2009-12-17
ELEMENTY ORBITY KEPLEROWSKIEJ
duża półoś orbity  a
mimośród orbity  e
rektascensja węzła
wstępującego orbity 
nachylenie orbity
do równika  i
argument perygeum - �
�
�
�
moment przejścia przez
perycentrum (UTC)  tp
moment na który
wyznaczamy pozycję (UTC)  t
(anomalia średnia M  łączy tp i t)
Dane dodatkowe: współrzędne elipsoidalne obserwatora  B, L, H
ELEMENTY ORBITY KEPLEROWSKIEJ
elementy opisujące kształt
duża półoś orbity  a
elipsy orbitalnej
mimośród orbity  e
rektascensja węzła
wstępującego orbity  elementy opisujące
położenie płaszczyzny
nachylenie orbity
orbity w przestrzeni
do równika  i
argument perygeum - �
�
�
�
elementy opisujące
moment przejścia przez
orientację orbity w tej
perycentrum (UTC)  tp
płaszczyz
nie i położenie ciała
na orbicie dla danej epoki
moment na który
wyznaczamy pozycję (UTC)  t
(anomalia średnia M  łączy tp i t)
Dane dodatkowe: współrzędne elipsoidalne obserwatora  B, L, H
1
2009-12-17
UKA
AD HORYZONTALNY
Wysokość h to kąt środkowy pomiędzy
wektorem wodzącym do danego
obiektu, a płaszczyzną horyzontu
(odległość zenitalna z to dopełnienie
wysokości do 90�). Wysokość zawiera
się w granicach <-90�, 90�>. Oś układu
zdefiniowana jest kierunkiem linii
pionu w miejscu obserwacji.
Azymut A to kąt dwuścienny utworzony
przez płaszczyznę południka
przechodzącego przez punkt północy N
oraz płaszczyznę południka
przechodzącego przez dany obiekt (kąt
mierzony w płaszczyz
nie horyzontu na
wschód  zgodnie z ruchem wskazówek
Azymut i wysokość zmieniają się
na skutek ruchu obrotowego zegara ). Azymut zawiera się
Ziemi.
w granicach <0�, 360�>.
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
;
1) Obliczenie anomalii średniej (odległość kątowa od
perycentrum do fikcyjnego punktu poruszającego się po
orbicie ze średnią prędkością kątową n):
M = n �"(t - tp)
gdzie:
�
�
�ł łł
n =
n  średnia prędkość kątowa satelity �łsek śł
�ł �ł
a3
� =GM - parametr grawitacyjny.
2
2009-12-17
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
;
2) Obliczenie anomalii mimośrodowej z równania Keplera:
E = M + e �"sin E
Metoda iteracyjna:
E0 = M
Ei+1 = M + e �"sin Ei
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
;
3) Obliczenie współrzędnych ciała niebieskiego w układzie
związanym z orbitą:
x'= a(cos E - e)
b = a 1- e2
y'= bsin E
z'= 0
Układ orbitalny jest układem kartezjańskim prawoskrętnym
(wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi OX
do OY, a kciuk wyznacza kierunek osi OZ), oś X jest
skierowana do perycentrum, oś Z jest prostopadła do
płaszczyzny orbity.
Perycentrum  punkt na orbicie ciała niebieskiego okrążającego
dany obiekt, znajdujący się w miejscu największego zbliżenia ciała
do tego obiektu.
3
2009-12-17
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
4) Transformacja układu orbitalnego do układu niebieskiego:
układ orbitalny układ równikowy (ą �
ą, �)
ą �
ą �
x' x
�ł łł �ł łł
�ły'śł �! x = �ł
x'= yśł
�ł śł �ł śł
�łz'śł �ł zśł
�ł �ł �ł �ł
x x'
�ł łł �ł łł
�łyśł �ły'śł
= Rz (- ) �" Rx(-i) �" Rz (-�) �"
�ł śł �ł śł
�łzśł �łz'śł
�ł �ł �ł �ł
Macierze obrotów:
cos
�ł - sin 0 1 0 0 cos�
łł �ł łł �ł - sin� 0
łł
�łsin �ł0 �łsin� cos� 0śł
R (- ) = cos 0śł Rx (-i) = cos i - sin iśł Rz (-�) =
z
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 0 0 1�ł �ł �ł 0 0 1�ł
śł śł
�ł �ł0 sin i cos i śł �ł
�ł
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
4) Transformacja układu orbitalnego do układu niebieskiego:
Współrzędne równikowe:
y z
taną = tan� =
x
x2 + y2
Układ równikowy równonocny jest
układem kartezjańskim prawoskrętnym
(wnętrze obracającej się prawej dłoni
X<0 Y<0 X<0 Y>0
zakreśla łuk od osi OX do OY, a kciuk
wyznacza kierunek osi OZ), oś X jest
Y
skierowana do punktu Barana.
Rektascenzja jest mierzona przeciwnie
ą
ą
ą
ą
do ruchu wskazówek zegara od osi X,
X>0 Y<0
na podstawie analizy znaku X i Y należy
określić prawidłową jej wielkość.
X>0 Y>0
X
4
2009-12-17
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
5) Transformacja układu równikowego do geocentrycznego
układu godzinnego:
Współrzędne godzinne: tS = S -ą
S  czas gwiazdowy średni
ą  rektascensja
ą
ą
ą
UTC �! SGR - przybliżone przeliczenie czasów
(z pominięciem różnicy UT1-UTC oraz
S = SGR + L
założeniem, że )
 E" L
Uproszczone ćwiczenie nr 5:
tUTC
0TU
tS = tUTC + + S + L -ą
tS " 0,24h
365,24219879
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
6) Obliczenie ortokartezjańskich geocentrycznych
współrzędnych godzinnych:
X '= r �" cos� �" costS
Y '= -r �" cos� �"sin tS
r = (x2 + y2 + z2)
Z'= r �"sin�
r  wektor wodzący ciała niebieskiego w układzie równikowym
X<0 Y<0 X<0 Y>0
Układ równikowy godzinny także jest
Y
układem kartezjańskim prawoskrętnym.
Kat godzinny jest mierzony zgodnie z
ruchem wskazówek zegara od osi X
t
wskazującej południk miejscowy  stąd
znak minus przy współrzędnej Y .
X>0 Y>0
X>0 Y<0
X
5
2009-12-17
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
7) Obliczenie ortokartezjańskich topocentrycznych
współrzędnych godzinnych:
'
XT = X '-(N + H )�"cos B
YT' = Y '
'
ZT = Z'-[N �"(1- e2 )+ H]�"sin B
GRS 80
N  promień krzywizny przekroju poprzecznego
aGRS80
N =
2
1- eGRS80 �"sin2 B
6
2009-12-17
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
8) Obliczenie topocentrycznych współrzędnych godzinnych:
'
YT' ZT
'
tan tS = - tan� '=
'
2 2
'
XT
(XT ) +(YT' )
Układ równikowy godzinny także
jest układem kartezjańskim
X<0 Y<0 X<0 Y>0
prawoskrętnym.
Y
Kat godzinny jest mierzony
zgodnie z ruchem wskazówek
zegara od osi X wskazującej
t
południk miejscowy, na podstawie
analizy znaku X i Y należy określić
prawidłową wielkość t. X>0 Y>0
X>0 Y<0
X
WYZNACZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH HORYZONTALNYCH NA
PODSTAWIE ELEMENTÓW ORBITY
9) Obliczenie topocentrycznych współrzędnych
horyzontalnych:
'
tS ,� '�! A, h
(np. trójkąt paralaktyczny)
Należy narysować ten trójkąt i zastanowić się jak on wygląda
(czy t>12h) i w zależności od tego wyznaczyć wartość azymutu
i odległości zenitalnej (wysokości).
7