Ekonometria  Wykład 5  Prognozy, błędy ex ante
Przykład 1
Liczba studentów (w tys.)
20
18
16
14
12
10
8
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Liczna studentów (w tys.)
Liczba studentów (w tys.)
20
18
16
14
12
10
8
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Liczna studentów (w tys.) Liniowy (Liczna studentów (w tys.))
Rozpatrzmy problem predykcji liczby studentów w wyższej szkole X. Należy
zbudować prognozę punktowo i przedziałowo na rok 2006. Sprawdz
czy prognoza jest
dopuszczalna na poziomie d�=10%.
Lata Liczba
studentów
(w tys.) t
1995 10
1
1996 12
2
1997 13
3
1998 14
4
1999 14
5
2000 16
6
2001 15
7
2002 16
8
2003 17
9
2004 18
10
yt =� a�1 �� t +� a�0 +� x�t
1
Ekonometria  Wykład 5  Prognozy, błędy ex ante
a =� (XTX)-�1XTy
385 55 861
�� ł� �� ł�
XTX =� XTY =�
ę� ę�145ś�
55 10ś�
�� �� �� ��
yt =� 0,770�� t +�10,267 +� ut
(0,074) (0,460) R2= 0,931 S2 =� 0,453
u
Z roku na rok liczba studentów rośnie średnio o 0,77 tysiąca osób.
Prognoza punktowa
Zgodnie z zasadą predykcji nieobciążonej wartość prognozy obliczamy przez ekstrapolacje
oszacowanej funkcji trendu:
P
yT=�12 =� 0,770��12 +�10,267 =�19,503
Spodziewana liczba studentów w 2006 roku wynosi 19,503 tysiąca osób.
Błąd ex ante prognozy
�� ł�
ę�
1 (T -� t)2 ś� �� 1 (12 -� 5,5)2 ł�
ę� ś�
V =� S2 �� 1+� +� =� 0,453�� +� =� 0,453��1,612 =� 0,855
u ę�1+� ś�
n
n 10 82,5
ę�
�� ��
��(t -� t)2 ś�
ę� ś�
�� t=�1 ��
Względny błąd predykcji wynosi:
0,855
V* =� ��100% =� 4,4%
19,503
Rzeczywista liczba studentów odchylać się będzie od postawionej prognozy o +/- 0,855
tysiąca osób, co stanowi 4,4% wartości postawionej prognozy. Ponieważ
4,4% Ł� 10%
to prognoza jest dopuszczalna.
Estymacja przedziałowa  przedział ufności
P(�19,503 -� 2,306��0,855 <� yT <�19,503+� 2,306��0,855)�=�1-� 0,05
2
Ekonometria  Wykład 5  Prognozy, błędy ex ante
t0,05; 10-2= 2,306
P(�17,532 <� yT <� 21,474)�=� 0,95
Przedział o końcach [17,532; 21,474] pokryje nieznaną, szacowaną liczbę studentów w 2006
roku.
Przykład 2
Na podstawie danych z lat 92-04 oszacowano model popytu na telewizory w tyś szt.:
Yt= 3,45X1t 1,55X2t+15 + ut,
gdzie
X1t oznacza dochody ludności w setkach zł,
X2t- przeciętna cena telewizora w setkach zł.
W roku 2004 średnia cena telewizora wyniosła 7 setek zł, a dochód ludności 5,9 setek
zł. Zbuduj prognozę na rok 2005 sprzedaży telewizorów wiedząc, że spodziewana cena
wzrośnie o 10% , a dochód ludności opisany jest równaniem:
Ć
X1t =�1,48��e0,1��t t��{1, 2, ...,13}.
Sprawdz
, czy prognoza jest dopuszczalna na poziomie 5% wiedząc, że:
SU= 1,2
a macierz wariancji i kowariancji estymatorów ma postać
0,08 0,06 -� 0,40
�� ł�
ę�
D2 (a) =� 0,06 0,25 -�1,20ś�
ę� ś�
ę�
��-� 0,40 -�1,20 2,00 ś�
��
Wartość prognozy:
Prognoza dla dochodów
P
Ć
X1T =�1,48��e0,1��14 =� 6,002 � 6,00
Cena
X2N =� 7 wzrost 10% więc
XP =� 7 ��1,1 =� 7,7
2T
Prognoza dla y:
P
yT =� 3,45��6 -�1,55��7,7 +�15 =� 23,765
Spodziewany popyt telewizory w 2005 roku wyniesie 23,765 tys. sztuk.
3
Ekonometria  Wykład 5  Prognozy, błędy ex ante
0,08 0,06 -� 0,40 6,0
�� ł��� ł�
V =� [�6,0 7,7 1]�ę� 0,06 0,25 -�1,20ś�ę�7,7ś� +�1,22 =� 1,9665 +�1,44 =�1,846
ę� ś�ę� ś�
ę�
��-� 0,40 -�1,20 2,00 ś�ę� 1 ś�
���� ��
V 1,846
V* =� ��100% =� ��100% =� 7,8%
yP 23,765
T
Rzeczywista realizacja popytu na telewizory odchylać się będzie od postawionej prognozy +/-
1,846 tys. szt., co stanowi 7,8% zmiennej prognozowanej. Ponieważ względny błąd prognozy
przekracza założone 5% prognoza jest niedopuszczalna.
Prognoza przedziałowa.
P(�yP -� ta�;n-�k �� V <� yT <� yP +� ta�;n-�k �� V)�=�1-� a�
T T
P(�23,765 -� 2,228��1,846 <� yT <� 23,765 +� 2,228��1,846)�=�1-� 0,05
P(�19,65 <� yT <� 27,88)�=� 0,95
4