Statystyka Inżynierska W6: Wnioskowanie o populacji. Estymacja punktowa i przedzia lowa
dr hab. inż. Katarzyna Filipiak
Instytut Matematyki
Politechnika Poznańska
4.12.2015
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
1 / 15
Próba prosta
Obserwacj¸e przed jej pobraniem modelujemy jako zmienn¸a losow¸a X o rozk ladzie f (x) - rozk ladzie populacji.
Próba (losowa) prosta o liczebności n to zbiór n niezależnych zmiennych losowych X1,X2,...,Xn o takim samym rozk ladzie f (x) jak interesuj¸aca zmienna losowa X
w populacji.
Niech X1,X2,...,Xn – zmienne losowe reprezentuj¸ace nieznane pomiary, które w procesie losowania próby zamieni¸a si¸e w pierwsz¸a, drug¸a, . . . , nt¸a obserwacj¸e.
x1,x2,...,xn – realizacje zmiennych losowych X1,X2,...,Xn (obserwacje).
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
2 / 15
Statystyka – dowolna funkcja zmiennych losowych X1,X2,...Xn stanowi¸acych prób¸e, nie zawieraj¸aca nieznanych parametrów.
Statystyka jest zmienn¸a losow¸a!!!
θ - nieznany parametr
Estymator b
θ = bθ(X1,X2,...Xn) = bθn – statystyka, która określa sposób obliczania oceny parametru θ .
Estymator jest zmienn¸a losow¸a!!!
Wartość liczbow¸a b
θ (realizacj¸e statystyki bθ) wyznaczon¸a z danych po pobraniu próby (po przeprowadzeniu eksperymentu) nazywamy ocen¸a parametru θ .
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
3 / 15
Estymatory - w lasności
Estymator nieobci¸ażony:
E(b
θ) = θ.
Estymator najlepszy nieobci¸ażony to estymator nieobci¸ażony o najmniejszej wariancji.
Estymator zgodny:
∀ε>0
lim P(|bθ
n
n − θ | < ε) = 1.
→∞
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
4 / 15
Estymacja punktowa
Estymacja przedzia lowa
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
5 / 15
Estymacja punktowa średniej
Parametr:
średnia populacyjna µ
Próba:
X1,X2,...,Xn
1 n
Estymator: X =
∑ X
n
i
i=1
W lasności:
√
E(X) = µ, D2(X) = σ2/n, D(X) = σ/ n K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
6 / 15
Estymacja punktowa wariancji Parametr:
wariancja populacyjna σ 2
Próba:
X1,X2,...,Xn
!
1
n
Estymator: s2 =
∑ X2
n − 1
i − nX2
i=1
W lasności:
E(s2) = σ2
Uwaga:
E(s) < σ
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
7 / 15
Estymacja punktowa wskaźnika struktury Parametr:
wskaźnik struktury p (proporcja populacyjna) Próba:
T = ∑ni=1 Xi – liczba sukcesów (elementów wyróżnionych w n-elementowej próbie) Estymator: ˆp = T/n
W lasności:
r
pq
pq
E(ˆp) = p, D2(ˆp) =
,
D(ˆp) =
n
n
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
8 / 15
Estymacja przedzia lowa Niech (1 − α) b¸edzie określonym ”dużym” prawdo-podobieństwem i niech statystyki (zmienne losowe) L oraz U b¸ed¸a funkcjami X1,X2,...,Xn takimi, że P(L < θ < U) = 1 − α.
Wówczas przedzia l losowy (L, U) nazywamy (1 − α)100% przedzia lem ufności dla parametru θ a wartość (1 − α) nazywamy wspó lczynnikiem ufności przedzia lu.
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
9 / 15
Przedzia l ufności dla średniej
Za lożenie:
populacja normalna ze znan¸a σ
100(1 − α)% przedzia l ufności dla µ:
σ
σ
X − zα/2 ·√ , X + z
,
n
α/2 ·√n
gdzie zβ jest wartości¸a krytyczn¸a standaryzowanego rozk ladu normalnego, tzn. P(Z > zβ ) = β ; Z ∼ N(0,1).
Zapis równoważny przedzia lu ufności:
σ
σ
P X − zα/2 ·√ < µ < X + z
= 1
n
α/2 ·√n
− α.
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
10 / 15
Przedzia l ufności dla średniej Za lożenie:
próba duża (n ≥ 30)
100(1 − α)% przedzia l ufności dla µ:
s
s
X − zα/2 ·√ , X + z
n
α/2 ·√n
gdzie zβ jest wartości¸a krytyczn¸a standaryzowanego rozk ladu normalnego, tzn. P(Z > zβ ) = β ; Z ∼ N(0,1).
Zapis równoważny przedzia lu ufności:
s
s
P X − zα/2 ·√ < µ < X + z
= 1
n
α/2 ·√n
− α.
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
11 / 15
Przedzia l ufności dla średniej
Za lożenie:
populacja normalna z nieznan¸a σ
100(1 − α)% przedzia l ufności dla µ:
s
s
X − tn−1,α/2 ·√ , X +t
n
n−1,α/2 ·√n
gdzie tn−1,β jest wartości¸a krytyczn¸a rozk ladu t-Studenta, tzn. P(t > tn−1,β) = β; t ∼ tn−1.
Zapis równoważny przedzia lu ufności:
s
s
P X − tn−1,α/2 ·√ < µ < X +t
= 1
n
n−1,α/2 ·√n
− α.
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
12 / 15
Przedzia l ufności dla wariancji Za lożenie:
populacja normalna
100(1 − α)% przedzia l ufności dla σ2:
!
(n − 1)s2
(n − 1)s2
χ2
, χ2
n−1,α/2
n−1,1−α/2
gdzie χ2n−1,β jest wartości¸a krytyczn¸a rozk ladu chi-kwadrat, tzn. P(χ2 > χ2n−1,β) = β; χ2 ∼ χ2n−1.
Zapis równoważny przedzia lu ufności:
!
(n
(n
P
− 1)s2
− 1)s2
χ2
< σ 2 < χ2
= 1 − α.
n−1,α/2
n−1,1−α/2
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
13 / 15
Przedzia l ufności dla wariancji
Za lożenie:
próba duża
100(1 − α)% przedzia l ufności dla σ2:
s
s
,
1 z
z
+ α/2
√
1
α/2
√
2n
− 2n
gdzie zβ jest wartości¸a krytyczn¸a standaryzowanego rozk ladu normalnego, tzn. P(Z > zβ ) = β ; Z ∼ N(0,1).
Zapis równoważny przedzia lu ufności:
s
s
P
< σ 2 <
= 1 −α.
1 z
z
+ α/2
√
1
α/2
√
2n
− 2n
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
14 / 15
Przedzia l ufności dla wskaźnika struktury Za lożenie:
próba duża (n ≥ 100)
Próba:
T – liczba sukcesów, ˆp = T/n, ˆq = 1 − ˆp 100(1 − α)% przedzia l ufności dla p: r
r !
ˆpˆq
ˆpˆq
ˆp − zα/2 ·
, ˆp + z
,
n
α/2 ·
n
gdzie zβ jest wartości¸a krytyczn¸a standaryzowanego rozk ladu normalnego, tzn. P(Z > zβ ) = β ; Z ∼ N(0,1).
Zapis równoważny przedzia lu ufności: r
r !
ˆpˆq
ˆpˆq
P ˆp − zα/2 ·
< p < ˆp + z
= 1
n
α/2 ·
n
− α.
K. Filipiak (Poznań, Polska)
Statystyka Inżynierska
4.12.2015
15 / 15