Obliczenie momentu bezwładności jednorodnego walca względem osi symetrii

widok z boku

widok z góry

z definicji momentu bezwładności dla ciała o ciągłym rozkładzie masy I

2

w 0 = ∫ r dm

(1)

m

(indeks „0” oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy) jako element dm wybieramy powłokę cylindryczną o promieniu wewnętrznym r i grubości dr → 0

dm = ρ dV

dV = V + − V = π ( r + dr)2 h − π r 2 h = π h( r 2 + 2 r dr + dr 2 − r 2) = π

2 h r dr

r dr

r

dm = ρ ⋅ π

2 h r dr

(2)

dm zostało wyrażone w funkcji r i dr; zmiana zmiennej całkowania pociąga za sobą konieczność zmiany granic całkowania R

∫K dm → ∫K dr

m

0

podstawiamy (2) do (1):

R

I 0 = r 2 dm

∫

= r

∫ 2 ⋅ π

2 ρ h r dr = ...

w

m

0

wielkości stałe wyciągamy przed znak całki R

R

4

4

 r 

R

1

3

4

... = 2 π ρ h r dr

∫

=2 π ρ h

= 2 π ρ h

= π ρ h R

 

0

4

4

2

 0

masa całkowita walca

m = ρ V = ρ ⋅ R 2

π

h

stąd moment bezwładności

1

1

2

2

2

I

= ρ π

⋅

=

w 0

R h R

m R

2

2

= m