materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
= 2 x 3 − 2 x 2 + x − 4 − x 2 + 3 x =
Wielomiany
= 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 4
Wielomian stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x to funkcja o wzorze: W ( x) · P ( x) = (2 x 3 − 2 x 2 + x − 4) · ( x 2 − 3 x) =
W ( x) = anxn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
= 2 x 5 − 6 x 4 − 2 x 4 + 6 x 3 + x 3 − 3 x 2 − 4 x 2 + 12 x =
gdzie a
= 2 x 5 − 8 x 4 + 7 x 3 − 7 x 2 + 12 x n, an− 1 , . . . , a 2 , a 1 , a 0 to współczynniki wielomianu, an 6= 0, n ∈ N.
Przykłady:
Znajdź sumę, różnicę, iloczyn wielomianów S( x) = 4 x 5 − 6 x 2 + 3 x i T ( x) = 5 x 4 − 2 x 2 + 3.
y = x 5 − 2 x 3 + 5 x + 4
wielomian stopnia 5 o współczynnikach 1 , 0 , − 2 , 0 , 5 , 4
Rozwiązanie:
y = 2 x 3 + 4 x 2 − 2
wielomian stopnia 3 o współczynnikach 2 , 4 , 0 , − 2
y = x 2 − 3 x + 5
wielomian stopnia 2 o współczynnikach 1 , − 3 , 5
S( x) + T ( x) = (4 x 5 − 6 x 2 + 3 x) + (5 x 4 − 2 x 2 + 3) =
y = 5 x − 2
wielomian stopnia 1 o współczynnikach 5 , − 2
y = 8
= 4 x 5 + 5 x 4 − 8 x 2 + 3 x + 3
wielomian stopnia 0 o współczynnikach 8
S( x) − T ( x) = (4 x 5 − 6 x 2 + 3 x) − (5 x 4 − 2 x 2 + 3) =
Dwa wielomiany są równe, jeżeli są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach.
= 4 x 5 − 6 x 2 + 3 x − 5 x 4 + 2 x 2 − 3 =
= 4 x 5 − 5 x 4 − 4 x 2 + 3 x − 3
S( x) · T ( x) = (4 x 5 − 6 x 2 + 3 x) · (5 x 4 − 2 x 2 + 3) =
Pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu
= 20 x 9 − 8 x 7 + 12 x 5 − 30 x 6 + 12 x 4 − 18 x 2 + 15 x 5 − 6 x 3 + 9 x =
Pierwiastek wielomianu to miejsce zerowe wielomianu, czyli liczba dla której wartość wielomianu jest równa zero.
= 20 x 9 − 8 x 7 − 30 x 6 + 27 x 5 + 12 x 4 − 6 x 3 − 18 x 2 + 9 x Przykłady:
w( x) = x 4 − x 2
x 0 = 1
ponieważ w(1) = 14 − 12 = 1 − 1 = 0
w( x) = x 3 − 8
x 0 = 2
ponieważ w(2) = 23 − 8 = 8 − 8 = 0
Rozkład wielomianu na czynniki
w( x) = x 5 − x 4 + x 2 + x
x 0 = 0
ponieważ w(0) = 05 − 04 + 02 + 0 = 0
Rozwiązując równanie wielomianowe lub nierówność wielomianową rozkładam wielomian na iloczyn nierozkładalnych czynników, do których zaliczam:
Najłatwiej jest odczytać pierwiastki z wielomianu rozłożonego na czynniki.
• Wyrażenia liniowe
np. x, ( x + 3) , ( x − 5) , (2 x − 1) Rozwiązując równanie wielomianowe też znajduję pierwiastki wielomianu.
• Wyrażenia kwadratowe z ∆ < 0 np. ( x 2 + 9) , ( x 2 + 7) , ( x 2 + 2 x + 8) Z wielomianu rozłożonego na czynniki już łatwo odczytuję pierwiastki.
Znajdź sumę, różnicę, iloczyn wielomianów W ( x) = 2 x 3 − 2 x 2 + x − 4 i P ( x) = x 2 − 3 x.
Przykłady:
Rozwiązanie:
x 3 − x 2 − 17 x − 15 = ( x − 5)( x + 3)( x + 1) W ( x) + P ( x) = (2 x 3 − 2 x 2 + x − 4) + ( x 2 − 3 x) =
= 2 x 3 − x 2 − 2 x − 4
x 1 = 5
x 2 = − 3
x 3 = − 1
W ( x) − P ( x) = (2 x 3 − 2 x 2 + x − 4) − ( x 2 − 3 x) =
1
x 4 + 6 x 3 + 16 x 2 + 32 x = x( x + 4)( x 2 + 2 x + 8) Nierówność wielomianowa
Przykłady:
x 4 − 2 x 3 + 5 x > 0
− 2 x 3 + 3 x 2 − 4 ¬ 0
x( x − 3)2( x + 4)3 > 0
x 1 = 0
x 2 = − 4
nie ma (∆ < 0)
Nierówności wielomianowe rozwiązuję najczęściej tak:
1.
rozkładam wielomian na czynniki
x 5 − 4 x 4 + 9 x 3 − 36 x 2 = x 2( x 2 + 9)( x − 4) 2.
odczytuję pierwiastki
3.
odczytuję krotność pierwiastków 4.
zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej
x 1 = 0
nie ma
x 2 = 4
5.
rysuję przybliżony wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony
– od góry, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby dodatniej
– od dołu, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby ujemnej
6.
wykres
Zadania + Rozwiązania
– „przecina” oś dla pierwiastków o krotności nieparzystej
– „odbija” się od osi dla pierwiastków o krotności parzystej
Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe stopnia drugiego.
7.
zaznaczam na zielono dla znaków:
< ¬ część wykresu pod osią x
Rozwiąż równania:
> część wykresu nad osią x
8.
dla znaków
x 3 − 8 = 0
3 x 4 − 12 = 0
3 x 5 + 14 = 0
5 x 6 + 8 = 0
¬ zaznaczam
w miejscach zerowych
5 x 4 − 13 = 0
< > zaznaczam
w miejscach zerowych
9.
rysuję przedział odpowiadający zielonej części wykresu Rozwiąż, rozkładając na czynniki:
10. zapisuję rozwiązanie
x 3 − 9 x = 0
2 x 3 + 2 x 2 − 12 x = 0
x 3 + 4 x = 0
Rozwiąż, rozkładając na czynniki:
Rozwiąż, rozkładając na czynniki:
2 x 3 − 4 x 2 − 6 x + 12 = 0
x 4 + 2 x 3 + x + 2 = 0
3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 8 = 0
x 6 + 2 x 5 + x 4 + x 2 + 2 x + 1 = 0
Rozwiąż, rozkładając na czynniki:
x 3 = 2 x 2 − 2 + x
− 3 x = 4 x 2 − x 3 − 12
− 2 ( x + 1)( x + 2) = x 3
3
3 x 2 − 4 x = −x 3 + 12
− 14 + x 3 + 2 x = 7 x 2
x 2 − 3 = − 6 x + 2 x 3
7
7
2