1. Wielomiany W ( x) = a( x − 2)( x − 3) + b( x −1)( x − 3) + c( x −1)( x − 2) oraz 2
G( x) = 5 x −19 x +18 są
równe. Wyznacz liczby a, b oraz c.
2. Wiadomo, że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania
3
2
x + ax + bx − 6 = 0 . Znajdź trzeci
pierwiastek.
3. Dany jest wielomian
3
2
W ( x) = x + ax − bx − 6 . Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu. Wyznacz współczynniki a i b oraz rozwiąż nierówność W ( x) > 0 .
4. Wielomian
3
2
W ( x) = x − ( k + m) x − ( k − m) x + 3 jest podzielny przez dwumiany x −1 oraz x − 3 .
Oblicz współczynniki k oraz m.
5. Dla jakich a, b, c
3
2
W ( x) = x + ax + bx + c jest podzielny przez trójmian 2
x − 3 x + 2 i przy
dzieleniu przez dwumian x +1 daje resztę −24?
6. Wyznacz liczby p i q, tak aby liczba 3 była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu 3
2
W ( x) = x − 5 x + px + q .
7. Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumiany x − 3 oraz x + 5 są równe odpowiednio 5 i
−19. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez ( x − 3)( x + 5) .
8. Wykaż, że wielomian
2
( ) = ( − 2) m + ( −1) m
W x
x
x
−1 jest podzielny przez iloczyn ( x −1)( x − 2) dla
dowolnego m ∈ » .
+
9. Wykaż, że funkcja
100
f ( x) = x
+ mx + n ma dla dowolnych m, n ∈ » co najwyżej dwa miejsca zerowe.
10. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu
1991
W ( x) = x
+1 przez wielomian 2
x −1 .
11. Wykaż, że wielomian
4
3
2
W ( x) = x − 2 x + 2 x − 8 x +16 przyjmuje wartości dodatnie dla każdego
x ∈ » .
12. (*) Znajdź współczynniki a, b wielomianu
4
3
2
W ( x) = x + x −18 x + ax + b wiedząc, że wielomian ma dwa różne miejsc zerowe, wśród których jedno ma krotność 3 i jest liczbą całkowitą.
13. (*) Dla jakich wartości parametru m wielomian
3
W ( x) = 2 − mx − x ma dwa różne miejsca zerowe, z których jedno ma krotność 2? Czy istnieje takie m, dla którego wielomian ten ma jedno miejsce zerowe o krotności 3?
14. Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian
3
W ( x) = x + ax + b ma dwa różne miejsca zerowe, z których jedno ma krotność 2, a drugie jest od niego większe o 6?
15. Dla jakich wartości p równanie 3
x − px + p −1 = 0 ma trzy różne rozwiązania?
16. Przekształcając wykres funkcji
2
f ( x) = x narysuj wykres funkcji:
2
− x ,
2
( x +1) ,
2
x + 2 ,
2
( x − 3) +1,
2
−( x −1) + 2 ,
2
(− x + 2) − 3 ,
2
−(− x − 4) +1.
17. Znajdź współczynniki a, b, c funkcji
3
2
f ( x) = x + ax + bx + c tak, aby dla każdego x ∈ »
zachodziła równość
3
2
f (2 x −1) = 8 x − 20 x − 20 x − 7 .
18. Dla jakich wartości parametru m równanie
2
3
2
2
m x + ( m + 6 m) x + ( m + 6) x = 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?
19. Zbadaj w zależności od parametru m liczbę pierwiastków rzeczywistych równania 2
2
x ( x − m) = 3 x − 4 x .
20. Znajdź współczynniki p i q równania 2
x + px + q = 0 przy założeniu, że to równanie ma dwa różne rozwiązania x = p oraz
2
x = p .
1
2
21. Wykaż, że jeżeli liczby 0, 1, 2 i 3 są miejscami zerowymi wielomianu W o współczynnikach całkowitych, to dla każdej liczby całkowitej k liczba W ( k) jest podzielna przez 24.
22. Rozwiąż równania:
3
2
24 x − 2 x − 5 x +1 = 0 ,
3
2
10 x − x −15 x − 6 ,
4
3
2
12 t + 20 t − t − 6 t = 0 .
23. Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem:
3
4
f ( x) = x −1 + 16 − x .
24. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru p, dla których równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie wymierne: 3
2
x + 2 x + px − 3 = 0 , 3
2
x − x + px + 4 = 0 .