Analiza Matematyczna
Zestaw B
Zadanie 1
Prosz� obliczyć granic�
e e
1
Ą-x
limxĄ(1 + 2 sin(x))
Rozwi�
azanie
Stosujemy podstawienie y = Ą - x.
2 sin y

1 1 1
y
Ą-x y 2 sin y
lim(1 + 2 sin(x)) = lim(1 + 2 sin(Ą - y)) = lim (1 + 2 sin(y)) = e2
xĄ x0 x0
Zadanie 2
Prosz� sprawdzić korzystaj� z definicji, czy istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 = 0,
e ac
jeżeli

Ą
ln cos(x) dla 0 < |x| <
2
f(x) =
0 dla x = 0
Rozwi�
azanie
Z definicji pochodnej funkcji w punkcie
1
ln cos(h) - ln cos(0) 1
h
f (0) = lim = lim [ln(cos h)] = lim [ln(cos h] = 0
h0+ h h0+ h h0+
Istnieje wi� pochodna funkcji w punkcie (0, 0) i jest równa 0.
ec
Zadanie 3
Prosz� obliczyć granic�
e e
tan3x
lim "
x0
1 - 3x + 1
Rozwi�
azanie
tan 3x 0 0
lim " = = = 0
x0
1 + 1 2
1 - 3x + 1
1
Zadanie 4
Prosz� znalez
ć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), jeśli
e
f(x) = (x2 - 1)2 , x0 = 0.
Rozwi�
azanie
Równanie stycznej w punkcie (x0, f(x0)), y = f (x0)(x - x0) + f(x0).
f (x) = 4x(x2 - 1), f (0) = 0, f(0) = 1.
St�
ad
y = 0(x - 0) + 1 = 1
Prosta pozioma y = 1 jest styczn� do wykresu funkcji f w punkcie (0, 1).
a
2