Wykªad nr 2 (In»ynieria sanitarna)
• Podstawowe denicje i wªasno±ci
• Pierwiastki wielomianów
• Zasadnicze twierdzenie algebry
• Uªamki proste
Denicja 1. (wielomian rzeczywisty)
Wielomianem rzeczywistym stopnia n ∈ N∪{0} nazywamy funkcj¦ W : R −→
R okre±lon¡ wzorem:
W (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
gdzie ak ∈ R dla 0 6 k 6 n oraz an 6= 0. Liczby ak ∈ R, gdzie 0 6 k 6 n nazywamy wspóªczynnikami wielomianu W .
√
Przykªad 1. Funkcje P (x) = 13, Q(x) = −x3 + 3x − 15,
4
R(x) = 9x9 − 7x7 + x s¡ wielomianami rzeczywistymi odpowiednio stopnia 0, 3 oraz 9.
Denicja 2. (wielomian zespolony)
Wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcj¦ W : C −→
C okre±lon¡ wzorem:
W (z) = cnzn + cn−1zn−1 + · · · + c1z + c0,
gdzie ck ∈ C dla 0 6 k 6 n oraz an 6= 0. Liczby ck ∈ C, gdzie 0 6 k 6 n nazywamy wspóªczynnikami wielomianu W .
Uwaga 1. Ka»dy wielomian rzeczywisty mo»na traktowa¢ jako wielomian zespolony rozszerzaj¡c jego dziedzin¦ z R na C. Tak b¦dziemy post¦powa¢
przy omawianiu pierwiastków zespolonych wielomianów rzeczywistych. Wielomian rzeczywisty b¡d¹ zespolony b¦dziemy nazywali krótko wielomianem.
Przykªad 2. Funkcje W (z) = 1 − 2i, V (z) = z2 + 1 oraz U(z) = iz15 + (2 −
3i)z6 + 4 − i s¡ wielomianami zespolonymi odpowiednio stopnia 0, 2 oraz 15.
Denicja 3. (suma, ró»nica i iloczyn wielomianów)
Niech P i Q b¦d¡ wielomianami. Sum¦, ró»nic¦ i iloczyn wielomianów P i Q
okre±lamy w sposób naturalny, tj. przyjmujemy:
(P ± Q)(x) := P (x) ± Q(x),
(P · Q)(x) := P (x) · Q(x).
wiczenie 1. Obliczy¢ sumy i ró»nice podanych wielomianów:
a) P (x) = 1 − x2, Q(x) = −1 + 5x + x2;
b) P (x) = 2z5 − iz2 + z − i, Q(x) = 5x2 − 6ix + 3;
c) P (x) = (1 + i)z2 − 2z, Q(x) = iz3 − z2 + 5i.
wiczenie 2. Obliczy¢ iloczyny podanych wielomianów:
a) P (x) = 4 − x2, Q(x) = 1 + 3x3;
b) P (x) = z2 + i, Q(x) = (1 − i)z3 + iz + 3 − 2i.
1
Denicja 4. (podzielno±¢ wielomianów)
Mówimy, »e wielomian S jest ilorazem, a wielomian R reszt¡ z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, je»eli dla ka»dego x ∈ R (x ∈ C) speªniony jest warunek:
P (x) = Q(x) · S(x) + R(x)
oraz stopie« reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Je»eli R(x) = 0, to mówimy, »e wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.
wiczenie 3. Obliczy¢ ilorazy i reszty powstaªe z dzielenia
podanych wielomianów:
a) P (x) = 8x4 + 3x2 + 5x − 6, Q(x) = x + 1;
b) P (x) = x3 + 27, Q(x) = x2 − 3x + 9;
c) P (x) = iz3 + 2z − 1 + 3i, Q(x) = z − 2i;
d) P (x) = z4 + 1, Q(x) = z2 − i.
Denicja 5. (pierwiastek wielomianu)
Liczb¦ rzeczywist¡ (zespolon¡) x0 nazywamy pierwiastkiem
rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , je»eli
W (x0) = 0.
wiczenie 4. Sprawdzi¢, »e podane liczby s¡ pierwiastkami wskazanych wielomianów:
a) x1 = −1, x2 = 1, x3 = −i, x4 = i, W (x) = x4 − 1;
b) x1 = −2, x2 = 1 − i, x3 = 1 + i, W (x) = x3 − 2x + 4;
c) z1 = 1 + i, z2 = −1 − 3i, W (z) = z2 + 2iz + 2 − 4i.
Twierdzenie 1. ( Bézout1)
Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, »e
W (x) = (x − x0)P (x).
Uwaga 2. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x−x0 jest równa W (x0).
Twierdzenie 2. ( pierwiastek wielokrotny wielomianu)
Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, »e
W (x) = (x − x0)kP (x) oraz P (x0) 6= 0.
1Étienne Bézout (1730-1783)-matematyk francuski.
2
Twierdzenie 3. ( o pierwiastkach caªkowitych wielomianu) Niech
W (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
b¦dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych oraz niech liczba caªkowita p 6= 0 b¦dzie pierwiastkiem wielomianu W .
Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Uwaga 3. Wielomian o wspóªczynnikach caªkowitych mo»e nie mie¢ pierwiastków caªkowitych. Przykªadami takich wielomianów s¡: x3 − 2, x2 + 1.
wiczenie 5. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki
caªkowite podanych wielomianów:
a) W (x) = x3 − 2x2 + 5x + 8; b) W (x) = x3 + x2 − 5x + 3;
c) W (x) = x4 − 7x3 + 4x2 + 3; d) W (x) = 4x4 − 4x3 − 7x2 − x − 2.
Twierdzenie 4. ( o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
Niech
W (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
b¦dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych oraz niech liczba wymierna p , gdzie p i q s¡ liczbami caªkowitymi wzgl¦dnie pierwszymi, b¦dzie pierwiast-q
kiem wielomianu W . Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem wspóªczynnika an tego wielomianu.
Uwaga 4. Je»eli an = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu s¡
caªkowite.
wiczenie 6. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
a) W (x) = 4x3 + x2 − 3x + 1; b) W (x) = 4x3 − 18x2 − 2x + 5; c) W (x) = 24x3 − 10x2 − 3x + 1.
Twierdzenie 5. ( pierwiastki trójmianu kwadratowego)
Wielomian zespolony W (z) = az2 + bz + c, gdzie a, b, c ∈ C oraz a 6= 0, ma dwa pierwiastki zespolone postaci:
√
√
−b −
∆
−b +
∆
z1 =
,
z2 =
,
2a
2a
gdzie ∆ = b2 − 4ac.
wiczenie 7. Znale¹¢ pierwiastki podanych trójmianów
kwadratowych:
a) W (z) = z2 − 2z + 2;
b) W (z) = 2z2 + (6 − 2i)z + 4 − 3i;
c) W (z) = z2 + (2 − i)z + 3 − i;
d) W (z) = 6z2 + (5i − 3)z − 1 − i.
3
Twierdzenie 6. ( zasadnicze twierdzenie algebry) Ka»dy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Uwaga 5. W tabeli poni»ej podane s¡ przykªady równa« wielomianowych o wspóªczynnikach z danej klasy liczbowej, które nie maj¡ pierwiastków w tej klasie, ale maj¡ je w nast¦pnej.
Klasa liczb
Oznaczenie
Równanie
liczby naturalne
N
x + 5 = 0
liczby caªkowite
Z
4x + 5 = 0
liczby wymierne
Q
x2 − 2 = 0
liczby rzeczywiste
R
x2 + 3 = 0
liczby zespolone
C
ka»de równanie ma pierwiastek zespolony
Notka historyczna 1. Zasadnicze twierdzenie algebry zostaªo sformuªowane w XVIII wieku przez Maclaurina2 i Eulera3. Twierdzenie to próbowali udo-wodni¢ najwi¦ksi matematycy osiemnastowieczni: d'Alembert4, Euler, La-grange5. Kilka dowodów tego twierdzenia podaª Gauss w XIX wieku. W zna-nych wspóªcze±nie dowodach wykorzystuje si¦ metody analizy matematycznej i zaawansowane metody algebry.
Twierdzenie 7. ( o przedstawianiu wielomianu w postaci
iloczynu dwumianów)
1. Ka»dy wielomian zespolony stopnia n ∈ C ma dokªadnie n
pierwiastków zespolonych (uwzgl¦dniaj¡c pierwiastki wielokrotne). 2. Niech liczby zespolone z1, z2, . . . , zn b¦d¡ pierwiastkami wielomianu W stopnia n ∈
C, przy czym niektóre pierwiastki mog¡ si¦ powtarza¢. Wtedy wielomian W
mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (z) = cn(z − z1)(z − z2) · · · · · (z − zn),
gdzie cn jest wspóªczynnikiem przy zn wielomianu W .
wiczenie 8. Podane wielomiany rozªo»y¢ na iloczyny
dwumianów:
a) W (z) = z2 + i;
b) W (z) = z3 + 1;
c) W (z) = z6 + 3z4 + 3z2 + 1;
d) W (z) = z4 + iz2 + 6.
2Colin Maclaurin (1698-1746)-matematyk szkocki.
3Leonard Euler (1707-1783)-matematyk, zyk i astronom szwajcarski.
4Jean le Rond d'Alembert (1717-1783)-matematyk i zyk francuski.
5Joseph Louis Lagrange (1736-1813)-matematyk i zyk francuski.
4
Twierdzenie 8. ( pierwiastki wielomianów zespolonych o wspóªczynnikach rzeczywistych)
Je»eli liczba zespolona z = a + bi jest miejscem zerowym
wielomianu w(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 o wspóªczynnikach rzeczywistych, to liczba zespolona sprz¦»ona z = a − bi jest równie» miejscem zerowym tego wielomianu.
wiczenie 9. Znaj¡c jeden pierwiastek wielomianu znale¹¢
pozostaªe pierwiastki:√
√
√
a) W (x) = x3 − (2 + 3)x2 + 2(1 + 3)x − 2 3, x1 = 1 − i;
b) W (x) = x4 − x3 + x2 + 9x − 10, x1 = 1 + 2i.
wiczenie 10. Sprawdzi¢, »e liczba z1 = i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z4 − (1 + i)z3 + (3 + i)z2 + (5 − 3i)z − 5i
i nast¦pnie znale¹¢ jego pozostaªe pierwiastki.
wiczenie 11. Podane wielomiany przedstawi¢ w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych nierozkªadalnych:
a) W (x) = x3 − 8;
b) W (x) = x4 + 16;
c) W (x) = x4 − 3x2 + 2;
d) W (x) = x6 + 27.
Uªamki proste
Denicja 6. (funkcja wymierna)
Funkcj¡ wymiern¡ rzeczywist¡ nazywamy iloraz dwóch
wielomianów rzeczywistych, przy czym dzielnik nie jest
wielomianem zerowym.
Denicja 7. (funkcja wymierna wªa±ciwa)
Funkcj¦ wymiern¡ nazywamy wªa±ciw¡, je»eli stopie« wielomianu w liczniku uªamka okre±laj¡cego t¦ funkcj¦ jest mniejszy od stopnia wielomianu w mia-nowniku.
Uwaga 6. Ka»da funkcja wymierna jest sum¡ wielomianu oraz funkcji wymiernej wªa±ciwej.
5
wiczenie 12. Podane funkcje wymierne rozªo»y¢ na sum¦
wielomianu i funkcji wymiernej wªa±ciwej:
a) x4 + 4x + 1;
x2 + 2
b) x5 + x.
x3 + 1
Denicja 8. (uªamki proste)
1. Uªamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcj¦ wymiern¡ postaci:
A
,
(ax + b)n
gdzie a, b, A ∈ R oraz n ∈ N.
2. Uªamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcj¦ wymiern¡ postaci:
Ax + B
,
(ax2 + bx + b)n
gdzie a, b, c, A, B ∈ R oraz n ∈ N, przy czym ∆ = b2 − 4ac < 0.
Przykªad 3. Funkcje wymierne
−1
5
2
,
,
x + 2
(x − 3)4
x99
s¡ uªamkami prostymi pierwszego rodzaju.
Natomiast funkcje wymierne
1
2 − x
x
3x − 5
,
,
,
x2 + 1
x2 + 2x + 5
(x2 + 4)20
(x2 − 4x + 19)100
s¡ uªamkami prostymi drugiego rodzaju.
Twierdzenie 9. ( o rozkªadzie funkcji wymiernej na uªamki proste) Ka»da funkcja wymierna wªa±ciwa posiada jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy uªamków prostych.
wiczenie 13. Podane funkcje wymierne rozªo»y¢ na sum¦ uªamków prostych:
a)
1
;
x2(x − 1)2
b)
x2
;
x3 + 2x2 + 2x + 1
c) 2x4 + 3x2 − 1;
x3 − x
6
x3 + 27
e)
x
.
(x2 + 1)2
7