KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 5
Zad. 5.1
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. EI=const.
Rys. 5.1.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny (n=1).
Poprzez usunięcie jednej z więzi podporowych tworzymy układ statycznie wyznaczalny  tzw.
układ podstawowy metody sił. Siła będąca odpowiednikiem reakcji z usuniętej podpory jest tzw.
nadliczbową X1 .
Rys. 5.1.2
W układzie podstawowym rozpatrujemy dwa niezależne stany:
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.1.3
C16-2005-cw05
36
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan X1 = 1
Rys. 5.1.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie poziome w p. B wywołane obciążeniem zewnętrznym
Ą#
MoM1 1 2 ql2 5 1 ql2 2
�10 = ds = �" �"l �" �" + �" �"l �" �" = -
(-l
) (-l
)ń# 3ql4
ó#Ą#
+"
EI EI 3 2 8 2 2 3 8EI
Ł#Ś#
L
- przemieszczenie poziome w p. B wywołane nadliczbową X1 = 1
MM1 1 1 2 2 l3
1
�10 = ds = �" 2�" �" �"l �" �" =
(-l
) (-l
)3 EI
+"
EI EI 23
L
9
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 = ql
16
Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej:
Rys. 5.1.5
Zad. 5.2
Powyższe zadanie można rozwiązać przyjmując w inny sposób układ podstawowy  wprowadzając
w p.1 przegub wewnętrzny. Nadliczbową X1 stają się w tym przypadku moment zginający w p. 1,
w układzie podstawowym przedstawiony w postaci dwóch momentów skupionych.
Układ podstawowy
Rys. 5.2.1
C16-2005-cw05
37
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.2.2
Stan X1 = 1
Rys. 5.2.3
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana obciążeniem zewnętrznym
MoM1 ql3
�10 = ds =
+"
EI 24EI
L
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana nadliczbową X1 = 1:
MM1 2 l
1
�10 = ds =
+"
EI 3 EI
L
ql2
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =-
16
Rozwiązanie: układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej
Rys. 5.2.4
Jest to identyczny układ sił, jak w poprzednim wariancie rozwiązania.
C16-2005-cw05
38
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 5.3
Obliczyć siły w prętach kratownicy (pręty ukośne  mijające się)
Rys. 5.3.1
Numeracja prętów:
Rys. 5.3.2
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
n = r + p - 2w = 3 + 6 - 8 = 1
Układ podstawowy metody sił tworzymy poprzez  rozcięcie pręta nr 1, nadliczbową jest siła S1
Rys. 5.3.3
C16-2005-cw05
39
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 5.3.4
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1:
Rys. 5.3.5
Obliczenie przemieszczeń przy pomocy tabelki:
Rys. 5.3.6
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
6
SoiS1i 3Pl
�10 = li =
"
EAi EA
i=1
- wywołane nadliczbową X1 = 1
6
S1iS1i 8l
�11 = li =
"
EAi EA
i=1
C16-2005-cw05
40
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
3
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =- P
8
Rozwiązanie:
Rys. 5.3.7
Inny sposób: Si = S0i + S1i �" X1
Rys. 5.3.8
C16-2005-cw05
41
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 5.4
Wyznaczyć funkcję i narysować wykres momentów zginających w łuku kołowym poddanym
nierównomiernemu ogrzaniu.
Rys. 5.4.1
Dane : "t = td - tg = 40o C ąt = 10-5 [deg-1] h = 0, 2 [m] r = 2 [m] EI = (2000Ą ) [kNm2 ]
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił (na rysunku podana numeracja prętów):
Rys. 5.4.2
Momenty zginające wywołane działaniem nadliczbowej X1 = 1
M1(�) = 1�" x = r �"sin�
Rys. 5.4.3
C16-2005-cw05
42
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane przyrostem temperatury
ĄĄ
22
ąt �""t ąt �""t ąt �""t ąt �""t
�10 = �" ds = M1(�)�" rd� = r2
1
+"M hh +" +"sin�d� = h r2 =
h
L 00
10-5 �" 40
=�" 22 = 0,008 [m]
0, 2
- przemieszczenie pionowe w punkcie B wywołane działaniem nadliczbowej X1 = 1
ĄĄ
Ą
2
MM1 1 2 r3 2 2 r3 1 1 2
Ą#
1
�11 = ds =
1
+"+"[M (�)] �" rd� = EI +"sin �d� = EI Ł# - sin 2�ń# | =
ó#2� 4 Ą# 0
EI EI
Ś#
L 00
Ą r3 Ą �" 23 m
Ą# ń#
= = = 0,001
ó#kN Ą#
4EI 4�" 2000�"Ą
Ł# Ś#
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =-8[kN]
Rozwiązanie:
Rys. 5.4.4
M (�) = -8�" x = -16�"sin� [kNm]
C16-2005-cw05
43