�5�V�5�[�
65�e�1 + 45�e�2 + 35�e�3 e" 1500
5�e�1 + 25�e�2 + 45�e�3 + 65�e�4 e" 2000
5�e�1, 5�e�2, 5�e�3, 5�e�4 e" 0
Metoda geometryczna
Rozwiązywanie zadao programowania liniowego metodą geometryczną, polega na wyznaczeniu w
skonstruowanym graficznie zbiorze rozwiązao dopuszczalnych punktu lub punktów, dla których funkcja celu
przyjmuje wartości najkorzystniejsze (minimalne lub maksymalne). Punkt (punkty) ten nosi nazwę punktu
optymalnego.
Metodę graficzną można zastosowad do rozwiązywania zadao z co najwyżej trzema zmiennymi decyzyjnymi.
Wiąże się to z koniecznością wykorzystywania przestrzeni dwuwymiarowych, ewentualnie trójwymiarowych.
Tworząc przestrzeo decyzji dopuszczalnych 5�7�, należy zobrazowad każdy z warunków w układzie
współrzędnych. W przypadku układów dwuwymiarowych odwzorowaniem warunku jest:
a) prosta dla równości
b) półpłaszczyzna z prostą ograniczającą dla nierówności słabych
c) półpłaszczyzna bez prostej ograniczającej dla nierówności ostrych
Częśd wspólna dla wszystkich warunków ograniczających tworzy zbiór decyzji dopuszczalnych 5�7�.
Izokwantą funkcji celu jest prosta, zawierająca punkty o tej samej wartości funkcji celu 5�P�15�e�1 + 5�P�25�e�2 = 5�g�.
Należą do niej wszystkie argumenty, dla których wartośd funkcji celu wynosi 5�g�.
Gradient jest wektorem wskazującym kierunek wzrostu wartości funkcji celu [5�P�1, 5�P�2] (izokwanta jest
prostopadła do gradientu). Z kolei wektor przeciwny do gradientu wskazuje kierunek spadku wartości funkcji
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 23 Wykłady 2009/2010
celu. Jeśli funkcja celu dąży do maksimum, przesuwamy izokwantę zgodnie z gradientem; gdy do minimum,
w kierunku przeciwnym do gradientu.
Rozwiązanie zadania programowania liniowego stanowi punkt lub punkty zbioru 5�7� należące do izokwanty o
najmniejszej wartości 5�g� (dla minimum) lub największej (dla maksimum). Inaczej mówiąc, rozwiązaniem
zadania programowania liniowego jest punkt lub punkty należące do najwyżej (dla maksimum) lub najniżej
(dla minimum) położonej izokwanty znajdujące się w zbiorze 5�7�.
Jeżeli zadanie programowania liniowego ma rozwiązanie optymalne, to znajduje się ono w co najmniej
jednym wierzchołku zbioru 5�7�.
Rozwiązanie zadania programowania liniowego jest jednym z następujących przypadków:
a) zbiór pusty, gdy zbiór 5�7� jest pusty lub funkcja celu nie jest ograniczona z góry (dołu) na zbiorze 5�7�:
5�7�5�\�5�]�5�a� = "
b) jedno rozwiązanie, którym jest wierzchołek zbioru 5�7�:
5�7�5�\�5�]�5�a� = 5�Q�1 5�Q�2 5�G�
c) nieskooczenie wiele rozwiązao, które stanowi odcinek łączący dwa wierzchołki 5�Q�1 i 5�Q�2 zbioru 5�7�
5�7�5�\�5�]�5�a� = { 5�Q�5�\�5�]�5�a� = 5��5�Q�1 + 1 - 5�� 5�Q�2 6" 5�� " < 0,1 > }
d) lub półprosta wychodząca z wierzchołka 5�Q� zbioru 5�7� w kierunku wektora 5�U� (wyznacza on kierunek
półprostej ograniczającej zbioru 5�7� wychodzącej z punktu 5�Q�):
5�7�5�\�5�]�5�a� = { 5�Q�5�\�5�]�5�a� = 5�Q� + 5��5�U� 6" 5�� " < 0, +" > }
Przykład (cd.)
a) optymalizacja struktury produkcji
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 24 Wykłady 2009/2010
0
5�Q�5�\�5�]�5�a� =
650
5�S� 5�Q�5�\�5�]�5�a� = 32500
Metoda Simpleks
Opracowana przez G. B. Dantziga metoda rozwiązywania zadao programów liniowych. Polega ona na
poszukiwaniu rozwiązao optymalnych poprzez badanie sąsiednich bazowych rozwiązao dopuszczalnych w
taki sposób, aby kolejne rozwiązane było nie gorsze od poprzedniego pod względem wartości funkcji celu.
Postępowanie kooczy się w momencie wyznaczenia rozwiązania optymalnego lub stwierdzenia o braku jego
istnienia. Algorytm Simpleks jest procedurą etapową, a wyniki w kolejnych krokach różnią się od siebie.
Podstawą procedury jest program liniowy w postaci standardowej:
5�P�5�G�5�e� 5�Z�5�N�5�e�
5�4�5�e� = 5�O�
5�e� e"0
Postad bazowa programu liniowego występuje w sytuacji gdy macierz 5�4� jest w postaci bazowej, czyli wśród
jej kolumn znajduje się 5�Z� kolumn będących liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Z kolei jeżeli
wektor wyrazów wolnych 5�O� ma nieujemne współrzędne oznacza to, że mamy do czynienia z postacią
dopuszczalną. Spełnienie obu warunków daje dopuszczalną postad bazową zadania.
Macierz 5�4� dzieli się na dwa bloki 5�5� i 5�C�:
5�4� =
5�5� 5�C�
W macierzy 5�5� znajduje się 5�Z� liniowo niezależnych kolumn macierzy 5�4� = (5�N�5�W�1, & , 5�N�5�W�5�Z� ). Macierz 5�C� tworzą
pozostałe kolumny macierzy 5�4� = (5�N�5�W�5�[� +1, & , 5�N�5�W�5�[� ). Macierz 5�5� nazywana jest macierzą bazową lub bazą.
Zbiór indeksów zmiennych bazowych 5�5� = (5�W�1, & , 5�W�5�Z�) nazywamy zbiorem bazowym.
Analogiczny podział macierzy 5�4� na bloki 5�5� i 5�C�, dzieli wektor zmiennych 5�e� na dwie części 5�e�5�5� 5�V� 5�e�5�C� :
5�e�5�5�
5�K� = 5�e�5�C�
5�e�5�W�1 & & & 5�e�5�W�5�Z� T
5�K�5�5� =
5�e�5�W�5�Z�+1 & & & 5�e�5�W�5�Z� T
5�K�5�C� =
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 25 Wykłady 2009/2010
oraz wektor współczynników funkcji celu 5�P� na 5�P�5�5� i 5�P�5�C�.
5�e�5�5�
5�P� = 5�e�5�C�
5�e�5�W�1 & & & 5�e�5�W�5�Z� T
5�P�5�5� =
5�e�5�W�5�Z�+1 & & & 5�e�5�W�5�Z� T
5�P�5�C� =
Po powyższych przekształceniach układ nieelementarny warunków ograniczających można zapisad:
5�e�5�5�
5�5� 5�C�
5�e�5�C� , 5�5�5�e�5�5� + 5�C�5�e�5�C� = 5�O�
Jeżeli podstawimy 5�e�5�C� = 0 otrzymamy rozwiązanie bazowe programu liniowego:
5�e�5�5�
5�5�
5�e�5�5� = 5�e�5�C� = 5�5�-15�O�
0
Zmienne wchodzące w skład wektora 5�e�5�5� określa się zmiennymi bazowymi, a pozostałe zmienne tworzące
wektor 5�e�5�C� zmiennymi niebazowymi.
Bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym zadania PL nazywamy rozwiązanie bazowe, które spełnia warunek
nieujemności zmiennych bazowych.
5�5�-15�O� e" 0
Rozwiązanie bazowe 5�e�5�5� określa się jako niezdegradowane, jeżeli wszystkie zmienne bazowe mają wartośd
różną od zera; jeżeli co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero to rozwiązanie nazywamy
zdegradowanym.
Dwa rozwiązania bazowe nazywamy sąsiednimi jeżeli różnią się dokładnie jedną zmienną bazową i w
konsekwencji jedną zmienną niebazową.
Wektor 5�e�5�5� jest bazowy rozwiązaniem dopuszczalnym wtedy i tylko wtedy gdy jest wierzchołkiem zbioru
rozwiązao dopuszczalnych 5�7�.
Warunkiem wystarczającym optymalności bazowej rozwiązania dopuszczalnego 5�e�5�5� odpowiadającym
macierzy bazowej 5�5� jest:
5�G� 5�G�
5�P�5�C� - 5�P�5�C� 5�5�-15�C� d" 05�G�
5�;�5�C� = 5�5�-15�C� 5�P�5�]� - 5�g�5�C� d" 0
5�G� 5�G�
5�g�5�C� = 5�P�5�5�5�5�-1
Po wprowadzeniu analogicznych oznaczeo dla części bazowej:
5�G� 5�G� 5�G�
5�;�5�5� = 5�5�-15�5� = 5�<� 5�V� 5�g�5�5� = 5�P�5�5�5�;�5�5� = 5�P�5�5�
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 26 Wykłady 2009/2010
Po wyznaczeniu analogicznego wyrażenia
5�P�5�5� - 5�g�5�5� = 0
Oraz połączeniu oznaczeo dla części bazowej i niebazowej:
5�g�5�5�
5�;�5�5� 5�;�5�C�
5�g�5�5� = 5�;�5�5� =
5�g�5�C�
Można zapisad warunek dostateczny optymalności bazowej rozwiązania dopuszczalnego 5�e�5�5�
odpowiadającego macierzy bazowej B
5�G�
5�P� - 5�g�5�5� d" 0 5�R�5�Y�5�R�5�Z�5�R�5�[�5�a�5�f� 5�d�5�R�5�X�5�a�5�\�5�_�5�N� 5�P� - 5�g�5�5�: 5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5�=5�P�5�W� - 5�P�5�5�5�U�5�W�
Gdzie 5�U�5�W� oznacza kolumnę macierzy 5�;�5�5� odpowiadającą zmiennej 5�e�5�W� , 5�P�5�W� to współczynniki funkcji celu przy
zmiennej 5�e�5�W� nazywane współczynnikami optymalności.
Ponieważ wskaz
nik optymalności przy zmiennych bazowych jest równy 0, a więc badanie optymalności
bazowego rozwiązania dopuszczalnego, polega na sprawdzeniu czy wskaz
niki optymalności przy zmiennych
niebazowych są niedodatnie
5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5� d" 0 5�Q�5�Y�5�N� 5�W� " 5�5�
Bazowe rozwiązanie dopuszczalne 5�e�5�5� jest rozwiązaniem optymalnym, gdy wszystkie wskaz
niki optymalności
są niedodatnie: 5�P� - 5�g�5�5� d" 0
Bazowe rozwiązanie dopuszczalne będące rozwiązaniem optymalnym nazywane jest bazowym rozwiązaniem
optymalnym.
Bazowe rozwiązanie dopuszczalne 5�e�5�5� jest jedynym rozwiązaniem optymalnym, gdy wskaz
niki optymalności
zmiennych niebazowych są ujemne
5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5� < 0 5�Q�5�Y�5�N� 5�W� " 5�5�
Jeżeli dla zmiennej nie bazowej 5�e�5�X� wskaz
nik optymalności przyjmuje wartości dodatnie, oznacza to że
5�5�
zwiększenie wartości tej zmiennej o jedną jednostkę spowoduje przyrost wartości funkcji celu o 5�P�5�X� - 5�g�5�X� . Z
kolei wartośd ujemna wskaz
nika optymalności informuje o poziomie spadku wartości funkcji celu.
W metodzie Simpleks ważną rolę odgrywa macierz oraz wyznaczona na jej podstawie przez ciąg
5�4� 5�O�
5�5�
operacji elementarnych macierz 5�;�5�5� 5�U�0 ostatnia kolumna tej macierzy zawiera wektor wartości
zmiennych bazowych xB odpowiadających bazie B, który oblicza się następująco:
5�5�
5�U�0 =5�5�-15�O�
Przy tych oznaczeniach bazowe rozwiązanie zapisuje się :
5�5�
5�e�5�5� 5�U�0
5�e�5�5� = =
5�e�5�C� 0
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 27 Wykłady 2009/2010
Wartośd funkcji celu dla bazowego rozwiązania dopuszczalnego 5�e�5�5� można wyznaczyd:
5�G� 5�G� 5�5�
5�S� 5�e�5�5� = 5�P�5�5�5�e�5�5�=5�P�5�5�5�U�0
Obliczenia w metodzie Simpleks prezentowane są w tablicy simpleksowej:
5�P�5�W� 5�P�1, 5�P�2, & , 5�P�5�[�
5�P�5�5� 5�e�5�5�
Zmienne
5�e�1, 5�e�2, & , 5�e�5�[�
bazowe
Nazwa
5�5�
5�P�5�5� 5�;�5�5� 5�U�0
zmiennych
5�g�5�W�5�5�
5�g�5�5�
5�G� 5�5�
5�P�5�5�5�U�0
5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5�
5�P� - 5�g�5�5�
W kolejnych tablicach simpleksowych kolumny macierzy 5�;�5�5� zapisuje się wg kolejności zmiennych
Jeżeli sprowadzenie zadania PL do postaci standardowej wymaga aby w 5�V�-tym warunku nieelementarnym
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� d" 5�O�5�V� dodana została zmienna swobodna 5�e�5�[�+1
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� + 5�e�5�[�+1 = 5�O�5�V�
to zmienna swobodna wprowadzana jest do pierwszej bazy.
Jeżeli potrzebne jest aby w 5�V�-tym warunku nieelementarnym 5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� d" 5�O�5�V� odjęta została
zmienna swobodna 5�e�5�[�+1:
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� - 5�e�5�[�+1 = 5�O�5�V�
oraz w macierzy 5�4� nie można wyodrębnid m niezależnych liniowo kolumn, otrzymanie dopuszczalnej postaci
bazowej wymaga wprowadzenia zmiennej sztucznej 5�F�5�W� :
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� - 5�e�5�[�+1 + 5�F�5�V� = 5�O�5�V�
zmienna ta również wprowadzana jest do pierwszej bazy.
Ponieważ zmienne sztuczne nie posiadają interpretacji dlatego nie mogą znalez
d się w koocowym
rozwiązaniu zadania PL. Sytuacja taka będzie miała miejsce jeżeli będą one równe 0. Osiąga się to poprzez
wprowadzenie do funkcji celu z kryterium maksymalizacji zmiennych sztucznych ze współczynnikiem -5�@�,
gdzie 5�@� jest bardzo dużą liczbą 5�@� ". Powoduje to, że funkcja celu jest sztucznie zaniżana i dzięki temu
zmienne te nie znajdą się w zbiorze bazowym. Natomiast do funkcji celu z kryterium minimalizacji zmienne
sztuczne wprowadza się ze współczynnikiem +5�@�.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 28 Wykłady 2009/2010
W sytuacji gdy 5�V�-ty warunek nieelementarny jest równością:
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� = 5�O�5�V�
i w macierzy 5�4� nie można wyodrębnid m niezależnych liniowo kolumn, wprowadza się również zmienną
sztuczną 5�F�5�W� :
5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2& ..+5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[� + 5�F�5�W� = 5�O�5�V�
którą umieszcza się w pierwszej bazie.
Dzięki wprowadzeniu zmiennych swobodnych i sztucznych macierz 5�4� zawiera 5�Z� liniowo niezależnych
kolumn jednostkowych co sprawia, że znajduje się ona w postaci bazowej.
Przykład:
35�e�1 + 25�e�2 5�Z�5�N�5�e�
45�e�1 + 5�e�2 d" 5
25�e�1 + 55�e�2 e" 2
5�e�1, 5�e�2 e" 0
Sprowadzenie do postaci standardowej:
45�e�1 + 5�e�2 + 5�e�3 = 5
25�e�1 + 55�e�2 - 5�e�4 + 5�F�2 = 2
5�e�1, 5�e�2, 5�e�3, 5�e�4, 5�F�2 e" 0
35�e�1 + 25�e�2 - 5�@�5�F�2 5�Z�5�N�5�e�
3 2 0 0 -M
CJ
CB XB
Zm. bazowe
5�e�1 5�e�2 5�e�3 5�e�4 5�F�2
1
0 5�e�3 4 1 0 0 5
-
2
-
-M 5�F�2 5 0 -1 1 2
*
-
-
-2M -5M
5�g�5�W�5�5� 0 M -M
-
-2M
=
-
3+2M
5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5� 2+5M 0 -M 0
-
=
b
=
n
v
g
f
h
Dr Arkadiusz Kijek
f
Ekonometria 29 Wykłady 2009/2010
g
h
-
Jeżeli bazowe rozwiązanie dopuszczalne 5�e�5�5� nie jest rozwiązaniem optymalnym wyznacza się kolejne bazowe
rozwiązanie dopuszczalne i sprawdza się jego optymalnośd. W tym celu należy ustalid zmienną nie bazową,
która będzie dołączona do zbioru zmiennych bazowych a następnie wskazad zmienną bazową, która zostanie
usunięta z tego zbioru.
Określenie zmiennej 5�e�5�`�, którą należy wprowadzid do zbioru bazowego odbywa się przy użyciu wskaz
nika
optymalności. Jeżeli maksymalizuje się funkcje celu, właściwą zmienną jest ta, dla której wskaz
nik jest
największy:
5�e�5�`�: 5�P�5�`� - 5�g�5�`� = 5�Z�5�N�5�e� 5�P�5�W� - 5�g�5�W� : 5�P�5�W� - 5�g�5�W� > 0
Oznacza to, że wprowadzenie wybranej zmiennej w największym stopniu przyczynia się do wzrostu wartości
funkcji.
Jeżeli funkcja celu jest minimalizowana, to w kryterium wejścia wybiera się tą zmienną dla której wskaz
nik
jest najmniejszy:
5�e�5�`�: 5�P�5�`� - 5�g�5�`� = 5�Z�5�V�5�[� 5�P�5�W� - 5�g�5�W� : 5�P�5�W� - 5�g�5�W� < 0
W tym przypadku wprowadzenie wybranej zmiennej do zbioru bazowego w największym stopniu przyczynia
się do spadku wartości funkcji.
Wyznaczanie zmiennej 5�e�5�_�, którą należy usunąd ze zbioru bazowego, rozstrzyga się następująco:
5�U�5�_�0 5�U�5�V�0
5�e�5�_�: = 5�Z�5�V�5�[� : 5�U�5�V�5�`� > 0
5�U�5�_�5�`� 5�U�5�V�5�`�
5�U�5�V�0 to wartośd zmiennej bazowej znajdująca się w 5�V�-tym wierszu
5�U�5�V�5�`� jest elementem macierzy 5�;� znajdująca się w 5�V�-tym wierszu i 5�`�-tej kolumnie odpowiadającej zmiennej
niebazowej 5�e�5�`� wybranej zgodnie z kryterium wyjścia.
Po zastosowaniu obydwu warunków dokonujemy wprowadzenia jednej zmiennej 5�e�5�`� do zbioru bazowego w
miejsce zmiennej 5�e�5�_�. Element znajdujący się na skrzyżowaniu wiersza zmiennej 5�e�5�_� oraz kolumny 5�e�5�`� określa
się jako element centralny. Doprowadzenie do nowej postaci bazowej zadanie wymaga wykonania
5�5�
odpowiednich operacji elementarnych na wierszach macierzy 5�;�5�5� 5�U�0 które doprowadzą do uzyskania
wektora jednostkowego w kolumnie 5�F� przy zachowaniu wektorów jednostkowych przy pozostałych
zmiennych bazowych.
W przypadku gdy dla danego bazowego rozwiązania dopuszczalnego 5�e�5�5� istnieje taka zmienna niebazowa 5�e�5�X�,
5�5�
dla której spełniona jest nierównośd: 5�U�5�X� < 0 to zbiór 5�7� jest nieograniczony, a wektor wyznacza kierunek
nieskooczonej krawędzi wychodzącej z wierzchołka odpowiadającego obszarowi BRP.
5�5�
Jeżeli dodatkowo dla tej zmiennej jest spełniony warunek: 5�P�5�X� - 5�g�5�X� > 0 to funkcja jest nieograniczona z góry.
W sytuacji gdy dla danego bazowego rozwiązania optymalnego 5�e�5�5� wskaz
nik optymalności co najmniej jednej
zmiennej niebazowej jest równy 0 oznacza to, że zadanie ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne.
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 30 Wykłady 2009/2010
W przypadku gdy bazowe rozwiązanie optymalne 5�e�5�5� zadanie, w którym występują zmienne sztuczne zawiera
te zmienne to zadanie jest sprzeczne.
Zapisanie postaci
standardowej
Początkowe BRD
Konsultacje
kolejnej BRD
Wyznaczenie
wskaz
ników
optymalności
5�"� - 5؛� d" 5���
TAK NIE
BRD zawiera 5�P�5�W� - 5�g�5�5� > 0
zmienne sztuczne
TAK NIE
5�U�5�W�5�5� d" 0
TAK
NIE
Zadanie 5�P�5�W� - 5�g�5�W�5�5� < 0
TAK NIE
sprzeczne
Zastosowanie
Funkcja celu
Jednoznaczne Niejednoznaczne kryterium
nieograniczona
rozwiązanie rozwiązanie
wejścia i wyjścia
z góry
optymalne optymalne
Dr Arkadiusz Kijek
Ekonometria 31 Wykłady 2009/2010