Rozdzia÷5

Wielomiany

Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.1.

Wykonaj dzia÷

ania

a) 3x2 + 4x

(6

x)2;

d) (x + 7)3(x

1) + (2 + 3x)2;

b) (2x

6)3 + 4(x

1)2;

e) (x3

2x2 + 4x

1)(x + 1) + (2x

3)2;

c) (3x + 4)2

5(x

6)2 + 3x2

2x;

f ) (4x + 2)(x

3)(x + 7)x:

5.2.

Uporz ¾

adkuj wielomian

a) (x

1)3 + (x + 2)3;

d) (x + 3)(x

3)2

x + 3;

b) (2x + 4)4

3(x

1)2 + 7(x

2);

e) 3(3x + 3)(3x

3)3 + 3x2;

c) (x

3)7 + (x + 3)7

(x

1)4;

f ) (x + x2)2

5(x3

1)2:

5.3.

Dane s ¾

a wielomiany w, g i p:Uporz ¾

adkuj wielomian: w g

3p gdy

a) w(x) = 2x2 + 3x

1; g(x) = x

2; p(x) = 5x2 + 4x;

b) w(x) = (x

1)(x + 2); g(x) = x2 + 3; p(x) = x4

6x3 + 2x2;

c) w(x) = (x + 2)2(x

1)3; g(x) = x + 4; p(x) = x5 + 2x;

d) w(x) = (x3

1)(x3 + 1); g(x) = x3

1; p(x) = x7 + 2x6

5x5 + 1;

e) w(x) = (x + 2)3; g(x) = (x

2)3; p(x) = (x + 3)2;

f ) w(x) = (2x

1)4; g(x) = (x

1)(x + 2); p(x) = 2x:

5.4.

Przedstaw w postaci wielomianu:

a) (12x2 + 6x

3) : 3;

b) (6x3

8x2 + 24x) : x;

c) (2x3

1) : (x

1);

d) (x4

x2)(x + 3) : (x2

1);

e) (x5

11x3 + 3x2 + 18x

27) : (x3

2x + 3);

f ) (x8 + 5x7

6x6 + 8x5 + 40x4

48x3 + 16x2 + 80x

96) : (x3 + 4)2:

2

Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.5.

Wyznacz zbiór wartości wielomianu w:

a) w(x) = x2

4x;

d) w(x) = (3

x)2 + 4x;

b) w(x) =

x2

3x + 4;

e) w(x) = (3 + 4x)(2x

5);

c) w(x) = (x

2)2

1;

f ) w(x) =

( x

2)2:

5.6.

Przedstaw wielomian w w postaci iloczynowej: a) w(x) = 2x2 + 2x

24;

d) w(x) = 11x2 + 33x

308;

b) w(x) = 3x2

3x

126;

e) w(x) =

3x2 + 21x + 24;

c) w(x) =

x2

x + 6;

f ) w(x) =

4x2 + 6x + 4:

5.7.

Wyznacz zbiór, w którym wielomian w przyjmuje wartości ujemne: a) w(x) =

(x

2)(x + 3);

d) w(x) = (1 + x)x;

b) w(x) =

(1

3x)2

6x + 4;

e) w(x) =

(x + 2)2 + 4;

c) w(x) = x2

4x;

f ) w(x) =

(x

2)2

(x + 1)2:

5.8.

Znajdź najmniejsz ¾

a (n) i najwi ¾

eksz ¾

a (N) wartość wielomianu w na wskazanym przedziale: a) w(x) = x2 + 1;

x 2 [0; 1];

b) w(x) =

x2 + 4;

x 2 [ 2; 1];

c) w(x) = (x

6)(x + 2);

x 2 [ 1; 6];

d) w(x) = x2 + x

2;

x 2 [ 1; 1];

e) w(x) = (x

1)2 + (x + 2)2

x2;

x 2 [ 2; 1];

f ) w(x) =

(x + 3)2 + 4;

x 2 [ 5; 3]:

5.9.

Wyznacz wartości parametru a, dla której wielomian w jest wielomianem stopnia drugiego.

p

p

a) w(x) = (4a2

5a + 1)x3 + x2

2x + 6;

d) w(x) = (a

2)(a +

3)x2 + 3;

b) w(x) = (a2

1)x2 + 6x

2;

e) w(x) = (a3 + 8)x4 + x2;

c) w(x) = (a

3)(a2 + 4)x3 + x2

2x + 3;

f ) w(x) = (a4

16)(a3

1)x2

10:

5.10.

Wykonaj dzielenie w(x) : p(x), jeśli

a) w(x) = x3 + 8x2

5x

84;

p(x) = x + 7;

b) w(x) =

x4 + 7x3 + 14x2

48x;

p(x) = x + 3;

c) w(x) = x4

7x3

14x2

28x

72;

p(x) = x2 + 4;

d) w(x) = x6

15x5 + 85x4

225x3 + 274x2

120x;

p(x) = (x

5);

e) w(x) = 2x3 + 11x2

21x;

p(x) = x + 7;

f ) w(x) = 6x4 + 2x3

40x2 + 24x;

p(x) = x

2:

5. Wielomiany

3

5.11.

Sprawdź czy wielomian w jest podzielny przez dwumian p, jeśli a) w(x) = x3 + 2x2

45x

126; p(x) = x + 6;

b) w(x) = x4

7x3

9x2 + 115x

100; p(x) = x

2;

c) w(x) = 2x4

106x2 + 392; p(x) = x

1;

d) w(x) = 3x4

48x3 + 123x2 + 1182x

5040; p(x) = x

8;

e) w(x) =

x3 + 2x2 + 121x

242; p(x) = x + 11;

f ) w(x) = x3 + 11x2 + 15x

27; p(x) = x + 9:

5.12.

Roz÷

ó·

z wielomian w na czynniki

a) w(x) =

x3 + 4x2 + 20x

48;

d) w(x) = x5

6x4

47x3 + 60x2 + 100x;

b) w(x) = x4

10x3 + 3x2 + 54x;

e) w(x) = x3

7x2 + 4x

28;

c) w(x) =

x3

2x2 + 29x

42;

f ) w(x) = x5

11x4 + 30x3 + x2

11x + 30:

5.13.

Określ stopień nast ¾

epuj ¾

acych wielomianów w zale·

zności od parametrów a i b :

a) w(x) = (a

1)x3 + bx2

2x + 3;

d) w(x) = (ax

3) bx;

b) w(x) = (a

2)x4

bx3 + abx2

x + 6;

e) w(x) = (a2

1)x2 + bx + 2;

c) w(x) = (a

b)x4 + (a + 2)x3 + bx2 + 7x

2;

f ) w(x) = (a + x)(b

x):

5.14.

Znajdź wielomian w wiedz ¾

ac, ·

ze

a) jego stopień jest równy 2, w(0) =

1, w(1) = 7, w(2) = 21;

b) jego stopień jest równy 3 oraz w(0) = 1, w( 1) =

2, w(2) = 43 i wspó÷

czynnik przy x3 jest

równy 5;

c) jego stopień jest równy 2 oraz w(0) = 3, w(1) = 2 i wyraz wolny jest równy 3; d) jego stopień jest równy 4 oraz w(0) = 3; w(1) = 3, w( 1) = 15, w(2) = 33; w( 2) = 93; e) jego stopień jest równy 5 oraz w(0) =

1; w(1) = 0; w( 1) =

2; w(2) = 31; w( 2) =

33 i

wyraz wolny jest rowny

1;

f ) jego stopień jest równy 3 oraz w(0) =

1; w(1) = 0; w(2) = 1; w(3) = 8:

5.15.

Wyznacz stopień wielomianu wn(x) = (2 + x)(2 + x2)(2 + x4) : : : (2 + x2n).

5.16.

Oblicz sum ¾

e wszystkich wspó÷

czynników danego wielomianu:

a) w(x) = (2x3 + 3x2

5x + 6)2;

d) w(x) = ( 7x3 + 6x2 + 2x3)725;

b) w(x) = (x

2)8 + (3x + 1)3;

e) w(x) = x6

2x3 + 5x;

c) w(x) = (2x2

5x3 + 2x4)10 + (2

2x)99;

f ) w(x) = x7 + x6

x5

x4:

4

Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.17.

Dane s ¾

a wielomiany w; p i q. Znajdź te wartości parametrów a, b i c, dla których wielomiany w p oraz q s ¾

a równe.

a) w(x) = 2x2 + bx + c;

p(x) = ax;

q(x) = 2x3 + 12x2 + 18x;

b) w(x) = x

1;

p(x) = ax + b;

q(x) = 6x2 + 3x

9;

c) w(x) = x; p(x) = ax + b; q(x) = 5x2 + 3x; d) w(x) = ax2 + 1; p(x) = bx; q(x) = 2x3 + x; e) w(x) = x

a; p(x) = x + b; q(x) = x2 + 2x

3;

f ) w(x) = ax + b; p(x) = cx + 1:

5.18.

Nie wykonuj ¾

ac dzielenia, znajdź reszt ¾

e z dzielenia wielomianu w przez dwumian p.

a) w(x) = x4 + 3x3

4x2 + 6x

2;

p(x) = x

1;

b) w(x) = (x

2)(x + 4)(x

3);

p(x) = x + 6;

c) w(x) = (x

2)3 + (x + 2)2;

p(x) = x + 2;

d) w(x) = (x

2)2[(x

1) + 2x];

p(x) = x

4;

e) w(x) = x5

x4 + 3x3

6x2 + 2x;

p(x) = x

2;

f ) w(x) = (x

2)3(x

1)2 + 3;

p(x) = x

4:

5.19.

Wiedz ¾

ac, ·

ze x0 jest pierwiastkiem wielomianu w, znajdź pozosta÷e pierwiastki tego wielomianu: a) w(x) = x4

6x3

19x2 + 84x, x0 =

4;

b) w(x) =

x5 + 12x4

4x3

90x2 + 149x

66; x0 =

3;

c) w(x) =

4x3 + 20x2 + 164x

180; x0 = 9;

d) w(x) = x6

14x4 + 49x2

36; x0 = 3;

e) w(x) = 5x4

145x2 + 500; x0 =

2;

f ) w(x) = x4

18x2 + 81; x0 = 3:

5.20.

Wiedz ¾

ac, ·

ze x0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu w, znajdź pozosta÷e pierwiastki tego wielomianu:

a) w(x) = x4 + 10x3 + 29x2 + 8x

48; x0 =

4;

b) w(x) = x5 + 14x4 + 24x3

350x2

1225x; x0 =

7;

c) w(x) = x5 + x4

14x3

6x2 + 45x

27; x0 = 1;

d) w(x) = x4

19x3 + 78x2 + 140x

200; x0 = 10;

e) w(x) = x6 + 10x5

14x4

260x3 + 109x2 + 1330x

1176; x0 =

7;

f ) w(x) =

x5 + 10x4

4x3

104x2 + 32x + 256; x0 =

2:

5.21.

Znajdź pierwiastki wielomianu w:

a) w(x) = x3 + (x

2)2

2x;

d) w(x) = x3

5x2 + 6x

2;

b) w(x) = x3

x2

x + 1;

e) w(x) = x3

2x2

19x + 20;

c) w(x) = x3

5x2 + 2x + 8;

f ) w(x) = x3 + 5x2 + 3x

9:

5. Wielomiany

5

5.22.

Rozwi ¾

a·

z równanie:

a) x2 + 6x + 4 = 0;

d) (x4

16)(x2

x

2) = 0;

b) x3

x2

6x = 0;

e) x5

x4

2x3

8x2 + 8x + 16 = 0;

c) x4

5x2 + 4 = 0;

f )

2x5 + 10x4 + 24x3

64x2

64x + 96 = 0:

5.23.

Rozwi ¾

a·

z równanie:

a) (x

1)4(x + 2)2 = (x + 2)2;

d) (x

5)2(x

4)2 = 121x2

360x + 400;

b) (x + 4)2 = x2;

e) 2(x

6)(x

3) = (x + 1);

c) x3

7x + 6 = x + 3;

f ) 3(x + 2)(x

1)2 = (x + 2)2:

5.24.

Znajdź zbiór rozwi ¾

azań nierówności:

a) (x

3)(x

2)(5

x)

0;

d) x4

5x2 + 4 < 0;

b) (x

2)2(x

1) > 0;

e) x5

2x4

12x3 + 24x2 + 27x

54 < 0;

c) x3

6x2 + 11x

6

0;

f )

4x4 + 4x3 + 24x2 > 0:

5.25.

Znajdź zbiór rozwi ¾

azań nierówności:

a) 2x3

6x2

4x + 12 < 0;

d) x4 + 4x3

6x2

24x

0;

b) x5

21x4 +143x3

259x2

588x+1372 > 0;

e) 4x3 + 4x2

296x

576

0;

c) x5

5x4

2x3 + 10x2 + x

5 > 0;

f ) 6x4

18x3

18x2 + 54x

0:

5.26.

Wyznacz przedzia÷

y, w których wielomian w przyjmuje wartości ujemne, jeśli a) w(x) = x4 + 12x3

9x2

220x;

b) w(x) = x5

13x3 + 36x;

c) w(x) = x5 + 7x4

52x3

364x2 + 576x + 4032;

d) w(x) = (x

2)2 + (x

1)3 + x;

e) w(x) = (x + 6)2x(x

7)2;

f ) w(x) = (x + 3)3(x

4)(x + 7)2:

5.27.

Wyznacz przedzia÷

y, w których wielomian w przyjmuje wartości dodatnie, jeśli a) w(x) = x3

10x2

11x;

d) w(x) = (x

3x2)4;

b) w(x) =

4x5 + x4 + 36x3

9x2;

e) w(x) = (x2

1)3x;

c) w(x) = (x4

16)(x2

36);

f ) w(x) = (x + 5)x(x2

6)(x2

4)2:

6

Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner Odpowiedzi

5.1.

a) 2x2 + 16x

36

d) x4 + 20x3 + 135x2 + 208x

339

b) 8x3

68x2 + 208x

212

e) x4

x3 + 6x2

9x + 8

c) 7x2 + 82x

164

f ) 4x4 + 18x3

76x2

42x

5.2.

a) 2x3 + 3x2 + 15x + 7

b) 16x4 + 128x3 + 381x2 + 525x + 239

c) 2x7 + 378x5

x4 + 5674x3

6x2 + 10 210x

1

d) x3

3x2

10x + 30

e) 243x4

486x3 + 3x2 + 486x

243

f )

5x6 + x4 + 12x3 + x2

5

5.3.

a)

13x2

10x + 2

d) x9

3x7

7x6 + 15x5

x3

2

b)

2x4

5x3 + 3x2 + 3x

6

e) x6

12x4 + 45x2

18x

91

c) x6 + 2x5

x4

21x3 + 4x2 + 30x

16

f ) 16x6

16x5

40x4 + 80x3

55x2 + 11x

2

5.4.

a) 4x2 + 2x

1

c) x2 + x + 1

e) x2

9

b) 6x2

8x + 24

d) x3 + 3x2

f ) x2 + 5x

6

5.5.

a) [ 4; +1)

c) [ 1; +1)

e) [ 169 ; +

8

1)

b) ( 1; 61]

d) [8; +

f ) (

4

1)

1; 0]

5.6.

a) 2(x

3)(x + 4)

c)

(x

2)(x + 3)

e)

3(x

8)(x + 1)

b) 3(x + 6)(x

7)

d) 11(x

4)(x + 7)

f )

4(x

2)(x + 1 )

2

5.7.

a) ( 1; 3) [ (2; +1)

c) (0; 4)

e) ( 1; 4) [ (0; +1)

p

p

b) ( 1;

3 )

3 ; +

d) ( 1; 0)

f )

3

[ ( 3

1)

R

5.8.

a) n = 1;

N = 2

c) n =

16;

N = 0

e) n = 4; N = 5

b) n = 0;

N = 4

d) n =

2 1 ;

N = 0

f ) n = 0;

N = 4

4

5.9.

a) a = 1 ;

a = 1

c) a = 3

e) a =

2

4

p

p

b) a 6= 1;

a 6= 1

d) a 6=

2 ; a 6=

3

f ) a 6= 2; a 6= 2; a 6= 1

5.10.

a) x2 + x

12

d) x5

10x4 + 35x3

50x2 + 24x

b)

x3 + 10x2

16x

e) 2x2

3x

c) x2

7x

18

f ) 6x3 + 14x2

12x

5. Wielomiany

7

5.11.

a) Tak

c) Nie

e) Tak

b) Nie

d) Tak

f ) Tak

5.12.

a) w(x) = (x

2)(x + 4)(6

x)

d) w(x) = x(x

10)(x + 5)(x

2)(x + 1)

b) w(x) = x(3

x)(x + 2)(9

x)

e) w(x) = (x2 + 4)(x

7)

c) w(x) = (x + 7)(2

x)(x

3)

f ) w(x) = x5

11x4 + 30x3 + x2

11x + 30

5.13.

a) Dla a 6= 1 stopień wielomianu w jest równy 3.

Dla a = 1 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 2.

Dla a = 1 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 0.

b) Dla a 6= 2 stopień wielomianu w jest równy 4: Dla a = 2 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 3: Dla a = 2 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 1.

c) Dla a 6= b stopień wielomianu w jest równy 4.

Dla a = b i a 6= 2 stopień wielomianu w jest równy 3: Dla a = b =

2 stopień wielomianu w jest równy 2:

d) Dla a 6= 0 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 2.

Dla a = 0 i b 6= 0 stopień wielomianu w wynosi 1: Dla a = 0 i b = 0 lub a 6= 0 i b = 0 stopień wielomianu w wynosi 0: e) Dla a = 1 lub a =

1 i b 6= 0 stopień wielomianu w jest równy 1.

Dla a 6= 1 i a 6= 1 i b 2 R stopień wielomianu w wynosi 2.

Dla a = 1 lub a =

1 i b = 0 stopień wielomianu w jest równy 0.

f ) Dla a 2 R i b 2 R wielomian w jest stopnia drugiego.

5.14.

a) w(x) = 3x2 + 5x

1

d) w(x) = 3x4

3x3 + 3x2

3x + 3

b) w(x) = 5x3 + x2

x + 1

e) w(x) = x5

1

c) w(x) = x2

2x + 3

f ) w(x) = (x

1)3

5.15.

Wielomian wn(x) jest stopnia 2n+1

1:

5.16.

a) 36

c) 1

e) 4

b) 65

d) 1

f ) 0

5.17.

a) a = 1;

b = 12;

c = 18

b) a = 6;

b = 9

c) a = 5;

b = 3

d) a = 2; b = 1

e) a =

3; b =

1 lub a = 1; b = 3

f ) a = 1; b = 5; c = 1 lub a = 5; b = 5; c = 15

8

Agnieszka Niedzia÷kowska, Joanna Kucner 5.18.

a) 4

c)

64

e) 20

b)

1

d) 44

f ) 75

5.19.

a) x = 0; x = 3; x = 7

d) x =

3; x =

2; x =

1; x = 1; x = 2

b) x = 1; x = 2; x = 11

e) x =

5; x = 2; x = 5

c) x = 1; x =

5

f ) x =

3

5.20.

a) x =

3; x = 1

d) x =

2; x = 1

b) x =

5; x = 0; x = 5

e) x =

3; x = 1; x = 2; x = 4

c) x =

3; x = 3

f ) x = 2; x = 4; x = 8

p

p

p

p

5.21.

a) x =

5

1;

x =

5

1;

x = 1

d) x = 1;

x = 2

2;

x = 2 +

2

b) x = 1;

x =

1

e) x = 1;

x =

4;

x = 5

c) x = 4;

x =

1;

x = 2

f ) x =

3; x = 1

p

p

5.22.

a) x =

5

3;

x =

5

3

d) x =

2;

x =

1;

x = 2

b) x = 3;

x =

2;

x = 0

e) x =

1; x = 2

c) x =

2;

x = 2;

x =

1;

x = 1

f ) x = 1; x = 6; x = 2; x =

2

5.23.

a) x = 2; x = 0; x =

2

d) x = 18; x = 0

b) x =

2

e) x = 7;

x = 52

p

p

p

p

c) x = 1

5 + 3 ; x = 3

1

5; x =

3

f ) x = 1

37 + 7 ; x = 7

1

37; x

2

2

2

2

2

6

6

6

6

5.24.

a) [2; 3] [ [5; +1);

d) ( 2;

1) [ (1; 2);

p p

b) (1; 2) [ (2; +1);

e) ( 1; 3) [ (

3;

3) [ (2; 3);

c) ( 1; 1] [ [2; 3];

f ) ( 2; 0) [ (0; 3) :

p

p

5.25.

a)

1;

2 [

2; 3

c) (5; 1)

e) [ 8;

2] [ [9; 1)

p

p

p

p

b) ( 2; 2) [ (7; 1)

d)

4;

6 [ 0; 6

f )

3; 0 [

3; 3

5.26.

a) ( 11;

5) [ (0; 4)

d) ( 1; 1)

b) ( 1; 3) [ ( 2; 0) [ (2; 3)

e) ( 1; 6) [ ( 6; 0)

c) ( 1; 7) [ ( 6; 4) [ (4; 6)

f ) ( 3; 4)

5.27.

a) ( 1; 0) [ (11; 1)

d) ( 1; 0) [ 0; 1

;

3

[ 13 1

b) ( 1; 3) [ 1; 3

e) ( 1; 0)

4

[ (1; 1)

p

p

c) ( 1; 6) [ ( 2; 2) [ (6; 1)

f )

6;

2 [ ( 2; 0) [ ( 1; 5) [

6; 1