Wykład 2
2. Teoria preferencji konsumenta1
2.1. Potrzeby a preferencje konsumenta jako podstawa wyborów rynkowych
Praprzyczyną działalności gospodarczej człowieka jest konieczność zaspokajania jego potrzeb
konsumpcyjnych. Zatem jednym z najistotniejszych problemów ekonomii jest problem racjonalnego
zachowania się konsumenta, który wydatkuje swoje dochody na zakup towarów słu\
Ä…cych
konsumpcji. Za racjonalne uznaje się zachowanie, polegające na wyborze, spośród wszystkich
dostępnych na rynku towarów, takich produktów czy usług, które są u\
yteczne, czyli mają zdolność
zaspokajania potrzeb ludzi.
Rozwa\
ania na temat zachowań konsumenta przeprowadzane są przy zało\
eniach idealizacyjnych
właściwych dla tak zwanego rynku doskonałego. Zatem przyjmuje się, \
e uczestnikami rynku jest
wielu sprzedawców i nabywców. Sprzedawcy są jednocześnie producentami towarów, które oferują
na rynku, a nabywcy pełnią jednocześnie funkcję konsumentów i kupują towary, aby zaspokoić swoje
potrzeby. Dysponują oni pełną informacją po zerowym koszcie, co jest warunkiem podejmowania
przez nich optymalnych decyzji wyboru. Uczestnicy rynku doskonałego zachowują się racjonalnie
(model homo economicus), \
aden z nich nie ma przewagi nad pozostałymi, podejmują decyzje
niezale\
nie. Na rynku doskonałym nie ma barier wejścia i wyjścia (uczestnicy są mobilni). Wa\
nÄ…
cechą tego rynku jest zało\
enie o doskonałej podzielności towarów.
Pojedynczy uczestnik rynku ze względu na swoja małą moc ekonomiczną, je\
eli tylko dostosuje siÄ™
do warunków rynku (zaakceptuje cenę równowagi), mo\
e zrealizować swoje zamiary zakupu lub
sprzeda\
y.
Przyjmuje się równie\
, \
e nabywca dÄ…\
y do maksymalizacji stopnia zaspokojenia swoich potrzeb
i znajduje siÄ™ w sytuacji niedosytu, co skutkuje dÄ…\
eniem nabywcy do wyboru i konsumpcji mo\
liwie
du\
ego koszyka towarów2.
2.2. Przestrzeń towarów jako formalne przedstawienie poda\
y
Zanim przejdziemy do właściwej treści wykładu wprowadz
my następujące oznaczenia:
X- zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów,
n n
R - nieujemny orthant n-wymiarowej przestrzeni wektorowej R , tj. zbiór wszystkich n-
+
wymiarowych wektorów o nieujemnych współrzędnych rzeczywistych
n
{(x1, x2 ,..., xn ) " R+ : xi e" 0,i = 1,2,..., n},
x (i=1,2,& ,n)  ilość i-tego towaru mierzona w określonych jednostkach fizycznych (np.
i
w kilogramach, sztukach, litrach, metrach bie\
Ä…cych itp.) .
1
Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu,
Poznań 2000, rozdział 1
2
Proponujemy przypomnieć sobie teorię preferencji konsumenta, teorię rynku doskonałego, podstawowe pojęcia
dotyczące rynku z podręczników z zakresu mikroekonomii np. B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 2001, H. R. Varian, Mikroekonomia,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995 lub inne
dr Agnieszka Bobrowska 1
Ekonomia matematyczna I
Zakładamy, \
e w danym okresie na rynek dostarczona zostaje skończona liczba n ró\
nych
asortymentów towarów. Wówczas wektor postaci:
n
x = (x1, x2 ,..., xn )" X Ä…" R+
opisuje uporządkowany zestaw określonych ilości poszczególnych towarów wybranych przez
nabywcę. Przestrzeń towarów stanowi sformalizowany sposób przedstawienia poda\
y towarów.
n
Zbiór X ą" R* , czyli zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów z normą
x = max xi nazywamy przestrzenią towarów, natomiast jego elementy, czyli wektory x " X
i
koszykami towarów w przestrzeni X.
Nale\
y podkreślić, i\
przyjęta definicja normy, w odró\
nieniu od powszechnie stosowanej normy
euklidesowej pozwala uniknąć m.in. popełnienia takich błędów jak dodawanie do siebie wielkości
o ró\
nych mianach, co miałoby miejsce w przypadku, gdyby współrzędne wektora towarów wyra\
one
były w ró\
nych jednostkach fizycznych.
Określając normę na przestrzeni towarów w taki a nie inny sposób, skonstruowaliśmy miarę
zró\
nicowania dwóch koszyków x = (x1, x2 ,..., xn ) i y = (y1, y2 ,..., yn ), tj. odległość między nimi.
Co zapisujemy:
(1) x - y = max xi - yi
i
Poniewa\
norma określona wzorem (1) jest metryką, tj. spełnia następujące warunki:
1. "x, y " X x - y e" 0 oraz x - y = 0 Ô! x = y
2. "x, y " X x - y = y - x
3. "x, y " X x - y d" x - z + z - y ,
to przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną. Ten fakt wykorzystamy przy definiowaniu wa\
nych
dla dalszych rozwa\
ań pojęć.
Przykład 2.1.
Załó\
my, \
e danego dnia na targu dostępne są jedynie dwa rodzaje towarów, a mianowicie kurze
jaja i jabłka, oba w ograniczonych ilościach, odpowiednio 300 sztuk i 120 kg. Wówczas przez
przestrzeń towarów dla rozwa\
anego rynku rozumieć będziemy zbiór:
X = {(x1, x2 ): x1 " N, x2 " R+ ; x1 d" 300, x2 d" 120}.
dr Agnieszka Bobrowska 2
Ekonomia matematyczna I
Geometrycznie jest to zbiór odcinków prostopadłych do osi O x1, co przedstawiono na rysunku 2.1.
x2
[kg]
120
60
0 1 2 3 4 & 299 300
x1
[sztuki]
Rys. 2.1. Przestrzeń towarów dla rynku z przykładu 2.1.
Przykład 2.2. (przypadek dyskretny)
Załó\
my, \
e danego dnia na rynku dostępne są jedynie dwa rodzaje towarów, a mianowicie torebki
damskie oraz portfele męskie, oba w ograniczonych ilościach; odpowiednio 6sztuk i 3 sztuki.
Wówczas przez przestrzeń towarów dla rozwa\
anego rynku rozumieć będziemy zbiór:
X = {(x1, x2 ): x1, x2 " N; x1 d" 6, x2 d" 3}.
Geometrycznie jest to zbiór 18 punktów, co przedstawiono na rysunku 2.2.
dr Agnieszka Bobrowska 3
Ekonomia matematyczna I
 x2
[sztuki]
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6
x1
[sztuki]
Rys. 2.2. Przestrzeń towarów dla rynku z przykładu 2.2.
Zadanie 2.1.:
Jak wygląda dwuwymiarowa przestrzeń towarów X, je\
eli na rynku dostępne jest 10 kg mąki oraz
20 litrów soku pomarańczowego?
RozwiÄ…zanie:
Przy zało\
eniu doskonałej podzielności towarów, przestrzeń towarów dla rozwa\
anego rynku to
zbiór postaci:
2
X = {(x1, x2 )" R+ : x1 d" 10, x2 d" 20}.
Jego geometryczny obraz przedstawia rysunek 2.3.
dr Agnieszka Bobrowska 4
Ekonomia matematyczna I
 x2
[litry]
20
10
0 5 10
x1
[kg]
Rys. 2.3. Przestrzeń towarów z zadania 2.1.
2.3.Relacje preferencji i ich właściwości
Zachowaniem konsumenta, mającego do dyspozycji całą przestrzeń towarów i stającego przed
wyborem określonego koszyka towarów, kierują pewne określone motywy. Przede wszystkim
konsument wybiera koszyk towarów ze względu na konieczność zaspokojenia swoich potrzeb.
Ze względu na przyjęte zało\
enia o pełnej wiedzy konsumenta o rynku, mo\
emy przyjąć, \
e zdaje
on sobie sprawÄ™ ze swoich potrzeb, a tak\
e wie jakie cechy, własności i właściwości mają oferowane
na rynku towary. W tej sytuacji konsument jest w stanie wyrazić swoją opinię o ka\
dym potencjalnym
koszyku towarów z punktu widzenia przydatności owego koszyka.
Ka\
dy konsument jest podmiotem, który ma swój system wartości wynikający z jego predyspozycji
psychofizycznych. Na ukształtowanie tego systemu wpływają czynniki kulturowe, społeczne, moda itp.
Konsument zatem postawiony w sytuacji wyboru określonego zestawu towarów z wielu wariantów,
jest w stanie określić, który wariant uznaje za optymalny, czy uporządkować zbiór dostępnych
koszyków ze względu na ich subiektywnie ocenianą u\
yteczność. W ekonomii ocenianie koszyków
traktujemy jako egzemplifikację preferencji konsumentów, natomiast relację porządkującą koszyki
nazywamy relacjÄ… preferencji konsumenta.
Dodatkowo zakładamy, \
e konsument jest w stanie nabyć ka\
dy koszyk dóbr lub inaczej, \
e na
jego decyzję nie mają wpływu (nie ograniczają go) ani wielkość osiąganych przez niego dochodów ani
ceny dóbr, a wybór konkretnego koszyka zale\
y jedynie od jego gustów (indywidualnych preferencji,
upodobań).
dr Agnieszka Bobrowska 5
Ekonomia matematyczna I
Dzięki przyjętym zało\
eniom preferencje konsumenta mo\
na scharakteryzować, jak ju\

wspomniano, w sposób sformalizowany za pomocą określonej w przestrzeni towarów X relacji słabej
preferencji f . Do opisania własności tej relacji zastosowano język logiki matematycznej.
~
Poniewa\
teoria ekonomi zakłada doskonałą podzielność towarów, to w teorii preferencji zakłada
się o relacji słabej preferencji f , \
e jest ciągła oraz \
e spełnia dwa następujące aksjomaty zwane
~
warunkami pełnego preporządku:
ëÅ‚ öÅ‚
(I) "x, y " X x f y'" y f z Ò! xf z ,
ìÅ‚ ÷Å‚
~ ~
íÅ‚ ~ Å‚Å‚
ëÅ‚
(II) "x, y " X x f y(" y f xöÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
~
íÅ‚ ~ Å‚Å‚
Uwagi:
1. Zapis  xf y  oznacza  koszyk towarów x jest słabo preferowany nad koszyk towarów y albo
~
 koszyk x nie jest gorszy od koszyka towarów y .
2. Aksjomat (I), zwany aksjomatem przechodniości (tranzytywności), wprowadza liniowy porządek
w przestrzeni towarów X. Innymi słowy, je\
eli koszyk x jest słabo preferowany na koszyk y,
a koszyk y jest słabo preferowany nad koszyk z, to koszyk x jest te\
słabo preferowany nad
koszyk z.
3. Aksjomat (II), zwany aksjomatem zupełności, wyklucza istnienie sytuacji nieokreślonej, w której
konsument nie potrafi określić, który z dwóch koszyków x, y"X jest jego zdaniem nie gorszy
od drugiego. Nie jest to jednak sytuacja, gdy koszyki sÄ… dla niego indyferentne, jednakowo
dobre.
4. Z aksjomatu (II) wynika ponadto, \
e relacja słabej preferencji jest zwrotna, tj. "x " X ,(xf x).
~
Oznacza to, \
e ka\
dy koszyk jest co najmniej tak samo dobry jak on sam.
Relacja słabej preferencji  f  jest odpowiednikiem słabej nierówności w matematyce  e"  . Jest
~
ona zatem relacjÄ… nieostrÄ… i mo\
na ją podzielić na dwie silne relacje, a mianowicie relację indyferencji
 ~ oraz relację silnej preferencji  f  , których matematycznymi odpowiednikami są relacja równości
 = i relacja ostrej nierówności  > .
Je\
eli równocześnie x f y oraz y f x , wówczas koszyki x, y nazywamy indyferentnymi.
~
~
Je\
eli natomiast x f y'" Ź(y f x), wówczas o koszyku x mówimy, \
e jest on silnie preferowany.
~
~
Je\
eli koszyki sÄ… indyferentne oznacza to, \
e dla konsumenta sÄ… one tak samo dobre
(nierozró\
nialne), tzn. czerpałby z ich posiadania taka samą satysfakcję. Relację indyferencji
oznaczamy symbolem ~.
dr Agnieszka Bobrowska 6
Ekonomia matematyczna I
Je\
eli natomiast koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y to rozumiemy przez to, \
e dla
konsumenta koszyk x jest lepszy od koszyka y. RelacjÄ™ silnej preferencji oznaczamy symbolem f .
Bardzo Å‚atwo mo\
na zauwa\
yć, \
e relacja indyferencji jest relacją równowa\
ności, tj. spełnia trzy
kolejne warunki:
(I) "x " X(x ~ x) (warunek zwrotności),
(II) "x, y " X ((x ~ y)Ò! (y ~ x)) (warunek symetrycznoÅ›ci),
(III) "x, y, z " X[((x ~ y)'" (y ~ z))Ò! (x ~ z)](warunek przechodnioÅ›ci).
(Dowód tego faktu pomijamy. Dla zainteresowanych dowód w ksią\
ce: E. Panek  Ekonomia
matematyczna , APE, Poznań 2000, str. 27-28).
Uwagi:
Ekonomiczne uzasadnienie wszystkich trzech wy\
ej wymienionych warunków jest intuicyjnie
bardzo oczywiste.
1. W odniesieniu do warunku zwrotności, wydaje się bezdyskusyjne, \
e dla normalnie
rozumującego człowieka dwa identyczne koszyki są tak samo satysfakcjonujące.
2. W przypadku warunku symetryczności stwierdzenie konsumenta, i\
koszyk x jest dla niego tak
samo dobry jak koszyk y i jednocześnie, \
e koszyk y jest jego zdaniem gorszy lub lepszy od
koszyka x, wydałoby się nielogicznie, zaprzeczałby on bowiem sam sobie.
3. Przechodniość relacji indyferencji oznacza, \
e nienaturalne wydaje siÄ™ stwierdzenie
konsumenta, i\
koszyki x i y, podobnie jak koszyki y i z są dla niego parami nierozró\
nialne, ale
koszyk z uwa\
ałby za gorszy od koszyka x. W praktyce oznaczałoby to, \
e koszyk z jest jego
zdaniem równie\
gorszy od koszyka y, skąd otrzymalibyśmy sprzeczność.
Bazując na własnościach relacji indyferencji oraz relacji słabej preferencji mo\
emy przystąpić do
omówienia własności relacji silnej preferencji, które prezentujemy w lemacie 2.1.
Lemat 2.1. Relacja silnej preferencji ma następujące własności:
(I) "x " X Ź"x " X (x f x),
(II) "x, y " X x f y (" y f x ,
~
(III) "x, y " X x f y (" y f x (" x ~ y ,
(IV) "x, y " X x f y Ô! (x f y (" x ~ y),
~
(V) "x, y, z " X (x f y '" y f z)Ò! x f z .
~
dr Agnieszka Bobrowska 7
Ekonomia matematyczna I
Uwagi:
1. Pierwsza własność oznacza, \
e nie istnieje taki koszyk towarów, który byłby zdaniem
konsumenta lepszy od identycznego z nim koszyka. Własność ta jest zaprzeczeniem warunku
zwrotności relacji indyferencji.
2. Własność druga prezentuje dwie wykluczające się sytuacje: albo konsument preferuje koszyk x
nad koszyk y albo koszyk y jest jego zdaniem nie gorszy od koszyka x. Własność ta opisuje
wszystkie mo\
liwe relacje między parą koszyków. Z własności tej mo\
na wyprowadzić
własność trzecią.
3. Własności trzecia równie\
prezentuje wykluczające się relacje między parą koszyków towarów
wyra\
one przy u\
yciu relacji silnej preferencji i indyferencji.
4. Czwarta własność, którą czytamy: koszyk x jest nie gorszy od koszyka y, wtedy i tylko wtedy,
gdy koszyk x jest lepszy od koszyka y lub koszyki x i y sÄ… indyferentne. Wskazuje na istotÄ™
podziału relacji słabej preferencji na dwie wykluczające się ostre relacje.
5. Piąta własność wskazuje, \
e alternatywa relacji silnej preferencji i relacji słabej preferencji
koszyków (niezale\
nie od ich kolejności) jako relacje przechodnich, dają w wyniku relację
słabej preferencji.
Przykład 2.3.
Dana jest 4-elemetowa przestrzeń towarów X = {A, B,C, D}, gdzie A, B, C, D są koszykami
towarów. Wiedząc, \
e A f C, B ~ C , D f A , określić zale\
ności pomiędzy elementami A
i B oraz C i D .
Poniewa\
B ~ C , to z symetryczności relacji indyferencji mamy: C ~ B . Wiemy ponadto, \
e
A f C . Skoro A f C oraz C ~ B równocześnie, to A f B . Z kolei poniewa\
D f A oraz A f C ,
to z przechodniości relacji preferencji otrzymujemy: D f C .
2.4.Definicja pola preferencji
Wychodząc z definicji przestrzeni towarów oraz relacji słabej preferencji, mo\
emy przystąpić do
zdefiniowania pola preferencji konsumenta:
n
ParÄ™ (X, f ), gdzie X jest przestrzeniÄ… towarów (Ø`" X Ä…" R+ ), a f relacjÄ… preferencji konsumenta
~ ~
w X, nazywamy polem preferencji konsumenta.
Pole preferencji jest formalnym opisem mo\
liwości wyra\
enia przez konsumenta opinii
o wszystkich koszykach towarów, które dają się wyodrębnić przy danej poda\
y. Obserwacje
zachowań konsumentów pozwoliły opisać na gruncie teorii ekonomii tzw. zjawisko niedosytu, które
definiujemy następująco:
n
Mówimy, \
e w polu preferencji (R+ ,f) obserwujemy zjawisko niedosytu, je\
eli
~
dr Agnieszka Bobrowska 8
Ekonomia matematyczna I
n
"x, y " R+ (x e" y '" x `" y Ò! x f y) .
Konsument znajdujący się w sytuacji niedosytu preferuje zatem koszyk większy, tzn. zawierający
większe ilości chocia\
by jednego z towarów. Sytuacja niedosytu konsumenta była charakterystyczna
dla początkowych faz rozwoju kapitalizmu. Wprowadzona została do teorii ekonomii jako jedna
z podstawowych cech charakteryzujących zachowania konsumenta na rynku doskonałym. Nale\
y
wspomnieć, \
e współczesna teoria ekonomii wprowadza do swoich rozwa\
ań analizę sytuacji
nasycenia konsumenta i skutek w postaci zmniejszenia siÄ™ u\
yteczności koszyków większych od
koszyka optymalnego, który maksymalizuje u\
yteczność konsumenta (porównaj Hal R. Varian,
 Mikroekonomia , str. 60).
Z zało\
eniem niedosytu nabywcy związane jest ściśle zało\
enie wypukłości pola preferencji.
Ograniczeniem dla tego zało\
enia, które szczegółowo przedyskutowane będzie przy okazji rozwa\
ań
nad kategoriÄ… popytu, jest fakt, i\
konsument dysponujący określoną wielkością dochodu, przy danych
cenach, nie mo\
e sobie pozwolić na zakup koszyka zawierającego większą ilość dóbr.
Zało\
enie wypukłości pola preferencji jest warunkiem istnienia jednego optymalnego dla
konsumenta koszyka towarów. Wypukłość pola preferencji zale\
y od zachowań nabywców.
Mówimy, \
e pole preferencji jest słabo wypukłe, je\
eli koszyki dóbr są słabo rozró\
nialne
(x f y).
~
Natomiast je\
eli mo\
na znalez
ć tylko jeden preferowany (optymalny) koszyk towarów, to
pole preferencji jest silnie wypukłe.
Słaba wypukłość pola preferencji oznacza, \
e relacja słabej preferencji jest ciągła i istnieje
preferowany koszyk towarów (mo\
na wyodrębnić preferowany zbiór koszyków
towarów:{x " X : x f y}). W tym momencie nale\
y podkreślić, \
e ciągłość relacji słabej preferencji
~
jest kolejnym, obok warunków pełnego preporządku, fundamentalnym zało\
eniem teorii preferencji.
Mówimy, \
e relacja słabej preferencji f jest ciągła w przestrzeni towarów X, je\
eli zbiór
~
2n
G = {(x, y): x f y; x, y " X}; G ‚" R+ jest otwarty w przestrzeni metrycznej X × X z metrykÄ…
1 1
(x1, y1)-(x2 , y2) = (min xi - xi2 , min yi - yi2 ) .
i i
Z powy\
ej definicji wynika, \
e je\
eli relacja preferencji jest ciÄ…gÅ‚a, to istnieje takie µ - otoczenie
punktu (x, y)" X × X (gdzie x jest koszykiem silnie preferowanym nad y):
Uµ (x, y) = {(x', y')" X × X : (x', y')- (x, y) < µ}
\
e dla ka\
dej pary (x', y')"Uµ (x, y) tak\
e koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y .
Oznacza to tyle, \
e je\
eli zdaniem konsumenta koszyk towarów x jest silnie preferowany nad koszyk
dr Agnieszka Bobrowska 9
Ekonomia matematyczna I
y, to równie\
koszyk x (niewiele ró\
niÄ…cy siÄ™ od koszyka x) jest lepszy od koszyka y (niewiele
ró\
niÄ…cy siÄ™ od koszyka y).
Wniosek:
Relacja słabej i silnej preferencji jest ciągła, je\
eli istnieje taki zbiór, który zawiera parę koszyków
(x, y), przy czym koszyk x jest silnie preferowany nad y i oba nale\
Ä… do n nieujemnej przestrzeni
towarów X i zbiór ten jest otwarty.
W naszych rozwa\
aniach zakładamy, \
e konsument ma nieograniczony dostęp do rynku oraz
posiada o nim pełną informację, a jego zachowanie jest racjonalne (inaczej: konsument działa
w warunkach konkurencji doskonałej). Decyzje konsumenta działającego w warunkach konkurencji
doskonałej zale\
ą jedynie od jego własnych odczuć oraz jego ograniczenia bud\
etowego. Nale\
y
podkreślić, \
e nie będzie on podejmował wyborów koszyków w oparciu o całą przestrzeń towarów, ale
ograniczy się do takiego jej podzbioru, którego elementy będą w kręgu jego zainteresowania tzn. będą
zaspokajać jego potrzeb, z uwzględnieniem jego gustów i wielkości dochodów (np. konsumenta, który
nie pali papierosów, nie będą interesowały koszyki zawierające papierosy).
Zakładamy zatem, \
e konsument dokonuje wyboru koszyka towarów ograniczając się do pewnego
niepustego podzbioru M Ä…" X , gdzie (X ,f)- pole preferencji oraz \
e potrafi wskazać w podzbiorze
~
M koszyki optymalne, zwane M-preferowanymi.
Koszyk towarów x " M , dla którego spełniony jest warunek: "y " M (x f y) nazywamy
~
koszykiem M-preferowanym i oznaczamy x=m.pref.M.
Inaczej mówimy równie\
, \
e koszyk x jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, je\
eli jest on nie
gorszy od ka\
dego innego koszyka z tego zbioru. Naturalnie w zbiorze M mo\
e istnieć więcej ni\

jeden optymalnych koszyków. Załó\
my zatem, \
e w zbiorze M sÄ… dwa optymalne koszyki
x1, x2 " M . Oznacza to, \
e "x " M ; (x1 f x) oraz "x " M ; (x2 f x) . Oba warunki implikujÄ…,
~ ~
\
e (x1 f x2 ) oraz (x2 f x1) , czyli (x1 ~ x2 ) . Zatem wszystkie optymalne koszyki w zbiorze M sÄ…
~ ~
względem siebie indyferentne. Wnioskujemy stąd, \
e o ile w zbiorze M istnieje tylko jeden optymalny
koszyk x, to jest on najlepszy spośród wszystkich koszyków w zbiorze M, co zapisujemy:
"y " M ; x f y .
WychodzÄ…c z obserwacji dotyczÄ…cych mo\
liwości zaspokojenia potrzeb nabywcy przez ró\
ne
koszyki towarów, a więc z rozwa\
anego w teorii ekonomii zjawiska substytucji wyprowadza się pojęcie
2
obszaru obojętności, a w przypadku dwuwymiarowym ( X = R+ ) krzywej obojętności.
dr Agnieszka Bobrowska 10
Ekonomia matematyczna I
Zbiór wszystkich koszyków indyferentnych z koszykiem x " X , tj. zbiór postaci
{y " X ; y ~ x} nazywamy obszarem obojętności w przestrzeni towarów i oznaczamy
symbolem K .
x
Analogicznie dla przypadku dwuwymiarowego:
Zbiór wszystkich koszyków towarów, wobec których konsument pozostaje obojętny
w porównaniu z danym koszykiem nazywamy krzywą obojętności.
Obszar obojętności (krzywa obojętności) jest graficznym opisem preferencji konsumenta. Przykład
krzywej obojętności dla wybranych dóbr konsumpcyjnych przedstawiono na rysunku 2.4. Ilustruje on
0 0
zbiór koszyków indyferentnych względem wybranego koszyka (x1 , x2 ). Zacieniowany obszar
prezentuje z kolei zbiór wszystkich koszyków, które są słabo preferowane względem koszyka
0 0
(x1 , x2 ).
x2
0
x1
Rys. 2.4. Przykładowa krzywa preferencji.
Przykład 2.5.
Naszym zadaniem jest znalezienie optymalnego koszyka towarów w zbiorze:
2 2
M = {x = (x1, x2 ) " R+ : x1 + x2 d" 4}‚" X = R+
w przypadku, gdy relacja preferencji jest zdefiniowana następująco:
x ~ y Ô! x1 + x2 = y1 + y2 oraz x f y Ô! x1 + x2 > y1 + y2 .
dr Agnieszka Bobrowska 11
Ekonomia matematyczna I
1
Rozwa\
my dwa koszyki y = (12 , ) oraz z = (1,1) , dla których obszary obojętności (krzywe
2
obojętności) mają następującą postać:
2 2
K = {(x1, x2 ) " R+ : x1 + x2 = 1} oraz K = {(x1, x2 ) " R+ : x1 + x2 = 2}.
y z
Ich przebieg ilustruje rysunek 2.5.
Krzywe K oraz K , to proste równoległe prezentujące ró\
ne poziomy u\
yteczności, przy czym
y z
krzywa K przedstawia wszystkie koszyki, które zdaniem konsumenta są tak samo dobre jak koszyk
y
y, natomiast krzywa K przedstawia wszystkie koszyki indyferentne z koszykiem z. Jednocześnie
z
ka\
dy koszyk nale\
Ä…cy do K jest lepszy od ka\
dego koszyka nale\
Ä…cego do K , co wynika
z y
z zało\
enia niedosytu konsumenta.
x2
2
K
z
z
1
K
y
y
0
1 2 x1
Rys. 2.5. Obszary obojętności względem koszyków y i z dla przykładu 2.5.
Poniewa\
koszyki towarów są tym lepsze, im wy\
ej le\
y utworzony względem nich obszar
obojętności, zatem optymalnym koszykiem towarów w zbiorze M, będzie ten koszyk, który znajduje
siÄ™ na najwy\
ej poło\
onej krzywej obojętności i który nale\
y do zbioru M.
Przypomnijmy, \
e w naszym przykładzie zbiór M jest postaci:
2 2
M = {x = (x1, x2 ) " R+ : x1 + x2 d" 4}‚" X = R+ .
Na rysunku 2.6. przedstawiono zbiór M, obszary obojętności oraz optymalne koszyki towarów.
dr Agnieszka Bobrowska 12
Ekonomia matematyczna I
W naszym przypadku zbiór optymalnych koszyków towarów ma następującą postać:
2 2
Koptym. = {x = (x1, x2 ) " R+ : x1 + x2 = 4}‚" X = R+
Przykładem koszyka optymalnego są zatem koszyki: (4,0), (0,4) oraz ka\
dy koszyk postaci:
ą (4,0) + (1- ą )(0,4) , gdzie ą "[0;1]. Na rysunku zbiór wszystkich optymalnych koszyków
zaznaczono na niebiesko.
x2
4
3
Koptym.
2
M
K
z
K
1 y z
y
0 1 2 3 4
x1
Rys.2.6. Zbiór optymalnych koszyków w zbiorze M względem zadanej relacji preferencji.
Przy okazji naszych rozwa\
ań warto przypomnieć podstawowe własności powierzchni obojętności
(krzywych obojętności):
1. Krzywe obojętności są wypukłe względem początku układu współrzędnych, co wynika
z przyjęcia sytuacji niedosytu konsumenta (ka\
dy konsument ceni sobie bardziej koszyk
większy).
2. Krzywe obojętności nie przecinają się. W przypadku przecięcia się krzywych, które zawierają
koszyki ró\
niÄ…ce siÄ™ u\
ytecznością, koszyk le\
ący na przecięciu owych krzywych
prezentowałby dwa ró\
ne poziomy u\
yteczności, co jest nielogiczne.
3. Im wy\
ej poło\
ona jest krzywa u\
yteczności, tym wy\
szÄ… u\
yteczność posiadają koszyki na
niej poło\
one.
PodsumowujÄ…c, je\
eli poruszamy się po krzywej obojętności, to znajdujemy się w zbiorze
koszyków indyferentnych, mających tą samą u\
yteczność, natomiast przechodzenie z jednej krzywej
obojętności na drugą oznacza zmianę u\
yteczności koszyków.
dr Agnieszka Bobrowska 13
Ekonomia matematyczna I
Bezpośrednio z własności obszarów obojętności oraz sytuacji niedosytu wynika monotoniczność
relacji preferencji, co w rezultacie prowadzi do zało\
enia wypukłości relacji preferencji.
Mówimy, \
e relacja preferencji określona na wypukłej przestrzeni towarów X jest wypukła,
je\
eli
"Ä… "[0;1] "x, y " X x f y Ò! Ä…x + (1-Ä… ) y f y .
~ ~
Mówimy, \
e relacja preferencji określona na wypukłej przestrzeni towarów X jest silnie
wypukła, je\
eli
"Ä… "[0;1] "x, y " X x f y Ò! Ä…x + (1- Ä… ) y f y .
Aby ustalić jednoznacznie czy dana relacja preferencji jest wypukła, posłu\
ymy siÄ™ poni\
szym
twierdzeniem.
Twierdzenie 2.1. Relacja preferencji f jest wypukła na X wtedy i tylko wtedy, gdy dla
~
ka\
dego koszyka y " X zbiór F(y) ={x " X : x f y} wszystkich koszyków nie gorszych od y
~
jest wypukły.
Je\
eli relacja preferencji jest silnie wypukła, to dla ka\
dej pary koszyków x, y mamy następujące
własności:
Twierdzenie 2.2. Je\
eli relacja preferencji jest silnie wypukła, to spełnione są warunki:
(I) "Ä… "[0,1] "x, y " X (x f y, x `" y)Ò! Ä…x + (1- Ä… )y f y
(II) "Ä… " (0;1) "x, y " X (x ~ y, x `" y)Ò! Ä…x + (1- Ä… )y f y
(III) "Ä… " (0;1) "x, y " X (x ~ y, x `" y)Ò! Ä…x + (1- Ä… )y f x
Uwagi:
1. Warunek pierwszy, oznacza, \
e je\
eli koszyk towarów x jest silnie preferowany nad koszyk y,
to koszyk z będący ich kombinacją liniową postaci z=ąx + (1-ą ) y ( (ą "[0;1]) , czyli
zawierający większe ilości towarów ni\
koszyk y, ale mniejsze ni\
koszyk x jest silnie
preferowany nad koszyk y.
2. Warunki drugi i trzeci oznaczajÄ…, \
e koszyk le\
ący na odcinku pomiędzy indyferentnymi
koszykami x i y, będzie nale\
ał do wy\
ej poło\
onej krzywej obojętności ni\
krzywa obojętności,
na której poło\
one sÄ… koszyki x i y.
dr Agnieszka Bobrowska 14
Ekonomia matematyczna I
Przykład 2.6.
Dane są dwa koszyki towarów: x=(5 bułek, 1 litr mleka) oraz y=(3 bułki, 2 litry mleka). Zdaniem
konsumenta koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y. W przypadku wypukłej relacji preferencji
zachodzi m.in.:
1× x + 0 × y = 1× (5,1) + 0 × (3,2) = (5,1) f (3,2) = y
0,5× x + 0,5× y = 0,5× (5,1) + 0,5× (3,2) = (4, 1,5) f (3,2) = y
0 × x +1× y = 0 × (5,1) +1× (3,2) = (3,2) f (3,2) = y .
Podsumowanie:
1. Zało\
enia (aksjomaty) stojące u podstaw teorii preferencji oraz sformułowane w niej
twierdzenia, pozwalają nam na sformułowanie teorii wyboru konsumenta w kategoriach
preferencji.
2. Zało\
enia teorii preferencji sÄ… fundamentalne i \
adnego z nich nie mo\
na pominąć. Odrzucenie
któregokolwiek z nich doprowadziłoby m.in. do sprzeczności z postulowanym w teorii ekonomii
zało\
eniem, \
e konsumenci postępują racjonalnie i dokonują  najlepszych wyborów . W tym
przypadku odrzucenie zało\
enia np. o przechodniości relacji preferencji, oznaczałoby, \
e
istnieje zbiór koszyków, w obrębie którego nie ma najlepszego wyboru. Tak jednak nie jest,
poniewa\
zakładamy, \
e konsument zawsze potrafi wskazać najlepszy (jego zdaniem) lub
przynajmniej nie gorszy od pozostałych koszyków przestrzeni X koszyk towarów.
3. Wyprowadzone z relacji preferencji obszary obojętności stanowią geometryczny obraz
mo\
liwych wyborów konsumenta na rynku doskonałym.
4. Z warunków rynku doskonałego wynika tak\
e, \
e konsument ma nieskończenie wiele
wariantów koszyków do wyboru i będzie dą\
ył do wyboru jego zdaniem najlepszego koszyka.
5. Konsument pojawia siÄ™ na rynku w celu dokonania wyboru koszyka, nie rozwa\
amy zatem
sytuacji, kiedy konsument nie jest zainteresowany udziałem w rynku.
Pytania kontrolne:
1. Podaj aksjomaty pełnego preporządku.
2. Co oznacza, \
e konsument znajduje siÄ™ w sytuacji niedosytu?
3. Z jakich zało\
eń o rynku doskonałym wyprowadzana jest wypukłość pola preferencji i jego
ciągłość?
4. Podaj przykłady dóbr doskonale podzielnych.
5. Czym ró\
nią się relacje słabej i silnej preferencji?
6. Uzasadnij wyodrębnienie z przestrzeni towarów podzbioru M-preferowanych koszyków.
7. Dlaczego krzywe obojętności nie mogą się przecinać? Zilustrować odpowiedz
przykładem.
dr Agnieszka Bobrowska 15
Ekonomia matematyczna I