Matematyczna
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Zadanie 1.
Oblicz pochodną funkcji:
(a) f ( x) = xxx
q
(b) f ( x) = log
sin( π + x)
sin4 x− cos4 x
(c) f ( x) = sin sin x · log x 2(2 x)
cos( π−x)
(d) f ( x) = tg x + π 2
ln x
(e) f ( x) = x x
(f) f ( x) = tg( |x − x 2 | cos( x 2)) W punkcie (b) podaj też dziedzinę pochodnej.
Zadanie 2.
00
Rozwiąż nierówność: ( x ln x) < 0 .
Zadanie 3.
Dla jakich par parametrów ( A, B) podana funkcja jest różniczkowalna w x 0?
eAx + B dla x 0
(a) f ( x) =
Bx
, x 0 = 0
dla x < 0 ,
x − 1
xex
dla x > 1
(b) f ( x) =
eAx
, x 0 = 1
dla x ¬ 1 ,
B
Zadanie 4.
Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnij, że istnieje x 0 ∈ 0 , π
taki, że styczna do wykresu
2
funkcji f ( x) = arctg( x + cos x) wyznaczona w ( x 0 , f ( x 0)) jest równoległa do prostej 3 y = x.
Zadanie 5.
W jakich punktach przecinają oś 0 y te styczne do wykresu funkcji y = ln(tg2 x), które są prostopadłe do prostej 4 y + x = 1?
1
Wyznacz te styczne do wykresu funkcji y = 2 x + 4 −x, które są równoległe do podanej prostej: (a) y + x ln 2 = 0;
(b) y + ln 2 = 0.
Zadanie 7.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie
(a) f ( x) = (cos( − 3 x)) − cos( π− 3 x), π , f ( π )
9
9
(b) f ( x) = x ln x, ( e, f ( e)) (c) f ( x) = x ln x, ( e 3 , f ( e 3)) Zadanie 8.
W jakich punktach (styczności) należy wytyczyć styczne do wykresu funkcji f ( x) = x ln2(2 x), aby nie przechodziły one przez czwartą ćwiartkę układu współrzędnych?
Zadanie 9.
Wyznacz punkty przecięcia wykresów funkcji f ( x) = log x oraz g( x) = log 2. Wybierz dowolny z 2
x
nich i wykaż, że wyznaczone w nim styczne do wykresów tych funkcji odcinają wraz z osią 0 y trójkąt równoramienny.
Zadanie 10.
W jakim punkcie i pod jakim kątem krzywa y = 41 −x przetnie styczną do wykresu f ( x) = x log x 2
wytyczoną w punkcie (666 , f (666))?
Zadanie 11.
W punkcie (0 , f (0)) wyznaczamy styczną do wykresu f ( x). Jaki jest jej współczynnik kierunkowy, d 4 sin x
gdy f ( x) =
?
dx 4
ex
Zadanie 12.
Gdzie i po co styczna do wykresu funkcji f ( x) = (cos x)sin( x+ π ) π
π
2
wyznaczona w punkcie
, f
3
3
przetnie oś 0 x?
Zadanie 13.
W którym z punktów przecięcia krzywych y = tg x i y = sin(2 x) ( −π < 6 x < 3 π) kąt pomiędzy nimi jest ostrzejszy i ile wynosi?
Zadanie 14.
Prosta y = ax+ b jest styczna do wykresu funkcji f ( x) w punkcie ( π, f ( π)). Wyznacz jej współczynnik d 7 g( x)
kierunkowy, gdy f ( x) =
dla g( x) = ( x 2 + x + 1) sin x.
dx 7
Zadanie 15.
W jakim punkcie przetną się styczne do wykresu funkcji f ( x) = x ln2 x wytyczone w punktach ( e, f ( e)) i ( e− 1 , f ( e− 1)).
2
1
Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f ( x) =
,
log
e
x 2 −x+1
gdy są one
(a) równoległe;
(b) prostopadłe
do prostej x + y = 2.
Zadanie 17.
Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f ( x) = arctg(1 − 2 x), gdy są one (a) równoległe;
(b) prostopadłe
do prostej y − 5 x = 4.
Zadanie 18.
Dla jakich wartości B prosta y = 2 x + B jest styczna do wykresu funkcji f ( x) = ln x 2 − 3 x + 3
?
2
Zadanie 19.
Oblicz przybliżoną wartość podanego wyrażenia
(a) (tg 440)sin 880
(b) (cos 620)sin( − 280)
ln 1 , 02
(c) √ 1 , 96
(d) (0 , 51)0 , 49
Zadanie 20.
Oszacuj błąd przybliżenia:
(a) 3 sin x cos x cos(2 x) ≈ 3 x − 8 x 3 dla x ∈ − π , 0
16
(b) cos x ≈ ex(1 − x) dla 0 < 3 x < 1 oraz dla 0 < x < 1
Zadanie 21.
Przybliż podaną funkcję trójmianem kwadratowym i oszacuj błąd przybliżenia: (a) f ( x) = e−x 2 dla − 1 < x < 0
2
(b) f ( x) = ln sin 2 x + π
dla x ∈ 0 , π
3
12
3
Wyznacz współczynnik przy x 13 dla rozwinięcia funkcji f ( x) = e−x 2 według wzoru Maclaurina z resztą Rn z n > 13.
Zadanie 23.
Wyznacz współczynnik przy x 17 dla rozwinięcia funkcji f ( x) = ( x 2 − x) cos(2 x) według wzoru Maclaurina z resztą Rn z n > 17.
Zadanie 24.
ln( x + 1)
Korzystając ze wzoru Maclaurina wyznacz równanie prostej przybliżającej łuk wykresu y =
ex
na przedziale 0 < x < 0 , 1.
Zadanie 25.
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f ( x) = 2 x − 1 + ln( x 2 + 4 x + 4) oraz przedziały I o własności:
x 1, x 2 ∈ I ⇐⇒ odcinek łączący punkty ( x 1 , f ( x 1)) i ( x 2 , f ( x 2)) leży poniżej łączącego je łuku wykresu funkcji f ( x).
Zadanie 26.
ln( x 3 − 3 x)
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f ( x) =
.
3
Zadanie 27.
Przy pomocy metod rachunku różniczkowego oblicz odległość punktu (0 , 1) od krzywej xy = x 2+ x+1.
Zadanie 28.
x 4 + A
3
Wartość f ( x) =
w jej ekstremach wynosi A 2 . Wyznacz A liczbowo; znajdź punkty, w których x 2
f ( x) ma ekstrema, i określ rodzaj ekstremów.
Zadanie 29.
1
Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f ( x) =
dla |x| < π.
e cos x
Zadanie 30.
a
Określ przedziały monotoniczności oraz granicę lim f ( x) dla f ( x) = axe x w zależności od paramex→ 0+
tru a.
Zadanie 31.
h
i
Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) = xx na przedziale 1 , 3 .
3
Zadanie 32.
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji f ( x) = ln( x 3) − ln3 x.
Zadanie 33.
h
i
Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) = 2arctg x + x na przedziale 0 , π .
3
4
W ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratu, polu powierzchni bocznej równym S i maksymalnej objetości wpisano kulę. Oblicz jej objętość.
Zadanie 35.
Określ przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f ( x) = x 2 ln( −x).
Zadanie 36.
√
√
Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f ( x) = 3 3 x + 1 −
x + 1.
Zadanie 37.
Określ wszystkie ekstrema lokalne funkcji f ( x) = log x+log 2. Podaj równanie wyznaczające punkty 2
x
przegięcia tej funkcji (bez rozwiazywania tego równania).
Zadanie 38.
√
Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) = x x na przedziale [2 − 4 , 2 − 2].
5