Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw C
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

"
x2 x3 - 1dx.
Rozwi¸
azanie
"
Stosujemy podstawienie: y = x3 - 1. St¸ y2 = x3 - 1 i 2ydy = 3x2dx.
ad
Otrzymujemy

"
2 2 2
x2 x3 - 1dx = y2dy = y3 + C = (x3 - 1)3 + C.
3 9 9
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f(x) = x2, g(x) = 1-x2
e
i h(x) = 2.
Rozwi¸
azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OY.
edem
Rozwiazuj¸ ukÅ‚ad równaÅ„ y = x2 i y = 1 - x2, otrzymujemy punkty wspólne parabol
¸ ac
" "
(- 2/2, 1/2), ( 2/2, 1/2).
Rozwiazuj¸ ukÅ‚ad y = x2 i y = 2, otrzymujemy punkty wspólne paraboli i prostej
¸ ac
" "
(- 2, 2), ( 2, 2).
St¸ pole obszaru
ad
" "

2/2 2
"
|P (O)| = 2 (2 - (1 - x2))dx + 2 (2 - x2)dx = 2 2.
"
0 2/2
1
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć punkty przegi¸ i obszary wypukÅ‚oÅ›ci wykresu funkcji
e ecia
1
f(x) = .
ex - 1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸ funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od zera.
a
Obliczamy pochodn¸ drugiego rz¸ funkcji f(x).
a edu
(ex-1)ex(ex+1)
-ex
f (x) = -ex(ex - 1)-2 = . f (x) = .
(ex-1)2 (ex-1)4
f (x) > 0, gdy x " (0, ").
f (x) < 0, gdy x " (-", 0).
Wykres funkcji f(x) jest wkl¸ na przedziale (-", 0) ,
esły
wypukÅ‚y na przedziale (0, ") i nie posiada punktów przegi¸
ecia.
Zadanie 4
Prosz¸ oszacować bÅ‚¸ jaki popeÅ‚nia si¸ bior¸
e ad, e ac
1 1 1 1 1 3
- + - + zamiast log .
2 8 24 64 160 2
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸ szóstego wÅ‚¸ funkcji f(x) = ln(1 + x) jej
edu acznie
rozwini¸ w szereg Maclaurina.
ecia
Mamy
f(x) = ln(1 + x), f(0) = 0;
1
f(1)(x) = , f(1)(0) = 1;
1+x
-1
f(2)(x) = , f(2)(0) = -1;
(1+x)2
2
f(3)(x) = , f(3)(0) = 2;
(1+x)3
-6
f(4)(x) = , f(4)(0) = -6;
(1+x)4
24
f(5)(x) = , f(5)(0) = 24;
(1+x)5
-120 -120 1
f(6)(x) = , f(6)(c) = , c " [0, ];
(1+x)6 (1+c)6 2
BÅ‚ad bezwzgl¸ oszacowania
¸ edny
1 1
120( )6 1
3 1 1 1 1
2 2
|log - (1 - + - + )| = |-120( )6)| d" = .
2 2 8 24 64 160 (1+c)66! (1+0)66! 384
2