SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 1
1. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór: (a) |z − 2 | ¬ Im z + 3
(b) Re( z(1 + i)) ¬ 1
z + i
(c) Re
¬ 1
z − i
z + 1
(d) Im
0
z + 3
(e) |z − 1 | | Re z|
¯
z + 1
(f) Re
1
z
2. Rozwiązać równanie :
(a) z ¯
z + z − ¯
z = 3 + 2 i
(b) z 4 + 3 z 2 − 4 = 0
1 − i
(c) z 6 = √ 3 + i (1 + i)16
(d) z 4 =
√
( − 1 +
3 i)12
(e) ( z 3 + 8)( z 2 + 4 z + 13) = 0
(f) ( z 3 + i)( z 2 + iz − 2 − 6 i) = 0
3. Dla funkcji f ( z) znaleźć u( x, y) , v( x, y) ( f = u + iv
,
z = x + iy) (a) f ( z) = z 2 + 4 i (b) f ( z) = 1 z (c) f ( z) = z+2 i z−i
(d) f ( z) = (1 + i) z (e) f ( z) = iz 3
(f) f ( z) = 4 |z| 2 + 3 iz 4. Mając dane u( x, y) , v( x, y) , znaleźć funkcję f ( z) ( f = u + iv
,
z = x + iy) (a) u = x 2 − y 2
,
v = − 2 xy
(b) u = x − y
,
v = x 2 + y 2
(c) u =
y
,
v =
x
x 2+ y 2
x 2+ y 2
5. Narysować obraz obszaru D : f ( D) (a) f ( z) = 2 z − 1
,
D : trójkąt ∆ ABC , gdzie A = 0 , B = i , C = − 1 + i (b) f ( z) = 2 z 2
,
D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 2
1
(c) f ( z) =
,
D : 0 ¬ x ¬ 1 , − 1 ¬ y ¬ 0
z
(d) f ( z) =
,
D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 1
z
6. Obliczyć granicę:
2 n + 4 i n
(a) lim
n→∞
3 ni − 7
2 n 3 + in 2 − 5 n (b) lim
n→∞
in 3 − 2 n + 6
2 n 3 + in 2 − 5 n (c) lim
n→∞
in 3 − 2 n + 6
7. Obliczyć:
(a) sin( π + 3 i)
(b) e 2 −πi
(c) sinh(2 i)
(d) ln(1 + i)
(e) ln( − 1)
(f) ei
(g) i 1+ i