 | Pobierz cały dokument 2005.12.05.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf Rozmiar 59 KB |
Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
N – ilość którzy doszli do 3 etapu P(K+M=k)=P(N=n-k)
2
2
2
4
P(dojdzie do 3 etapu)= 1
( − θ) = =
5
25
n− k
k
k
n
k
n− k
k
n
4
21
n 1 25 4 21
n 4
21
P( K + M = k) =
=
=
2 n
k
k
2 n
n − k
25
25
k 5
4
25
k
5
Zadanie 2
L = 40
θ
1
( −
120
40
θ)
P
( T ≥ 6) = 40
θ
1
( −
120
θ)
[ θ 1(− 6
θ) + θ 1
( − θ) + .. ]60
7
.
=
360
−
40
120
60 1
(
θ)
40
480
= θ 1
( − θ)
θ
= θ 1
( − θ)
60
θ
ln L = 40 ln θ + 480 ln 1
( − θ)
∂
40
480
40 1
( − θ) − 480 θ
− 520 θ + 40
40
1
ˆ
=
−
=
=
= 0 → θ =
=
∂ θ
θ
1 − θ
θ 1
( − θ)
θ 1
( − θ)
520
13
Zadanie 3
∑( Z
i − Z )2 = ∑
2
Zi −
2
Z
n
Z ≅ N ( ;
0 2 2
σ )
Z = X − Y
i
i
i
2
2 σ
X − Y = X − Y
Z ≅ N ;
0
15
2
Z
Z
2
P
> c = P
> c =
1
2
1
2
∑( Zi − Z )
2
+15 Z
∑( Zi − Z )
2
+ Z
15
15
2
Z 15
2 σ
2
X
= P
2
>
∑(
=
>
,
2
2
Z − Z
+
i
)
c
P
c
gdzie
Y
X
Z 15
+
2 σ 2
2 σ
2
X ≅ χ
)
1
( ,
2
Y ≅ χ 1
( 4
)
i n
z
l
}
≅ F 1
;
1
(
4)
14 X
14 2
c
14 2
= P
>
→
c
= 6
,
4
→ c ≈ ,
0 4973
Y
1
2
− c
1
2
−
c
Zadanie 4
p ≅ J (
)
1
,
0
P(
+
7 ×
P
T
12)
(
7 w 1
2
T
)
=
P(
7 w 1
2)
1 12
121
12
LICZ = ∫
7
5
8
2
3
4
5
1
1
10
10
5
1
p 1
( − p) p = ∫ p (1− 5 p +10 p −10 p + 5 p − p )
= − + − + −
7
7
7 9
2
11
12
13
14
0
0
1 12
12
MIAN = ∫
1 5 10 10
5
1
7
5
p 1
( − p) = − +
−
+
−
7
7 8
9
10
11
12
13
0
LICZ
8
=
MIAN
14
Zadanie 5
(∑ X 2, X - STAT dostateczna i zupełna i
∑ i )
2
σ
weźmy naturalnie: ˆ µ = X , 2
σ = S, X ≅ N ; µ
i
X , S n
zl
9
≅ t(8)
4
6
4
7 8
(
X − µ)3
3
8
E
= 0 → E = E
g
dzi
e
2
X ≅ χ
)
8
(
S
S
σ X
∞
∞
7 −
8
E
=
1
8
1
1
3
x / 2
8
1
x / 2
∫
−
x e
=
x
e
0,5
4
∫
2
−
=
σ X
σ
x
2 Γ
4
( )
4
σ
2 Γ( )
4
0
0
∞
7 −
x
1 −
= 8
1
1
8
)
5
,
3
(
1
x
e
dx 2
)
5
,
3
(
)
5
,
3
(
4
∫
,
3 5
Γ
2
2
⋅
Γ
=
=
Γ
→
 | Pobierz cały dokument 2005.12.05.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf rozmiar 59 KB |